Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Funções de duas ou mais variáveis.

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Neusa Mendes Freire
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1 Resumo com exercícios resolvidos do assunto: (I) (II) (III) Funções de duas ou mais variáveis; Limites; Continuidade. (I) Funções de duas ou mais variáveis. No Cálculo I estudamos funções de uma variável,do tipo y=f(x) em que o domínio era uma reta, apenas. Agora, no Cálculo II, estudaremos funções do tipo z=f(x,y),w= f(x,y,z), etc. Função de 2 variáveis: Neste caso, temos que o domínio da função passa a ser uma área, e o gráfico de z=f(x,y) passa a ser uma superfície, onde a imagem vai do valor mínimo até o valor máximo que z assume. z = f x, y = 9 x² y² Como uma raiz quadrada não pode ser negativa (nos reais), temos que: 9 x² y² 0, logo x² + y² 9 Vemos, portanto que o domínio é dado pela área contida dentro de um disco de raio 3.

Função de 2 variáveis: Neste caso, temos que o domínio da função passa a ser uma área, e o gráfico de z=f(x,y) passa a ser uma superfície, onde a imagem vai do valor mínimo até o valor máximo

2 Gráfico: z = 9 x² y² z² + y² + x² = 9 Essa é a equação de uma esfera de raio 3, no entanto, z deve ser positivo para estar contido no domínio,logo o gráfico será apenas a parte positiva da equação da esfera (semiesfera de raio 3). Semiesfera de raio 3 Imagem: Ao observar o gráfico, vemos que z varia de 0 até 3, logo a imagem será: Dom(z) = [0,3] Obs: Funções de 3 variáveis: Neste caso, o domínio da função w=f(x,y,z) seria uma superfície, e o gráfico seria algo na 4ª dimensão, não sendo possível de desenhar. Mesmo assim, ainda é possível descobrir a sua imagem algebricamente. Obs 2: Para funções com mais de 3 variáveis não é possível esboçar o domínio nem o gráfico da função, por isso, essas são mais difíceis de serem estudadas. Exemplo (3 variáveis): w = f x, y, z = log (25 x 2 y 2 z 2 )

3 Domínio: (R³) 0 x² + y² + z² < 25 Logo, percebemos que o domínio será uma esfera maciça, de raio menor do que 5 (sendo a casca esférica que sobrepõe a esfera fora do domínio). Imagem: Vemos que o gráfico (eixo w) teria uma variação de ln(0) = - até ln25 = 2ln5, portanto temos: O gráfico dessa função não é possível esboçar. Im W = [, 2ln5] Curvas de Nível As curvas de nível de uma função F de duas variáveis,são funções do tipo f(x,y)=k, onde K é uma constante. Em outras palavras, é como cortar o gráfico da função em diferentes alturas e depois planificar as imagens encontradas. Esboce as curvas de nível da função z = f(x, y) = 9 x² y² para K=0,1,2 e 3. K=0,temos z=0 9 x² y² = 0 9 = x² + y² Circunferência de raio 3 K=1, temos z=1 9 x 2 y² = 1 x² + y² = 8 Circunferência de raio 2 2 K=2, temos z=2 9 x 2 y² = 4 x² + y² = 5 Circunferência de raio 5 K=3, temos z=3 9 x² y² = 9 x² + y² = 0 Ponto (x,y)=(0,0) Exercícios Recomendados: Curvas de nível da função f(x,y).

Im W = [, 2ln5] Curvas de Nível As curvas de nível de uma função F de duas variáveis,são funções do tipo f(x,y)=k, onde K é uma constante.

1)(Stewart)Determine e esboce o domínio da função f(x,y)=ln(9-x²-9y²). 2) (Stewart)Determine o domínio da função f(x,y)= y x² 1 x². 3)(Stewart)Esboce o gráfico da função f(x,y)=10-4x-5y.

4 1)(Stewart)Determine e esboce o domínio da função f(x,y)=ln(9-x²-9y²). 2) (Stewart)Determine o domínio da função f(x,y)= y x² 1 x². 3)(Stewart)Esboce o gráfico da função f(x,y)=10-4x-5y. Gabarito : 1-{(x,y) 1 9 x² + y² < 1},(-, ln9) 2-{(x, y) y x2, x ±1 3- (II) Limites Em uma função de duas variáveis, para o ite F(x, y) existir, os subites (ites calculados em todas as direções possíveis) devem existir e devem ser todos iguais. Mostre que não existe o ite:. x²+y² Para mostrar que não existe ite basta encontrar dois subites diferentes. Temos: Dom x 2 = R² {(0,0)} + y2 Fazendo o subite na direção do eixo y, (x=0), temos: x 0 x² + y² = 0 y 2 = 0 Fazendo o subite na direção da reta y=x, temos: x² + y² = x² 2x² = 1 2 Portanto, como encontramos dois subites diferentes, podemos concluir que o ite não existe.

possíveis) devem existir e devem ser todos iguais. Mostre que não existe o ite:. x²+y² Para mostrar que não existe ite basta encontrar dois subites diferentes.

