Mecânica Geral Básica

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1 Mecânica Geral Básica Conceitos Básicos Prof. Nelson Luiz Reyes Marques

2 Unidades - o sistema métrico O sistema internacional de unidades (SI) o sistema MKS Baseado em potências de 10 de unidades de base Todas as outras unidades derivam destas 7 unidades (Área: m 2 )

3 Unidades - o sistema métrico Definição das unidades de base 1 quilograma de massa é definido como a massa do protótipo internacional do quilograma, mantido em Paris 1 segundo é o intervalo de tempo durante o qual há oscilações da onda eletromagnética que corresponde à transição entre dois estados específicos do átomo de césio metro é a distância que um feixe de luz no vácuo se propaga em 1/ de um segundo

4 Unidades - o sistema métrico Prefixos de potências de 10

5 Vetores Grandeza escalar: grandeza física descrita por um número e obedecem as leis da aritmética e da álgebra elementar. Ex: temperatura, 25ºC. Grandeza vetorial: grandeza física descrita por um módulo (quantidade ou tamanho), juntamente com uma direção e sentido no espaço. Ex: deslocamento de um avião.

6 Vetores Vetores são comumente usados em física É preciso manipulá-los sem dificuldades Vetor Ponto de partida e ponto de chegada Caracterizado por: Módulo Direção Sentido Unidade Nota: uma grandeza representada sem a direção é escalar

7 Sistema de coordenadas cartesianas Usado na representação de vetores Quantifica a direção em um espaço bidimensional Usado na representação de vetores Duas direções perpendiculares x para a direita y para cima Posição do ponto p especificado por( P x, P y ) P x e P y são números reais positivos ou negativos

8 Sistema de coordenadas cartesianas Também podemos definir um sistema de coordenadas unidimensional Convencionalmente chamado de eixo x Qualquer ponto P neste espaço unidimensional pode ser definido pela especificação de um número O valor da coordenada x, P x

9 Sistema de coordenadas cartesianas Quantifica a direção em um espaço tridimensional A terceira direção se projeta para fora do plano da página Mais eixos ortogonais são usados em teorias modernas (mas são bastante abstratos e difíceis de representar em um papel bidimensional

10 Sistema de coordenadas cartesianas Quantifica a direção em um espaço tridimensional A terceira direção se projeta para fora do plano da página. Mais eixos ortogonais são usados em teorias modernas (mas são bastante abstratos e difíceis de representar em um papel bidimensional

11 Sistema de coordenadas cartesianas Regra da mão direita Convenção do sistema de coordenadas cartesianas destro (mais sobre sistemas de coordenadas 3D ao longo do semestre)

12 Sistema de coordenadas cartesianas liga P e Q A liga R e S

13 Sistema de coordenadas cartesianas Mude para a origem para simplificar a representação

14 Adição de Vetores Conforme aprendemos: é possível mover vetores no espaço sem alterar seus valores O comprimento permanece o mesmo A direção permanece a mesma Mova o vetor B de modo que sua origem fique junto à ponta do vetor A O vetor de adição C então a ponta da origem do vetor A para a ponta do vetor B Você pode fazer isso na ordem inversa

15 Adição de Vetores Lei dos cossenos, 2 2 R P Q R P Q 2 2PQ cos B B C Lei dos senos, C senc senb sena Q R P B

16 Adição de Vetores Soma de três ou mais vetores por meio da aplicação sucessiva da regra do triângulo. Regra do polígono para a soma de três ou mais vetores. A adição de vetores é associativa, P Q S P Q S P Q S

17 Subtração de vetores Para cada vetor existe um outro vetor de igual comprimento apontando na direção oposta Subtração de vetores Para obter o vetor, somamos o vetor a, seguindo o procedimento para adição de vetores

18 Subtração de vetores Na subtração de vetores a ordem faz diferença Inverta a ordem e use ao invés de. Qual é o resultado? O vetor resultante é exatamente o oposto de As regras para adição e subtração de vetores são exatamente as mesmas que para números reais

19 Vetores unitários Representação de vetores para vetores unitários: i = x = (1,0,0) j = y = (0,1,0) k = z = (0,0,1) Caso 2D y A A projeção no eixo y fornece um componente x

20 Método de adição de vetores por meio de suas componentes A adição de vetores também pode ser feita utilizando componentes cartesianas e vetores unitários. Representação das componentes Adição de vetores Componentes do vetor de adição com

21 Adição de dois vetores bidimensionais

22 Subtração de vetores Exatamente o mesmo procedimento para adição de vetores Vetor de diferença: Com componentes: com Uma equação com vetores é o mesmo que três equações escalares!

