CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA

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1 Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa T3 Física Experimental I /08 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA 1. Objectivo Verificar a conservação da energia mecânica de corpos que se deslocam numa calha inclinada. 2. Introdução Energia cinética A energia cinética de um corpo de massa m e velocidade pode ser relacionada com o trabalho realizado pela força para parar o corpo,. (1) isto é, para o corpo passar da velocidade, no estado inicial, para a velocidade nula no estado final, (2) Como, por hipótese, a energia cinética do corpo no estado final é nula 0, vem: (3) Desenvolvendo a equação (1) vem: cos, (4) sendo cos, a componente da força segundo o deslocamento, ou seja, a componente da força que produz variação do módulo da velocidade. A equação (4) vem: 0 (5)

2 De (3), (4) e (5) temos: De uma forma mais geral podemos dizer que se é a resultante das forças que actuam a partícula de massa m, o trabalho dessa força é igual à diferença entre os valores final e inicial da energia cinética da partícula (7) Energia potencial Uma força é conservativa quando o trabalho dessa força é igual à diferença entre os valores inicial e final de uma função que só depende das coordenadas. Essa função designa-se energia potencial.. (6) (8) sendo E p = E p (x,y,z). O trabalho de uma força conservativa não depende do caminho seguido para ir do ponto A para o ponto B. O trabalho de uma força conservativa ao longo de um caminho fechado é nulo..0 (9) O peso é uma força conservativa. Vamos calcular o trabalho da força peso quando o corpo se desloca da posição A cuja ordenada é y A para a posição B cuja ordenada é y B... (10) Esta expressão dá a energia potencial do ponto A relativamente ao ponto B. A energia potencial E p correspondente à força conservativa peso tem a forma E p = mgy + C (11) Onde C é uma constante aditiva que nos permite estabelecer o nível zero da energia potencial. Uma vez que a definição do zero de energia é arbitrário podemos escrever E p = mgy fixando E p = 0 para y = 0. Conservação da energia mecânica Se numa partícula actuar apenas a força conservativa F r, o trabalho dessa força é igual à diferença entre o valor inicial e final da energia potencial como está expresso em (8). Por outro lado o trabalho da resultante das forças que actuam sobre a partícula é igual à diferença entre o valor final e inicial da energia cinética, como vimos em (2), então. (12) 2(6)

3 Igualando os trabalhos (8) e (12) vem: donde, (13) (14) que é a expressão do princípio da conservação da energia mecânica. A energia mecânica da partícula, soma da sua energia cinética e potencial, é constante em todos os pontos da trajectória. Energia cinética de um corpo rígido Um corpo rígido é um corpo em que as distâncias entre todas as partículas componentes permanecem fixas sob a acção de uma força ou do momento de uma força; um corpo rígido é, portanto, um caso especial de um sistema composto por muitas partículas. O movimento geral de um sólido rígido pode sempre ser obtido pela combinação de um movimento de translação e de rotação independentes. No movimento de translação, todos os pontos do sólido se movem em trajectórias paralelas. A velocidade de um ponto do sólido é a mesma que a velocidade do centro de massa. No movimento de rotação em torno de um eixo que passa pelo centro de massa, a velocidade de um ponto do sólido é proporcional ao raio da circunferência que descreve (v = ωr) e a sua direcção é tangente à circunferência. Na figura representam-se as coordenadas de um ponto P i de um corpo relativas a um ponto O fixo no espaço e relativas ao centro de massa CM do corpo. Representámos por maiúsculas as coordenadas relativas a um referencial fixo. Derivando em ordem ao tempo vem: (15) ou (16) (17) é a velocidades da partícula i relativamente a um referencial de inércia. No caso geral, é conveniente escrever a velocidade de cada partícula como a soma da velocidade do centro de massa relativa ao referencial de inércia, adicionada da velocidade da partícula relativa ao CM. 3(6)

