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1 Caro cursista, Todas as dúvidas deste curso podem ser esclarecidas através do nosso plantão de atendimento ao cursista. Plantão de Atendimento Horário: terças e quintas-feiras das 14:00 às 16:00. MSN: lizardo@if.uff.br Telefones: (21) Endereço: Fundação CECIERJ Extensão em Física Rua Visconde de Niterói, 1364 Mangueira, Rio de Janeiro CEP: Se você encontrar erros ou tiver sugestões para melhorar a qualidade das aulas do curso, por favor, nos mande uma mensagem através do link:

2 Aula 2 - Forças Conservativas Considere um bloco caindo verticalmente de uma altura h e despreze a resistência do ar, qual será o trabalho realizado pelo peso? _Ora, se considerarmos a força peso como sendo constante e paralela ao deslocamento, e seu módulo igual à mg, onde g é o módulo da aceleração da gravidade, o trabalho deve ser W = mgh. (5.3.1) Agora considere uma outra situação, em que um bloco desce um plano inclinado de altura h sem atrito, como mostra a Figura 5.3. Se nós supusermos que o bloco percorreu uma distância d ao longo do plano, qual será o trabalho realizado pelo peso? Figura 5.3: Bloco descendo um plano inclinado sem atrito. _Ora, sabendo que a projeção da força na direção do deslocamento é mgsen!, o trabalho será W = mgsen!d. (5.3.2) Mas veja que sen! = h / d. Assim, W = mgh. (5.3.3) _Você percebeu? O trabalho realizado pelo peso para fazer o bloco cair ou descer o plano sem atrito é o mesmo.

3 De fato, mesmo que o bloco percorresse uma trajetória arbitrária, como mostrada na Figura 5.4, por exemplo, o trabalho realizado pelo peso só dependeria da diferença entre a altura inicial e a altura final, porque o trabalho realizado pelo peso não depende da trajetória percorrida, mas apenas dos pontos de onde o corpo partiu e chegou, como vimos na seção anterior. Além disso, se o bloco voltar à mesma altura de onde saiu, o trabalho será nulo. A demonstração desse resultado é simples e muito parecida com a demonstração que fizemos para o caso do sistema massamola; por isso ela será omitida. Figura 5.4: Uma partícula desce um escorrega sem atrito. As Equações (5.3.1) e (5.3.3) acima, mostram que o trabalho realizado pela força gravitacional depende apenas da diferença entre a altura inicial e a altura final, que chamamos de h nessas equações. Essa forma de energia, que só depende da posição em que a partícula se encontra, chama-se de energia potencial, que denotaremos por U. No final deste seção, vamos explicar melhor o significado físico da energia potencial... Por hora, basta você saber que a energia potencial gravitacional, que está associada ao trabalho da força peso, é dada por U (z) = mgz, (5.3.4) onde z é a altura da partícula com relação à origem do eixo OZ. Atenção: Note que a energia potencial depende da escolha da origem do eixo OZ. De fato, quando estamos dentro de um apartamento em um prédio, podemos

4 dizer que a energia potencial de um cinzeiro sobre uma mesa é proporcional à altura da mesa. Mas também podemos dizer que a energia potencial do cinzeiro é proporcional à altura da mesa acrescida da altura do andar em que se encontra o apartamento, ou seja, U = mg( h mesa + h apartamento ). Assim, a origem, a partir do qual mede-se a altura de uma partícula, altera o valor da energia potencial. Agora, vamos voltar ao caso de uma partícula em repouso que cai verticalmente de uma altura h. Usando a Cinemática para os corpos em queda livre, a velocidade da partícula ao atingir o chão deve ser v f = 2gh. (5.3.5) Da mesma forma, uma partícula lançada verticalmente para cima com velocidade 2gh sobe uma distância h até, momentaneamente, parar. Portanto, a velocidade adquirida por uma partícula após cair de uma certa altura é capaz de fazê-la subir até essa mesma altura. Aliás, se um bloco deslizasse sobre um plano inclinado, teríamos um resultado idêntico. De fato, se um bloco parte do repouso e desliza sobre um plano inclinado sem atrito, que faz um ângulo! com a horizontal e tem altura h, depois de percorrer uma distância d, ele atinge a velocidade 2gh. Para demonstrar esse resultado, basta saber que a velocidade é calculada pela conhecida equação de Torricelli,! v 2 f = 2 g h $ " # d % & d, (5.3.6) onde gsen! = gh / d é a aceleração da força resultante que atua sobre o bloco. Logo, v f = 2gh, como queríamos demonstrar. Além disso, se você lançar o bloco com essa mesma velocidade 2gh sobre o plano inclinado, fazendo ele subir, ele percorrerá uma distância d sobre o bloco até momentaneamente parar no alto do plano inclinado, na altura h. Note que esse resultado não depende da inclinação! do plano inclinado, mas apenas da altura em que o bloco se encontra.