5 Outra maneira de provar que o ite não existe é usando noção de grau. x²+y² Grau 2 Como os graus do numerador e do denominador são iguais, já devemos suspeitar que o ite não existe. Para confirmar, fazemos a substituição y=mx. x² + y² = mx m 2 x² = m 1 + m 2 Como m pode variar, vemos que existem infinitos subites, que dependem da inclinação da reta y=mx. Logo, podemos concluir que o ite não existe. Existem outras aplicações para utilizar o conceito de grau, um deles é substituir o valor de uma variável em relação a outra para igualar o grau e provar que o ite não existe. y 9600 x 4 y x 100 Notamos que, para igualar o grau, podemos fazer a substituição x = my 100 y 9600 x 4 y x 100 = y 9600 m 4 y 400 y m 100 y = m m 100 Como m é uma variável, vemos que existem infinitos subites, logo, o ite em questão não existe. Podemos perceber então, que é muito mais difícil a existência do ite de uma função de duas variáveis do que quando trabalhávamos com funções de uma variável. No entanto, utilizando separações de funções e Teorema do Confronte é possível provar a existência do ite em algumas funções. Exemplo 1: x 2 y x 2 +y² Grau 3 Grau 2 Como o grau do numerador é maior que do denominador, a intuição nos diz que a parte de cima da equação tende a zero mais rápido, logo o ite seria 0. Mas como provar isso? x² Vamos separar a função em y.. Podemos perceber que x² x²+y² igual a zero e menor ou igual a 1. (Função itada). 0 x² x² + y² 1 x²+y² será sempre maior ou

6 x 2 Logo, y. = 0 x 2 +y² 0 entre 0 e 1 Obs: Sempre que a função for separável, dessa forma o ite existe. Exemplo 2: Vamos separar a função em: x. cos(x). Mas, 1 cos x 1 e 0 cos(x) x 2 + y y x 2 + y y x 2 + y 1 Logo, essas duas funções são itadas, e: x. cos x. y =0 x 2 + y Tende a 0 itado itado (III) Continuidade Dizemos que uma função f(x,y) é contínua num ponto (a,b) Domínio se x,y (a,b) f(x, y) existe e Teorema: As funções principais conhecidas (Polinômios, senos e cossenos, exponenciais, logaritmos...) são contínuas em todos os pontos do seu domínio, assim como a composição dessas funções. Ex.:F(x,y)= sen(x²+y²) é continua em R² pois é formada pela composição seno e polinômio. Calcule os pontos de continuidade da função: x²y x 4 +y² se x, y (0,0) F(x,y)= 0 se x, y = (0,0) Domínio da Função = R² Podemos perceber que a função é contínua em todos os pontos diferentes de (0,0),pois essa função é formada pela composição de dois polinômios. Agora devemos descobrir se a função também e contínua no ponto (0,0). Para isso ocorrer, devemos ter que : x²y x 4 = F 0,0 = 0 + y² Mas, usando a substituição y=mx² temos que: f(x, y) = f(a, b) x,y (a,b) x²y x 4 + y² = mx m 2 x 4 = m 1 + m²

7 Como temos infinitos subites, não existe ite, e portanto a função não é contínua no ponto (0,0). Logo, os pontos de continuidade são: R²-(0,0). Exercícios Recomendados: 1) Diga o valor de a, se possível, de modo que a seguinte função seja contínua na origem: F(x,y) = 3 ² x²+y², se x, y (0,0) a, se x, y = (0,0) x.sen (y) 2) Calcule x²+ y 3) Calcule os seguintes ites (se existirem): a) x,y (1,0) log ( 1+x 2 ) x 2 + b) c) 4 x 2 +y 8 y²+x 2 x²+y²+1 1 xz +yz d) x,y,z (0,0,0) x²+y²+z² 4) (UFRJ Modificada) Diga se existem os seguintes ites abaixo: 5) (UFRJ ) 6) (UFRJ ) Gabarito: a) 0 b) c)2 d) 4- Existe.Não existe 5- a 6- a) Não b) Não

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