4 A energia cinética total de um sistema de partículas é a soma da energias cinética de todos as partículas constituintes, onde m i é a massa da partícula i. A expressão (18) da energia cinética pode então escrever-se: (18). (19) No caso de um corpo rígido, tem-se. 0 porque varre todas as direcções e todos os pontos à mesma distância r i do CM têm a mesma velocidade em módulo. Então: (20) (21) (22) A energia cinética de um corpo rígido é igual à soma da energia cinética de translação do centro de massa com a energia cinética rotacional, em torno de um eixo que passa pelo centro de massa. A constante de proporcionalidade entre a energia cinética e o quadrado da velocidade é, no primeiro caso, a massa do corpo (que mede a inércia desse corpo associada ao movimento de translação) e, no segundo, o momento de inércia (23) que mede a inércia associada ao movimento de rotação. Para um sistema com uma distribuição contínua de massa a expressão (23) vem na forma (24) onde r é a distância ao eixo de rotação do elemento de massa dm. O raio de giração de um corpo é a quantidade K definida de modo que seja válida a relação (25) K representa a distância ao eixo em que toda a massa pode ser concentrada sem variar o seu momento de inércia. Note que quando um corpo redondo rola numa superfície, há uma força de atrito no ponto de contacto, de outro modo o corpo deslizaria. A força de atrito estático ainda que necessária para o movimento de rolar sem deslizar origina um trabalho nulo uma vez que o deslocamento do ponto de contacto é nulo (o corpo não escorrega), ou seja, a energia mecânica conserva-se o que significa que a força de atrito não realiza trabalho no deslocamento do corpo, podendo considerar-se que apenas forças conservativas realizam trabalho durante este movimento. 4(6)

5 3. Para resolver antes da aula de realização do trabalho 1) Qual é a energia cinética de um corpo de massa 100 g que se desloca na horizontal com uma velocidade de 10 m/s? 2) Qual é a energia potencial do mesmo corpo a 100 m de altura se se definir E p = 0 J para uma altura de 1000 m? 3) Considere um corpo que desce um plano inclinado sem atrito. O corpo é largado na posição x 0 com velocidade nula. Como varia a energia mecânica total com a posição? Obtenha a expressão da energia cinética e potencial em função da posição x do corpo no plano inclinado. Verifique que satisfazem o princípio da conservação da energia mecânica. 4. Realização experimental Material Calha com fita métrica Sensores ópticos (foto transístores), agrupados em pares separados de 2.0 cm, ligados a uma unidade de controlo que regista os tempos que separam a passagem do corpo entre dois sensores. A unidade de comando da calha controla ainda um electromagnete que mantém o carrinho na posição mais elevada. Carrinho que se move com atrito desprezável e cilindro. 0 A A A calha tem uma escala métrica para permitir ler posições. Neste trabalho vai verificar a conservação de energia mecânica para um carrinho que se move com atrito desprezável num plano inclinado. Um cilindro que rola sem escorregar num plano inclinado, além da energia cinética de translação, possui energia cinética de rotação que vai determinar admitindo o princípio da conservação da energia mecânica. Carrinho que se desloca com atrito desprezável 1. Um corpo de massa m desce sem atrito um plano inclinado. Qual a força responsável pelo movimento do corpo? Esta força é conservativa? O que é que isso significa? 5(6)

6 2. Certifique-se que, na situação em que a calha está perfeitamente nivelada e que, portanto, o carrinho em situação de atrito desprezável se mantém parado sobre a calha, a direcção do fio-deprumo indica uma inclinação nula. Se houver erro de zero ele terá de ser tomado em conta. 3. Incline a calha de um ângulo entre 3 e 5.5º e coloque os sensores numa posição AA. 4. Quais os dados que necessita registar para verificar a conservação da energia mecânica do carrinho no seu movimento ao longo do no plano inclinado? 5. Largue o corpo na posição 0 e faça os registos necessários à verificação da conservação da energia mecânica. 6. Varie a posição AA dos sensores ao longo da calha, e prossiga os registos para cerca de 10 posições. 7. Represente graficamente a energia cinética, potencial e mecânica nas diferentes posições do corpo no seu movimento; inclua o ponto de largada e o ponto de referência da energia potencial. Qual o valor da energia mecânica? Cilindro que rola sem escorregar 8. Coloque os sensores numa posição AA. Largue o cilindro da posição 0 e faça os registos necessários para obter em cada ponto a energia cinética de translação e potencial do corpo; inclua o ponto de largada e o ponto de referência da energia potencial. 9. Calcule a energia potencial no instante inicial. Admitindo a conservação da energia mecânica, qual a energia mecânica total do corpo no seu movimento ao longo do plano inclinado? 10. Represente as energias, cinética de translação do CM e potencial gravítica, em função da posição. A partir destes dados calcule a energia cinética de rotação E rot para as diferentes posições do corpo no seu movimento. 11. Represente E rot em função de v 2 e calcule o momento de inércia do cilindro utilizado. Sabendo que o momento de um cilindro se pode escrever I = MK 2 = kmr 2, onde K se designa raio de giração, calcule K ou k para o cilindro que rola no plano inclinado. 6(6)