5 Na verdade, mesmo que o bloco percorresse uma trajetória arbitrária, como mostrada na Figura 5.4 acima; ainda assim, a velocidade adquirida pelo bloco só dependeria da altura percorrida. Assim, pela equação de Torricelli, a velocidade de uma partícula sob a ação de uma força gravitacional percorrendo uma trajetória arbitrária sem atrito, se escreve como v 2 f = v 2 i! 2g ( z f! z i ), (5.3.7) onde z i e z f são as alturas inicial e final da partícula com relação à origem do eixo OZ. A Equação (5.3.7) acima pode ser reescrita como 1 2 v 2 + gz f f = 1 2 v 2 + gz i i. (5.3.8) Portanto, para qualquer altura da trajetória, a quantidade se conserva. 1 2 v 2 + gz f Se multiplicarmos a expressão acima pela massa da partícula, encontraremos que 1 2 mv2 + mgz = K + U! E, (5.3.9) onde definimos a energia mecânica E como sendo a soma da energia potencial com a energia cinética. Logo, para uma partícula sob a ação da força gravitacional, a energia mecânica se conserva. Atenção: Forças sob ação das quais a energia mecânica se conserva são chamadas de forças conservativas. Em particular, a força peso é um exemplo de força conservativa.

6 Para fixar as idéias, vamos considerar um pedacinho de gelo que se desprende e desliza pelas paredes de uma taça semicircular sem atrito, como mostra a Figura 5.5 abaixo. Figura 5.5: Pedaço de gelo deslizando pelas paredes de uma taça semicircular sem atrito. Quando o pedaço de gelo está parado no alto da taça, ele possui energia potencial gravitacional, o que significa que a força peso pode realizar trabalho sobre ele. Na verdade, é isso que significa dizer que o bloco de gelo possui energia potencial, que é uma forma de energia que fica armazenada em forma de potencial, podendo ser convertida em outro tipo de energia e produzir trabalho. Se supusermos que a origem, a partir do qual medimos a altura, é o fundo da taça semicircular, a energia potencial será U = mgr, onde m é a massa do pedaço de gelo. Por outro lado, como o gelo está em repouso, a energia cinética será nula, K = 0. Então, a energia mecânica no alto da taça, que representaremos por E 1, é E 1 = K + U = 0 + mgr. (5.3.10) Em seguida, o gelo sai do repouso e desliza pelas paredes da taça, a força peso realiza trabalho sobre ele, transformando sua energia potencial em energia cinética. Assim, ao chegar no fundo da taça, o gelo está em movimento e, portanto, possui energia cinética. Por definição, a energia cinética é K = mv 2 / 2, onde v é o módulo da velocidade do gelo ao chegar no fundo da taça. Por outro lado, a energia potencial do gelo no fundo da taça é nula, pois a altura dele é nula. Então, a energia mecânica do gelo ao chegar no fundo da taça, que representaremos por E 2, é E 2 = U + K = mv2. (5.3.11)