23 Multiplicação de um vetor com um escalar Imagine somar um vetor a ele mesmo três vezes O vetor resultante é três vezes mais comprido e tem a mesma direção que os vetores originais Para a multiplicação de um vetor com um escalar, obtemos As componentes são Multiplicação de um vetor por um escalar.

24 Vetores e as Leis da Física Liberdade de escolha do sistema de coordenadas; As relações entre vetores não dependem da origem ou da orientação dos eixos; As leis da física também não dependem da escolha do sistema de coordenadas. Se os eixos giram, as componentes mudam, mas o vetor permanece o mesmo.

25 Exemplo 1 Encontre, no plano, a resultante de uma força de 300 N a 30 e uma força de 250 N a 90, utilizando o método do paralelogramo. Veja a Fig. (a). Encontre, também, o ângulo α entre a resultante e o eixo y. Os ângulos são sempre medidos no sentido anti-horário com início no eixo x positivo.)

26 Exemplo 1 Agora, aplicando a lei dos senos, temos

27 Exemplo 2 Um bloco de 80 kg é posicionado em um plano inclinado de 20 com a horizontal. Qual é a componente gravitacional (a) normal ao plano inclinado e (b) paralela ao plano inclinado? a) A componente normal forma um ângulo de 20 com o vetor força gravitacional (o peso), o qual tem intensidade de 80(9,8) = 784 N. A componente normal é (b) A componente paralela é

28 Produto Escalar Definição: Sejam u e v. O produto escalar entre esses vetores, denotado por u v, é um número real determinado por u v = u v cos, onde é o ângulo entre u e v. Propriedades: 1) Comutativa: u v = v u, u e v 2) u v = 0 3) u u = u 2 um deles é o vetor nulo ou se u e v são ortogonais ( = 90 º ) 4) (mu) (nv ) = (m n) (u v ), u e v e m e nr 5) ( u + v) w = ( u w )+( v w )

29 Exemplo 3 Encontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2). u. v u. v u v.cos. = 2.(-1) = 6 u v 2 2 u v ( 1) 2 Portanto, 6 cos 0, Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º.

30 Produto Vetorial Definição: Sejam u e v. O produto vetorial entre esses vetores, denotado por u v, é vetor com as seguintes características: Módulo: u x v = u v senθ Direção: Sentido: Ortogonal ao plano que contem u e v. Regra da mão direita.

31 Produto Vetorial Propriedades do Produto Vetorial

32 Produto Vetorial Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor. Definição: Sejam = a 1 î + b 1 ĵ + c 1 k e = a 2 î + b 2 ĵ + c 2 k dois vetores em 3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por: u v i a a 1 2 b b j 1 2 k c c 1 2

33 Exemplo 4 Exemplo: Sejam =2î + j + 2k e = 3î j 3k, então: i j k u v i 12 j 5 k ( 1, 12, 5) 3 1 3

34 Produto Vetorial Produto vetorial O produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma ângulo. Eles são coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0 i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k j x k = i k x i = j i x k = - j j x i = - k k x j = - i k j i

35 Exemplo 5 Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo AB=(1,1,-1) e AD=(2,1,4). B C A D Área = AB x AD AB x AD = i j k (4 1) i (4 2) j (1 2) k 5i 6 j k (5, 6, 1) A X B ,87

36 Demonstração Mostre que o produto vetorial entre dois vetores P e Q pode ser escrito por

37 Demonstração Escrevem-se os vetores dados na forma de suas componentes e expande-se o produto vetorial para obter Mas i i = j j = k k = 0; i j = k e j i = k, etc. Portanto, Esses termos podem ser agrupados como

38 Demonstração ou na forma de determinante como Tenha o cuidado de observar que as componentes escalares do primeiro vetor P no produto vetorial devem ser escritas na linha do meio do determinante.

