Conservação de Massa. A quantidade de fluido entrando no cubo pela face y z intervalo t

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1 Conservação de Massa Em um fluido real, massa deve ser conservada não podendo ser destruída nem criada. Se a massa se conserva, o que entrou e não saiu ficou acumulado. Matematicamente nós formulamos este conceito desenvolvendo a equação da continuidade que estabelece que havendo um fluxo de massa para o interior de um volume de controle (como o cubo na figura ao lado), e havendo uma diferença entre o fluxo de saída e o de entrada, esta diferença está relacionada com mudanças na densidade do fluido ocorridas dentro do volume de controle.

2 Conservação de Massa Digamos que o centro do cubo, com lados infinitesimais x, y e z, está localizado em x,y,z. Pelo conceito de conservação de massa sabemos que a quantidade de fluido entrando no cubo deve igualar o acúmulo de massa dentro do cubo e a quantidade de massa saindo. Vamos considerar um fluido com densidade ρ e com componentes de velocidade na direção x (u(x,y,z,t)=dx/dt), na direção y (v(x,y,z,t)=dy/dt) e na direção z (w(x,y,z,t)=dz/dt).

3 Conservação de Massa A quantidade de fluido entrando no cubo pela face y z no intervalo t é: O fluxo de massa na direção x é igual ao produto 'rho u dy dz dt'. Podemos verificar que o produto de densidade, velocidade, área e tempo tem unidade de massa. Os valores entre parênteses indicam a localização no espaço da variável considerada.

4 Conservação de Massa A quantidade de fluido entrando no cubo pode ser representada através de séries de Taylor relacionando-a com a quantidade de fluido no centro do cubo, considerando um cubo de dimensões infinitesimais: Podemos agora determinar a quantidade de fluido saindo na face direita do cubo, também representada pela série de Taylor: Subtraindo o fluxo que sai do que entra no cubo [(3)-(2)] obtemos o fluxo total de massa na direção x, ou seja, o acúmulo na direção x (para não sobrecarregar as fórmulas vamos eliminar os parênteses que representam a localização das variáveis no espaço):

5 Conservação de Massa Considerando-se as outras faces do cubo, o fluxo total de massa que sai do cubo é: onde O( x 4 ) representa termos de maior ordem. O acúmulo de massa dentro do cubo para um incremento de tempo dt é representado por Desmenbrando este termo usando a regra da cadeia e considerando o volume do cubo (V) constante, obtemos Onde mais uma vez pode ser observado que o produto da taxa de variação da densidade pelo volume tem unidade de massa.

6 Conservação de Massa Para haver conservação de massa, qualquer fluxo positivo de saída de massa deve ser balanceado por um decréscimo de massa dentro do cubo. Portanto, o decréscimo de massa no cubo no intervalo t é: Logo a massa total saindo do cubo é igual a taxa de decréscimo de massa no interior do cubo, ou seja, igualamos as equações (5) e (6), e ignorando os termos de maior ordem obtemos:

7 Reagrupando Conservação de Massa e expandindo mais uma vez usando a regra da cadeia obtemos a Equação da Continuidade ou em notação vetorial

8 Conservação de Massa Assumindo a hipótese de que a água é incompressível, ou seja, grandes aumentos na pressão resultam em pequenas mudanças na densidade da água, podemos considerar a densidade da água constante. Logo (10 e 11) podem ser re-escritas que é a Equação da Continuidade para fluidos não divergentes (i.e. a densidade é considerada constante). Percebemos em (12) que uma mudança no fluxo numa particular direção deve ser compensada por uma correspondente variação em outra direção assegurando portanto que não ocorra acúmulo no interior do cubo.

9 Conservação da Quantidade de Movimento A Segunda Lei de Newton estabelece que massa vezes a aceleração de uma partícula é igual ao somatório das forças que atuam nesta partícula. As equações que precisamos resolver para descrevermos a dinâmica dos oceanos são denominadas equações do movimento, que são simplesmente a Segunda Lei de Newton representada de uma maneira aplicável em oceanografia. já que as forças em consideração são por unidade de volume. Desconsiderando-se em um primeiro momento o efeito de rotação e efeitos viscosos, vamos expressar matematicamente a equação do movimento.

10 Conservação da Quantidade de Movimento Vamos aplicar a Segunda Lei de Newton à uma parcela de fluido sofrendo aceleração. Considere um cubo de dimensões dx,dy,dz em um sistema cartesiano de coordenadas rotacionado do ângulo em relação ao eixo x. Uma quarta variável, h, é usada para medir a altura do cubo no campo gravitacional, como mostra a figura. Duas forças normais atuam no cubo na direção x, F 1 e F 2, devido à diferença de pressão nos lados opostos do cubo. Uma terceira força, F 3, ocorre devido à gravidade.

11 Conservação da Quantidade de Movimento Considerando-se a pressão no centro do cubo como P 0, podemos determinar cada uma das forças truncando a série de Taylor e obtendo:

12 Conservação da Quantidade de Movimento Considerando-se todas as forças que atuam na direção x Aplicando a Segunda Lei de Newton e substituindo sin por h/ x onde a x é a aceleração de uma partícula na direção 'x' (a x =Du/Dt). Logo

13 Conservação da Quantidade de Movimento A acelereção total, Du/Dt, é a soma da aceleração local com as componentes advectivas De maneira similar podemos considerar as forças nas direções y e z, obtendo Essas 3 equações descrevem a conservação de quantidade de movimento para um fluido não viscoso (i. e. onde os efeitos viscosos são desprezados) denominadas Equações de Euler ou equações da quantidade de movimento. Estas equações foram escritas para um eixo de referência com orientação arbitrária. Para o caso onde o eixo z é alinhado verticalmente, o termo gravitacional aparece somente em Dw/Dt.

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