7 Como sabemos, a energia mecânica se conserva, pois a força peso é conservativa, temos que E 1 = E 2. Comparando as Equações (5.3.10) e (5.3.11), é fácil calcular a velocidade com que o pedaço de gelo chega no fundo da taça: v = 2gr. Entretanto, é ainda mais interessante perceber que toda a energia potencial foi convertida em energia cinética. Aliás, se tomarmos dois pontos quaisquer da descida; por exemplo: A e B, em que a partícula passa antes por A e depois por B, podemos escrever que a energia mecânica do gelo, no ponto A, é E A = K A + U A e que a energia mecânica, no ponto B, é E B = K B + U B. Como E A = E B, podemos igualar as duas expressões anteriores para escrever isto é,!e = E B " E A = 0 # K B " K A = U A " U B ; (5.3.12)!K = "!U. (5.3.13) Atenção: Como a variação da energia mecânica é nula, temos que, para qualquer trecho da trajetória em que uma força conservativa realiza trabalho sobre um corpo, a variação da energia cinética é igual a menos a variação da energia potencial. Mas depois dessa análise, você poderia se perguntar: Ao chegar no fundo da taça, o pedaço de gelo tem energia cinética, não é? Isso quer dizer que a energia cinética tem capacidade de produzir trabalho? Ora, é claro que sim. Ao chegar no fundo da taça com energia cinética, o gelo começa a subir pela parede do outro lado da taça até chegar no alto. Enquanto sobe, a força peso realiza trabalho negativo sobre ele, diminuindo a energia cinética do pedaço de gelo. Ao chegar no alto da taça, o gelo pára, momentaneamente, e toda a energia cinética foi convertida em energia potencial. Novamente você poderia se perguntar: Ao chegar no alto da taça, o pedaço de gelo tem energia potencial, não é? Isso quer dizer que a energia potencial também tem capacidade de produzir trabalho, não é mesmo?

8 Novamente você tem razão. Ao chegar no alto da taça, o gelo começa a descer pela parede, até alcançar o fundo. Enquanto desce, a força peso realiza trabalho positivo sobre o gelo, aumentando sua energia cinética. Ao chegar no fundo, toda a energia potencial foi transformada em energia cinética novamente. Aliás, se você acha que o gelo começará a subir a parede do outro lado da taça até chegar ao topo, acertou. O gelo deve ficar subindo e descendo indefinidamente sem parar... Sem parar!? Você deve estar se perguntando. Como eu não vejo isso acontecendo todos os dias? Bem, você não vê isso acontecendo todos os dias porque no mundo real existem forças dissipativas, como o atrito. Se considerarmos o atrito, ao descer as paredes da taça, parte da energia potencial, que seria transformada em energia cinética, será transformada em calor, que é transmitido para o exterior do pedaço de gelo. Da mesma forma, ao subir pela parede do outro lado da taça, parte da energia cinética, que seria transformada em energia potencial, é dissipada, fazendo com que o gelo não alcance exatamente o alto da taça, do outro lado. Assim, enquanto vai e volta, o gelo vai subindo cada vez menos, até que finalmente pára. É exatamente isso o que vemos no nosso dia-a-dia. Finalmente, nesse ponto você poderia dizer: Entendi que a força peso é uma força conservativa, que a energia mecânica se conserva quando o peso realiza trabalho sobre um corpo e que a variação da energia cinética é igual à menos a variação da energia potencial para qualquer trecho da trajetória. Mas eu ainda me lembro que você disse, na seção anterior, que a força dada pela Lei de Hooke também era um exemplo de força conservativa. Assim, eu gostaria muito de saber como posso estender a análise da força peso para uma força conservativa variável. Isso é possível? É claro que isso é possível. Na verdade, isso é até bem fácil para o caso de um deslocamento unidimensional, como veremos a seguir. Entretanto, nossa discussão se restringirá ao caso de uma força no movimento unidimensional que só dependa da posição da partícula. No início desta seção, associamos a energia potencial gravitacional ao trabalho realizado pela força peso sobre um corpo que cai de uma determinada altura. De maneira análoga, vamos definir a função energia potencial, U(x), que depende da posição x da partícula, da seguinte forma: x " (5.3.14) U(x) =! F(x ')dx ', x i

9 onde x ' é simplesmente uma variável muda de integração. Comparando a expressão acima com a Equação (5.2.1), em que calculamos o trabalho de uma força variável, vemos que a energia potencial está associada a menos o trabalho que seria realizado pela força sobre uma partícula para ir da posição x i até a posição x. Atenção: Note que o valor da energia potencial depende de uma escolha arbitrária para x i. Como aplicação, vamos considerar a energia potencial gravitacional. Assumindo que o eixo OZ esteja apontado para cima, para qualquer altura z de um corpo sob a ação da força peso, temos que F ( z) =!mg. Logo, pela Equação (5.3.14), a energia potencial gravitacional será: U(z) =! z " z i (!mg)dz' = mgz! mgz i. A escolha de z i é arbitrária e significa escolher a altura em que a energia potencial é nula. Então, ao escolhermos a origem do eixo OZ como z i = 0, encontramos U(z) = mgz. Para o caso da Lei de Hooke, a força é F(x) =!kx e a energia potencial será x U(x) =!" (!kx ')dx ' = 1 kx 2! kx i x i 2. (5.3.15) Ao escolhermos a posição de equilíbrio da mola como x i = 0, temos que U ( x) = 1 2 kx2. (5.3.16) Note que, se a mola não está nem comprimida e nem dilatada, a massa atada à mola não possui energia potencial. Além disso, pela Equação (5.3.14), vemos que a energia potencial armazenada pelo sistema massa-mola, quando está comprimida de uma distância d com relação ao ponto de equilíbrio, possui a mesma energia

