Mecânica Geral 17/02/2016. Resultante de Duas Forças

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Lucas Gabriel Imperial Duarte
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Evidênciaseperimentaismostramque o efeito conjunto de duas forças pode ser representado por uma única força

1 Mecânica Geral Capítulo 2 Estática de Partículas Resultante de Duas Forças Força: ação de um corpo sobre outro; caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua direção, e seu sentido. Evidênciaseperimentaismostramque o efeito conjunto de duas forças pode ser representado por uma única força resultante. A resultante de duas forças é equivalente à diagonal de um paralelogramo que contém as forças em lados adjacentes. Força é uma grandeza vetorial

Vetores Vetores: epressões matemáticas que têm intensidade, direção e sentido e que se somam conforme a lei do paralelogramo. Eemplos: deslocamentos, velocidades, Escalares: acelerações.

Classificações de vetores: - Vetores fios têm pontos de aplicação bem definidos e não podem ser deslocados sem que se alterem as condições do Problema.

2 Vetores Vetores: epressões matemáticas que têm intensidade, direção e sentido e que se somam conforme a lei do paralelogramo. Eemplos: deslocamentos, velocidades, Escalares: acelerações. grandezas físicas que têm intensidade mas não têm direção. Eemplos: massa, volume e temperatura. Classificações de vetores: - Vetores fios têm pontos de aplicação bem definidos e não podem ser deslocados sem que se alterem as condições do Problema. - Vetores livres podem se mover livremente no espaço sem que se alterem as condições do Problema. - Vetores deslizantes podem ser deslocados ao longo de suas linhas de ação sem que se alterem as condições do Problema. Vetores iguais têm a mesma intensidade e o mesmo sentido. O vetornegativo de um vetor dado é aquele que tem sua mesma intensidade e sentido oposto. 2-3 Adição de Vetores Regrado paralelogramopara soma de vetores Regrado triângulopara soma de vetores Lei dos cossenos, R = P + Q 2PQcosB regratriangulo R = P + Q + 2PQcos( PAQ ˆ ) regraparalelogramo r r r R= P+ Q Lei dos senos, sena = Q senb R = senc P A adiçãode vetoresé comutativa, r r r r P+ Q= Q+ P Subtração de vetores 2-4 2

Adição de Vetores Soma de três ou mais vetores por meio da aplicação sucessiva da regra do triângulo. Regra do polígono para a soma de três ou mais vetores.

SOLUÇÃO: Soluçãográfica- construímosum paralelogramo com lados nas mesmas direçõesde Pe Qdesenhadosem escala.

3 Adição de Vetores Soma de três ou mais vetores por meio da aplicação sucessiva da regra do triângulo. Regra do polígono para a soma de três ou mais vetores. A adição de vetores é associativa, Multiplicação de um vetor por um escalar. 2-5 Problema Resolvido 2.1 As duas forças atuam sobre um parafuso A. Determine sua resultante. SOLUÇÃO: Soluçãográfica- construímosum paralelogramo com lados nas mesmas direçõesde Pe Qdesenhadosem escala. Avaliamosgraficamentea resultanteque é equivalenteà diagonal em direção e proporcional em módulo. Soluçãotrigonométrica usamosa regra do triângulo para soma de vetores emconjuntocom a lei dos cossenosoua lei dos senos para encontrar a resultante de P eq

Problema Resolvido 2.2 Uma barcaça é puada por dois rebocadores. Se a resultante das forças eercidas pelos rebocadores é 22.

4 Problema Resolvido 2.2 Uma barcaça é puada por dois rebocadores. Se a resultante das forças eercidas pelos rebocadores é N dirigida ao longo do eio da barcaça, determine: a) A força de tração em cada um dos cabos para α = 45 o, b) O valor de αpara o qual a tração no cabo 2 é mínima. SOLUÇÃO: Obtemos uma solução gráfica aplicando a Regra do Paralelogramo para soma vetorial. O paralelogramo tem lados nas direções dos dois cabos e diagonal na direção do eio da barcaça com comprimento proporcional a N. Obtemos uma solução trigonométrica aplicando a Regra do Triângulo para soma vetorial. Com a intensidade e a direção da resultante conhecida e as direções dos outros dois lados, paralelas aos cabos dados, aplicamos a Lei dos Senos para encontrar as trações nos cabos. O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é determinado aplicando-se a Regra do Triângulo e observando o efeito de variações em α. 2-7 Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários Pode-se decompor uma força em dois componentes perpendiculares de forma que r o rparalelogramo resultante é um retângulo. F são chamados de ef componentes retangulares e r r r F = F + F rdefinimos r então os vetores unitários perpendiculares i e j que são paralelos aos eios e. Os componentes de um vetor podem ser epressos como produtos dos vetores unitários pelas intensidades dos componentes do vetor. r r r F = Fi + Fj F e F são chamados de componentes escalares de F r

Adição de Forças pela Soma dos Componentes Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais forças concorrentes, r r r r R= P+ Q+ S Para isso, decompomos cada força em componentes retangulares r r r r r r r