39 Exemplo 6 SOLUÇÃO: As duas forças atuam sobre um parafuso A. Determine sua resultante. Solução gráfica - construímos um paralelogramo com lados nas mesmas direções de P e Q desenhados em escala. Avaliamos graficamente a resultante que é equivalente à diagonal em direção e proporcional em módulo. Solução trigonométrica usamos a regra do triângulo para soma de vetores em conjunto com a lei dos cossenos ou a lei dos senos para encontrar a resultante de P e Q. 2-39

40 Exemplo 6 Solução gráfica - Um paralelogramo com lados iguais a P e Q é desenhado em escala. A intensidade e o ângulo que define a direção da resultante (diagonal do paralelogramo) são medidos, R 98N 35 Solução gráfica Um triângulo é desenhado com P e Q no padrão ponta-acauda e em escala. A intensidade e o ângulo que define a direção da resultante (terceiro lado do triângulo) são medidos, R 98N 35

41 Exemplo 6 Solução trigonométrica Aplicamos a regra do triângulo. Pela lei dos cossenos, R P Q 2PQ cos B N 60N 2 40N 60N cos155 R 97,73N Pela lei dos senos, sen A Q sen A A α sen B R Q sen B R sen ,04 20 A 60N 97,73N 35, 04

42 Exemplo 7 Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é N dirigida ao longo do eixo da barcaça, determine: a) A força de tração em cada um dos cabos para = 45 o, b) O valor de para o qual a tração no cabo 2 é mínima.

43 Exemplo 7 SOLUÇÃO: Obtemos uma solução gráfica aplicando a Regra do Paralelogramo para soma vetorial. O paralelogramo tem lados nas direções dos dois cabos e diagonal na direção do eixo da barcaça com comprimento proporcional a N. Obtemos uma solução trigonométrica aplicando a Regra do Triângulo para soma vetorial. Com a intensidade e a direção da resultante conhecida e as direções dos outros dois lados, paralelas aos cabos dados, aplicamos a Lei dos Senos para encontrar as trações nos cabos. O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é determinado aplicando-se a Regra do Triân-gulo e observando o efeito de variações em a.

44 Exemplo 7 Solução gráfica Aplicamos a regra do paralelogramo conhecendo a direção e a intensidade da resultante e as direções dos lados T N T N

45 Exemplo 7 Solução trigonométrica - triângulo e Lei dos Senos Regra do T1 T N sen45 sen30 sen105 T N T N

46 Exemplo 7 O ângulo para tração mínima no cabo 2 é determinado aplicando a regra do triângulo e observando o efeito de variações em. A tração mínima no cabo 2 ocorre quando T 1 e T 2 são perpendiculares T 2 ( N) sen 30 T N T Ncos T N 60

47 Exemplo 8 Quatro forças atuam no parafuso A, como mostrado na figura. Determine a resultante das quatro forças no parafuso.

48 Exemplo 8 SOLUÇÃO: Decompomos cada força em componentes retangulares. Determinamos os componentes da resultante somando os componentes correspondentes de cada uma das forças. Calculamos a intensidade e a direção da resultante.

49 Exemplo 8 Decompomos cada força em componentes retangulares.

50 Exemplo 8 Força Intens. (N) Comp. x (N) Comp. y, (N) F F F F ,1 14,3

51 Exemplo 8 Determinamos os componentes da resultante somando os componentes correspondentes de cada uma das forças. Calculamos a intensidade e a direção da resultante. R 2 199,1 14,3 2 R 199,6N tg 14,3N 199,1N 4, 1

52 Equilíbrio de uma Partícula Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre uma partícula é zero, a partícula está em equilíbrio. Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante em linha reta. Para uma partícula em equilíbrio sob a ação de duas forças, ambas as forças devem ter: - mesma intensidade - mesma linha de ação - sentidos opostos

53 Equilíbrio de uma Partícula Para uma partícula sob a ação de três ou mais forças: - a solução gráfica gera um polígono fechado - solução algébrica: R F 0 F x 0 F y 0

54 Diagramas de Corpo Livre Diagrama espacial : Um esboço mostrando as condições físicas do problema. Diagrama de Corpo Livre: Um esboço mostrando apenas as forças que atuam sobre a partícula escolhida para análise.

55 Exemplo 9 Determinar as tensões sobre as cordas AC e BC. Se M pesa 40 lb-f

56 Exemplo 9

57 Exemplo 9

58 Exemplo 10 Determinar as tensões sobre as cordas AC e BC. Se M pesa 40 lb-f

59 Exemplo 10

60 Exemplo 10

61 Exemplo 11 SOLUÇÃO: Construímos um diagrama de corpo livre para a partícula na junção da corda e do cabo. Aplicamos as condições de equilíbrio criando um polígono fechado a partir das forças aplicadas na partícula. Aplicamos relações trigonométricas para determinar a intensidade das forças desconhecidas.

