Capítulo 7 Conservação de Energia

Transcrição

1 Função de mais de uma variável: Capítulo 7 Conservação de Energia Que para acréscimos pequenos escrevemos Onde usamos o símbolo da derivada parcial: significa derivar U parcialmente em relação a x, mantendo y e z constantes Exemplo: Definindo o vetor gradiente a partir do escalar U(x,y,z) Muitas vezes, falamos de um operador gradiente (chamado Nabla ou Del) Ele opera sobre um escalar gerando um vetor. É um operador diferencial. E lembrando que Podemos escrever Dada a função U(x,y,z), temos imediatamente um vetor cuja direção é aquela que maximiza o incremento du pois o incremento deve ser escolhido na direção do vetor, já que Que é máximo quando θ = 0. Quando incrementamos x, y e z na direção de uma superfície equipotencial de energia potencial, isto é, U(x,y,z) = c = constante (define uma superfície em 3d), então estará no plano tangente à superfície equipotencial, du = 0 e será perpendicular à superfície U(x,y,z) = c. Por outro lado, uma força em 3 d será

2 Se ela for conservativa, então existe uma energia potencial associada De (1) e (2) segue Ou seja, a Força é o menos o gradiente da energia potencial. Pode-se demonstrar que uma F é conservativa se e somente se o seu rotacional é nulo. Define-se o rotacional de uma força F como sendo o determinante Exemplo: Um corpo de massa m se movimenta num plano horizontal sob a ação da força Calcule o trabalho que ela realiza para levar o corpo da posição 1: (x 1, y 1 ) = (3, 4) para a posição 2: (x 2, y 2 ) = (4, 3) pelos caminhos a e b. Repita o cálculo para a força de atrito com coeficiente de atrito cinético μ c. y (3,4) a b (4,3) x a) De (3,4) para (3,3) temos x = 3, dx = 0 e De (3,3) para (4,3) temos y = 3, dy = 0 e

3 Logo E b) A equação da reta que une os pontos 1 e 2 é Logo dy = - dx e o versor apontando no sentido de 1 para 2 ( ) Logo, Comentário Final note que se formos de 1 a 2 pelo caminho a e voltarmos de 2 para 1 pelo caminho b (num circuito fechado) teremos Obs: a força de atrito muda de sinal de 2 para 1, mas os limites de integração trocam e mudam de sinal mais uma vez.

4 Força Central Se F(r) for positivo (negativo), a força será repulsiva (atrativa). Mas Vemos da expressão acima que a progressão se faz da esfera de raio (centrada em O) para a esfera de raio, logo não depende do caminho. Toda força central é conservativa! Vocês podem provar isso de maneira alternativa calculando o rotacional de Lembre-se que para x, y e z Lei da Gravitação de Newton Então,, logo Para movimentos próximos da superfície da Terra, teremos Terra e h a altura acima da superfície., onde R é o raio da Como teremos Como conhecemos g, G e R obtemos a massa da terra g/cm3 (para H2O vale g/cm3 ) e a densidade do planeta

5 Se desprezarmos a resistência do ar, quando lançamos um corpo de massa m da superfície da Terra com velocidade igual à velocidade de escape (é a menor velocidade para que o corpo fique em repouso no infinito) podemos usar conservação de energia Logo Exemplo de Conservação de Energia m A P C d z B Num pêndulo um corpo de massa m é abandonado de uma altura z. Um prego P está a uma altura d na vertical. Quais as condições sobre d para que a corda possa se enrolar totalmente atingindo o ponto C que está a uma altura 2d? Para que a corda possa dar uma volta completa em P, obviamente devemos ter Escolhendo o zero da energia potencial na linha AB, temos a energia mecânica inicial Quando o corpo atingir o ponto C teremos a energia mecânica final No ponto C, a 2ª. Lei nos fornece Como conserva energia mecânica, ou Logo, Ou Como. Para, a corda não atinge o ponto C.

6 Forças não conservativas Seja um corpo de massa m submetido a N forças conservativas e M forças dissipativas. A força resultante será Logo, Como,, teremos Integrando Ou seja, o trabalho total realizado por todas as forças dissipativas é igual à variação da energia mecânica do sistema!! Potência O trabalho realizado por unidade de tempo chamamos de potência P. A potência média A potência instantânea Unidades: 1 watt = 1 W = 1 joule/s O quilowatt-hora é unidade de energia: 1 kwh = 10 3 W x 3, s = 3, J Como