10 potencial quando está dilatada da mesma distância d. Em ambos os casos, a energia potencial é U = kd 2 / 2. De fato, quando está dilatada, a energia potencial é d U =!" (!kx ')dx ' = 1 2 kd 2. Por sua vez, quando está comprimida, a energia potencial é!d 0 U =! " (!kx ')dx ' =! " kx 'dx ' = 1 kd !d Agora, vamos considerar o caso em que a forca resultante aplicada sobre um corpo no movimento unidimensional só dependa da posição da partícula. Se representarmos por W xi!x f o trabalho realizado pela força resultante para fazer uma partícula ir da posição inicial x i até a posição final x f, podemos dizer que a variação da energia potencial da partícula,!u = U x f ( ), é ( ) " U x i!u = "W xi #x f, (5.3.17) pela definição de energia potencial vista na Equação (5.3.14). Por outro lado, pela Equação (5.2.11), quando a força resultante só depende da posição, o trabalho realizado pela resultante para fazer uma partícula ir da posição inicial x i até a posição final x f, é igual à variação da energia cinética. Portanto, basta combinar esses dois resultados para dizer que, para uma força resultante de uma partícula que só dependa da sua posição no movimento unidimensional, a variação da energia cinética da partícula é igual a menos a variação da sua energia potencial, isto é,!k = "!U. Aliás, isso é o mesmo que dizer que: Atenção: A energia mecânica de uma partícula se conserva quando a força resultante que atua sobre ela só depende da sua posição, no movimento unidimensional.

11 Para demonstrar isso, basta escrever!k = K f " K i e!u = U x f ( ). Como!K = "!U, temos que ( ) " U x i E f! K f + U ( x f ) = K i + U ( x i )! E i. Logo, a energia mecânica em x i, representada por E i, é igual à energia mecânica em x f, representada por E f, ou seja, a energia mecânica se conserva quando a força resultante realiza trabalho entre as posições x i e x f. Finalmente, como conseqüência do resultado acima, podemos dizer que: Atenção: Se uma força aplicada sobre uma partícula só depende da sua posição no movimento unidimensional, essa força é conservativa. Em particular, a força dada pela Lei de Hooke é conservativa. Curiosidade: Neste ponto, vamos reproduzir um comentário pertinente feito pelo Prof. H. Moysés Nussenzveig em seu livro Curso de Física Básica, v.1 : Poderia parecer, à primeira vista, que a força de atrito cinético ( F a = µ c N ) satisfaz ao critério de só depender da posição, uma vez que µ c é (aproximadamente) independente da velocidade, o que caracteriza uma força conservativa. Entretanto, mesmo que a magnitude da força seja independente da velocidade, o seu sentido se inverte quando a velocidade se inverte. Assim, o vetor! F a depende da velocidade, e a força correspondente é, de fato, dissipativa.

12 Figura 5.6: Sistema massa-mola. a) A mola está dilatada de uma distância x a partir da sua posição de equilíbrio. Nesse ponto a força restauradora é negativa, embora a posição da massa seja positiva. b) Sistema massa-mola na posição de equilíbrio. Nesse ponto a mola não exerce força sobre a massa. c) A mola está comprimida de uma distância x. A força restauradora é positiva, embora a posição da massa seja negativa. Para fixar as idéias, considere o sistema massa-mola. Suponha que a mola seja dilatada de uma certa distância x, medida a partir da posição de equilíbrio, como mostra a Figura 5.6.a acima. Em seguida, imagine que a massa atada à mola seja largada. O que deve acontecer? Bem, se você estudou com atenção a discussão que fizemos acima para uma força conservativa, você já deve saber que, ao ser dilatada, o sistema massa-mola armazenou energia potencial; portanto, a força restauradora da mola pode produzir trabalho. Assim, essa força restauradora realiza trabalho positivo sobre a massa, fazendo com que o sistema adquira energia cinética. Ao chegar à posição de equilíbrio, em que a mola não está nem dilatada e