62 Exemplo 11 Construímos um diagrama de corpo livre para a partícula A. Aplicamos as condições de equilíbrio. Calculamos as intensidades das forças desconhecidas. T AB T AC N sen 120 sen 2 sen 58 T AB N T AC 648N

63 Exemplo 12 Deseja-se determinar a força de arrasto no casco de um novo barco a vela a uma dada velocidade. Um modelo é colocado em um canal de teste e são usados três cabos para alinhar sua proa com a linha de centro do canal. A uma dada velocidade, a tração é de 180 N no cabo AB e de 270 N no cabo AE. Determine a força de arrasto exercida no casco e a tração no cabo AC.

64 Exemplo 12 Escolhendo o casco como um corpo livre, desenhamos o diagrama de corpo livre. 2,1m tg 1,75 1,2 m 60,26 tg 0,45m 1,2m 20,56 0,375 Expressamos as condições de equilíbrio para o casco escrevendo que a resultante de todas as forças é zero. R T AB T AC T AE F D 0

65 Exemplo 12 T T AB AC T F AE D Decompomos a equação vetorial de equilíbrio em duas equações para as componentes. Resolvemos para as trações desconhecidas nos dois cabos. 180 Nsen 60,26 i 180 Ncos 60,26 j 156,29 Ni 89,29 Nj TAC sen 20,56 i TAC cos 20,56 j 0,3512TAC i 0,9363TAC j 270 N j F i D R 0 156,29 N 0,3512T 89,29 N 0,9363T AC AC FD i 270 N j

66 Exemplo 12 R 0 156,29 N 0,3512T 89,29 N 0,9363T AC AC FD i 270 N j Esta equação só é satisfeita se cada componente da resultante é igual a zero. F x 0 : 156,29 N 0,3512T AC FD F 0 y : 89,29 N 0,9363T AC T F AC D 193 N 88,5 N 0

67 Momento (Torque) de uma Força M o O momento da força F sobre o ponto O é definido como o produto do vetor F O d r A M O = r x F Onde r é o is vetor posição e F é a força de aplicada no corpo rígido, e Θ é o ângulo formado entre a linha de ação de r e F.

68 Momento (Torque) de uma Força M o M O = r x F F A magnitude do momento de F sobre O pode ser escrito como: O d r A M O = rf sin = Fd onde d é a distância perpendicular de O até a linha de ação de F.

69 Momento (Torque) de uma Força O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eixo, fornece uma medida da tendência dessa força provocar a rotação de um corpo em torno do ponto ou do eixo. Para problemas em duas dimensões é mais conveniente se utilizar uma formulação escalar e para problemas em três dimensões a formulação vetorial é mais conveniente. Quanto maior a força ou a distância (braço de momento), maior é o efeito da rotação. A tendência de rotação também é chamada de torque, momento de uma força ou simplesmente momento.

70 Momento (Torque) de uma Força

71 Exemplo 13 Uma barra de peso desprezível está sob a ação das forças F 1 = 4 N; F 2 = 6N; F 3 = 8 N e F 4 = 10 N. F2 F4 A F1 B C F3 D Dados: AB= 1m; BC = CD = 2m. a) Determinar o momento de cada força em relação ao ponto B. b) Calcule o momento resultante em relação ao ponto B e indique o sentido em que a barra gira.

72 Exemplo 13 Solução: a) M F1,B = + F 1. B A = 4. 1 = 4 Nm M F2,B = 0 M F3,B = - F 3. C B = = - 16 Nm M F4,B = + F 4. D B = = 40 Nm b) M = M F1,B + M F2,B + M F3,B + M F4,B = = 28 Nm Como M > 0, a barra gira no sentido anti-horário

73 Centro de massa Posição do centro de massa de um sistema de N partículas: i r i Média ponderada pelas massas das posições das partículas N i i N i i i N N N cm m m r m m m r m m r m r R Em componentes: N i i N i i i N N N cm m m x m m m x m m x m x X (idem para y e z)

74 Centro de massa exemplos em 1D: 2 partículas X CM m1x m 1 1 m m 2 2 x 2 (a) m 1 m 2 x CM x 1 x 2 2 x1 2 x CM x x (b) m m x 1 2 CM x1 x 2 x x CM

75 Centro de massa exemplos em 1D: 2 partículas X CM m1x m 1 1 m m 2 2 x 2 (c) Em geral, o centro de massa é um ponto intermediário entre x 1 e x 2 : x 1 X CM x2 m x=0 2/3 1/3 x CM 2m x=l x X m0 2m L 2 CM 3m 3 L