5 Adição de Forças pela Soma dos Componentes Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais forças concorrentes, r r r r R= P+ Q+ S Para isso, decompomos cada força em componentes retangulares r r r r r r r r Ri + Rj = Pi + Pj + Qi + Qj+ Si + Sj r r = ( P + Q + S ) i + ( P + Q + S )j Os componentes escalares da resultante são iguais à soma dos componentes escalares correspondentes das forças dadas. R = P + Q + S R = P + Q + S = F = F Para encontrar a intensidade e a direção da resultante, R 2 2 R = R + R θ = arctg R 2-9 Problema Resolvido 2.3 SOLUÇÃO: Decompomos cada força em componentes retangulares. Quatro forças atuam no parafuso A, como mostrado na figura. Determine a resultante das quatro forças no parafuso. Determinamos os componentes da resultante somando os componentes correspondentes de cada uma das forças. Calculamos a intensidade e a direção da resultante

Para uma partícula em equilí-brio sob a ação de duas forças, ambas as forças devem ter: - mesma intensidade - mesma linha de ação - sentidos opostos Para uma partícula sob a ação de três ou mais

6 Equilíbrio de uma Partícula Quando a resultande de todas as forças que atuam sobre uma partícula é zero, a partícula está em equilíbrio. Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante em linha reta. Para uma partícula em equilí-brio sob a ação de duas forças, ambas as forças devem ter: - mesma intensidade - mesma linha de ação - sentidos opostos Para uma partícula sob a ação de três ou mais forças: - a solução gráfica gera um polígono fechado - solução r algébrica: r R= F = 0 F = 0 F = Diagramas de Corpo Livre Diagrama espacial : Um esboço mostrando as condições físicas do problema. Diagrama de Corpo Livre: Um esboço mostrando apenas as forças que atuam sobre a partícula escolhida para análise

750 N é sustentado por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puada para centrar o automóvel para a posição desejada. Qual é a tração na corda?

7 Problema Resolvido 2.4 SOLUÇÃO: Construimos um diagrama de corpo livre para a partícula na junção da corda e do cabo. Aplicamos as condições de equilíbrio criando um polígono fechado a partir das forças aplicadas na partícula. Numa operação de descarregamento de um navio, um automóvel de N é sustentado por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puada para centrar o automóvel para a posição desejada. Qual é a tração na corda? Aplicamos relações trigonométricas para determinar a intensidade das forças desconhecidas Problema Resolvido 2.6 Deseja-se determinar a força de arrasto no casco de um novo barco a vela a uma dada velocidade. Um modelo é colocado em um canal de teste e são usados três cabos para alinhar sua proa com a linha de centro do canal. A uma dada velocidade, a tração é de 180 N no cabo ABe de 270 N no cabo AE. Determine a força de arrasto eercida no casco e a tração no cabo AC. SOLUÇÃO: Escolhendo o casco como um corpo livre, desenhamos o diagrama de corpo livre. Epressamos as condições de equilíbrio para o casco escrevendo que a resultante de todas as forças é zero. Decompomos a equação vetorial de equilíbrio em duas equações para as componentes. Resolvemos para as trações desconhecidas nos dois cabos

8 Componentes Retangulares no Espaço O vetor F r está contido no plano OBAC. Decompomos F r em uma componente horizontal e outra vertical F = Fcosθ F h = F sen θ Decompomos F h componentes retangulares F = F cosφ h = Fsenθ cosφ F = F sen φ h = Fsen θ sen φ em 2-15 Componentes Retangulares no Espaço 8

9 Componentes Retangulares no Espaço Componentes Retangulares no Espaço 9

10 Cossenos diretores Cossenos diretores 10

11 Cossenos diretores Eercício 2.71 e 2.72 Determinar as componentes, e z das forças de 750N e 900N e os ângulos diretores, que as forças formam com os eios. 11

12 Componentes Retangulares no Espaço A direção de uma força é definida pelas coordenadas de dois pontos, M (,, z ) en(, z ) , em sua linha de ação. 2 r d = vetor que ligam en r r r = d i + d j+ d k d = 2 r r F = Fλ r 1 λ = d Fd F = d 1 d = r r r ( d i + d j+ d k) z 2 Fd F = d z 1 d = z z z Fdz Fz = d Problema Resolvido 2.7 SOLUÇÃO: Considerando a posição relativa dos pontos Ae B, determinamos o vetor unitário orientado de A para B. Utilizamos o vetor unitário para determinar os componentes da força atuando em A. A tração no cabo de sustentação da torre é 2500 N. Determine: a) os componentes F, F ef z da força que atua no parafuso em A, b) os ângulos θ, θ eθ z que definem a direção da força. Observando que os componentes do vetor unitário são os cossenos que orientam a direção do vetor, calculamos os ângulos correspondentes

13 Estática da partícula no espaço 2-25 Eercício Um cilindro de 200 kg é sustentado por dois cabos AB e AC que estão presos ao topo de um muro como mostrado na figura. Uma força horizontal P segura o cilindro na posição mostrada. Determine a magnitude de P e das trações nos cabos

14 Bibliografia Beer, Johnston, Mazurek, Eisenberg: Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 9ª Edição 14

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