13 nem comprimida, toda a energia potencial foi transformada em energia cinética. Essa situação é ilustrada pela Figura 5.6.b. Nós poderíamos lhe perguntar, então: Qual foi o trabalho realizado pela força restauradora para fazer a massa ir da posição x até a posição 0? _Ora, o trabalho é dado pela Equação (5.2.1), o que significa resolver uma integral. Entretanto, também sabemos que o trabalho realizado é menos a variação da energia potencial. Portanto, $ W x!0 = "#U = " 0 " 1 ' % & 2 kx2 ( ) = 1 2 kx2. A partir desse ponto, é interessante perceber que a massa continuará se deslocando, comprimindo a mola. Essa compressão continuará até que a mola esteja comprimida de uma distância x, quando o sistema pára momentaneamente. Essa situação está ilustrada pela Figura 5.6.c. Enquanto foi comprimida, a força restauradora da mola realizou trabalho negativo retirando a energia cinética do sistema, que foi toda transformada em energia potencial. Podemos calcular o trabalho realizado pela força para fazer a massa ir da posição 0 até a posição x: $ W 0!" x = "#U = " 1 ' 2 kx2 " 0 % & ( ) = " 1 2 kx2. Combinando os dois resultados anteriores, percebemos que o trabalho realizado pela força restauradora para fazer a massa sair da posição x até a posição x é zero. Mas isso não encerra nossa discussão, pois, como está comprimida e o sistema possui energia potencial, a força restauradora é capaz de produzir trabalho. Assim, a massa continuará se deslocando, agora na direção contrária, até parar momentaneamente na posição de onde tinha saído, em que a mola está dilatada de uma distância x, como mostra a Figura 5.6.a. Na verdade, a massa vai e vem indefinidamente, pois apenas uma força conservativa atua sobre o sistema. É fácil ver que o trabalho realizado pela força restauradora para ir da posição x até a posição x é zero. (Esse cálculo é simples e similar ao feito para o trabalho realizado entre x e x.). Assim, podemos combinar todos os resultados anteriores e concluir que o trabalho realizado pela força restauradora da mola para fazer a massa ir e voltar ao ponto de onde saiu é zero.

14 Essa é uma característica de uma força conservativa no movimento unidimensional, em que o trabalho realizado para ir e voltar ao mesmo ponto é nulo. Curiosidade: Na verdade, é assim que testamos para ver se uma força é conservativa no movimento tridimensional. De fato, no caso geral, dizemos que uma força atuando sobre uma partícula é conservativa quando! " F! d l! = 0, (5.3.18) C onde C é qualquer trajetória fechada realizada pela partícula. Isso é análogo a dizer que o trabalho realizado pela força sobre a partícula para sair de um determinado ponto no espaço e voltar ao mesmo ponto descrevendo uma curva arbitrária é zero. Obviamente, o cálculo da integral de linha acima está fora do objetivo deste curso e não será cobrado nas avaliações. Como um último comentário, considere a energia potencial associada a uma força resultante que só dependa da posição no movimento unidimensional. Da Equação (5.3.14), podemos usar o famoso Teorema Fundamental do Cálculo para escrever: ( ) =! du(x) R x dx, (5.3.19) onde R( x) é a função força resultante, que só depende da posição da partícula, x, no movimento unidimensional. Podemos, então, usar a 2ª Lei de Newton para reescrever a Equação (5.3.19) acima por a(x) =! 1 m ( ) dx du x, (5.3.20) o que nos permite obter a função aceleração da partícula. Assim, se conhecemos a energia potencial da partícula e também a sua posição e a sua velocidade em um instante inicial, o que corresponde a fornecer as condições de contorno do problema, podemos descrever completamente o movimento da partícula.

15 Na verdade, em diversas aplicações, pode ser mais conveniente estudar o movimento de um sistema através da sua energia mecânica, do que tentar identificar todas as forças que atuam sobre um sistema e calcular as forças resultantes sobre cada partícula. Aliás, as implicações dessa afirmação são imensas, mas, infelizmente, não podem ser totalmente explicadas em um curso de Física básica.

16 Créditos: Texto de Lizardo H. C. M. Nunes Logotipo da Extensão em Física criado por André Nogueira