76 Centro de massa exemplo: sistema de 3 partículas em 2D x CM = m = 2,3 m y CM = m = 0,9 m

77 Centro de massa exemplo: sistema de 3 partículas em 2D Distribuições contínuas de massa (qualitativo) Objeto homogêneo com centro geométrico: CM no centro Objeto com eixo de simetria: CM ao longo do eixo Note que o c.m. pode estar localizado fora do objeto

78 Equilíbrio de Forças e Momento Um corpo rígido está em equilíbrio sob a ação das forças quando este sistema de forças é equivalente a zero, ou seja (vetorialmente): R = 0 ou, na sua forma escalar Devem ser considerados os efeitos das forças aplicadas no corpo, assim como as reações de apoio (que funcionam, na generalidade dos casos como incógnitas).

79 Exemplo 14 Uma força vertical de 450 N é aplicada na extremidade de uma alavanca que está ligada ao eixo em O. Determine: a) o momento da força em relação a O; b) a força horizontal aplicada em A que gera o mesmo momento; c) a força mínima aplicada em A que gera o mesmo momento; d) a posição de uma força vertical de N para que ela gere o mesmo momento; e) se alguma das forças obtidas nas partes b, c e d é equivalente à força original

80 Exemplo 14 a) O momento em relação a O é igual ao produto da força pela distância perpendicular entre a linha de ação da força e O. Como a força tende a girar a alavanca no sentido horário, o vetor momento aponta para dentro do plano que contém a alavanca e a força. M M O d O Fd 60 cmcos N0,3m 30 cm M O 135 N m

81 Exemplo 14 b) Para a força horizontal aplicada em A que gera o mesmo momento tem-se, M d O 135 N m F 60 cm Fd F 0,52m 135 N m 0,52 m sen cm F 259,6N

82 Exemplo 14 c) A força mínima aplicada em A que gera o mesmo momento deve atuar a uma distância perpendicular é máxima de O, ou seja, quando F é perpendicular a OA. M O 135 N m F Fd F 0,6m. 135 N m 0,6m F 225 N

83 Exemplo 14 d) Para determinar o ponto de aplicação de uma força vertical de N que gera o mesmo momento em relação a O temos, M O 135 N m Fd 135 N m d N OB cos 60 12,5cm N d 0,125 m OB 25cm

84 Exemplo 14 e) Embora cada uma das forças nas letras b), c) e d) gere o mesmo momento que a força de 450 N, nenhuma tem sua mesma intensidade, direção e sentido, ou sua mesma linha de ação. Portanto, nenhuma das forças é equivalente à força de 450 N.

85 Momento de um Binário Duas forças F e -F de mesma intensidade, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam um binário. Momento do binário: M ra F rb ra rb F r F M rf sen Fd F O vetor que representa o momento do binário é independente da escolha da origem dos eixos coordenados, isto é, tratase de um vetor livre que pode ser aplicado a qualquer ponto produzindo o mesmo efeito

86 Momento de um Binário Dois binários terão momentos iguais se F d F 1 1 2d2 os dois binários estiverem em planos paralelos, e os dois binários tiverem o mesmo sentido ou a tendência de causar rotação na mesma direção.

87 Exemplo 15 Para a viga acima, reduza o sistema de forças dado a (a) um sistema força-binário equivalente em A e (b) um sistema força binário equivalente em B. Observação: Como as reações de apoio não estão incluídas, esse sistema não manterá a viga em equilíbrio.

88 Exemplo 15 SOLUÇÃO: a) Calculamos a força resultante para as forças mostradas e o binário resultante para os momentos das forças em relação a A. b) Encontramos um sistema força-binário em B equivalente ao sistema força-binário em A. c) Determinamos o ponto de aplicação para a força resultante de tal forma que seu momento em relação a A seja igual ao binário resultante em A.

89 Exemplo 15 SOLUÇÃO: a) Calculamos a força e o binário resultantes em A. R F 150 N j 600N j 100N j 250N j R 600 Nj M R A r F 1,6 i 600 j 2,8 i 100 j 4,8 i 250 j M R A 1880N mk

90 Exemplo 15 b) Encontramos um sistema força-binário em B equivalente ao sistema forçabinário em A. A força fica inalterada pelo movimento do sistema força-binário de A para B. R 600Nj O binário em B é igual ao momento em relação a B do sistema força-binário encontrado em A. M R B R M A rb A R 1880 Nm k 1880 Nm k k M R B 4,8 m i 2880 Nm 600 N 1000N j mk