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1 FEP195 - Física Geral e Experimental para Engenharia I Prova Substitutiva - Gabarito 1. Um corpo de massa m, enfiado em um aro circular de raio R situado em um plano vertical, está preso por uma mola de constante k ao ponto C, no topo do aro. O corpo pode se deslocar ao longo do aro com atrito desprezível. Na posição relaxada da mola, o corpo está em B, no ponto mais baixo do aro. Se soltarmos o corpo em repouso a partir do ponto A indicado na figura, com θ = 60, escreva: (a) (1,0) a energia mecânica total no ponto A, (b) (0,5) a energia mecânica total no ponto B. (c) (1,0) Determine a velocidade da partícula no ponto B. C R θ B A (a) Energia mecânica total no ponto A Adotando a energia potencial em B, U B = 0, a energia mecânica total no ponto A será dada pela energia potencial do ponto A, já que o corpo está em repouso nesse ponto. E A = U A = mgh + 1 kx onde h é a diferença de altura entre os pontos A e B e x é a compressão da mola. h = R R cos(θ) = R[1 cos(θ)] para θ = 60 h = 1 R x = R l onde l é o comprimento da mola comprimida. Usando a lei dos cossenos l = R + R RR cos(α) onde, da figura, α = π θ. Assim. l = R [1 + cos(θ)] que para θ = 60 dá l = 3R 1

2 ou seja, x = ( 3)R Energia mecânica total no ponto A E A = mg 1 R + 1 k( 3) R E A = 1 mgr + 1 k( 3) R (b) Energia mecânica total no ponto B. Como não existem forças dissipativas no sistema, a energia mecânica total deve ser conservada, portanto E B = E A E B = 1 mgr + 1 k( 3) R (c) Velocidade da partícula no ponto B. Como temos E B = U B + 1 mv B 1 mv B = 1 mgr + 1 k( 3) R o que nos dá para a velocidade no ponto B v B = gr + k m ( 3) R

3 . Um caixote de massa m = 10 kg é lançado horizontalmente sobre um carrinho de massa 40 kg, inicialmente em repouso. A velocidade inicial do caixote é de 5 m/s. Ao tocar o carrinho o caixote desliza sobre ele até parar. m 5m/s m v A partir daí ambos, caixote e carrinho, continuam com velocidade v. (Despreze qualquer atrito no movimento do carrinho em relação ao solo.) (a) (0,5) Qual é a aceleração horizontal do centro de massa do sistema carrinho mais caixote durante o período em que o caixote está deslizando sobre o carrinho? (b) (1,0) Determine a velocidade final v. (c) (1,0) Qual a variação da energia mecânica do sistema carrinho mais caixote desde o instante que o caixote toca o carrinho até parar sobre ele? (a) Aceleração horizontal do centro de massa do sistema carrinho mais caixote durante o período em que o caixote está deslizando sobre o carrinho. Como a única força agindo horizontalmente é a força de atrito entre o caixote e o carrinho, que é uma força interna ao sistema, temos a CM = 0 (b) Velocidade final v. Como não existem forças externas agindo na direção horizontal, o momento linear do sistema deve se conservar. Assim mv i = (m + M)v onde v i = 5 m/s é a velocidade inicial do caixote e M = 40 kg é a massa do carrinho. v = mv i m + M = v = 1 m/s (c) Variação da energia mecânica do sistema carrinho mais caixote desde o instante que o caixote toca o carrinho até parar sobre ele. 3

4 Energia cinética inicial E i = 1 mv i = 1 10(5) = 15 J Energia cinética final E f = 1 (m + M)v = 1 ( )(1) = 5 J Variação da energia cinética E = E f E i E = 100 J 3. A figura mostra um par de discos maciços uniformes, cada qual com massa M e raio R (I CM = 1 MR ). Eles estão montados numa haste uniforme, de comprimento d = R e massa m = M (I CM = 1 1 md ). (a) (0,5) Calcular, em termos de M e R, o momento de inércia do sistema em relação a um eixo perpendicular à haste, passando por seu centro, fazendo o tratamento aproximado de considerar os discos puntiformes, com toda a sua massa concentrada no seu centro de massa, e a massa da haste desprezível. P M R m d M R (b) (1,0) Calcular, em termos de M e R, o momento de inércia do sistema em relação a um eixo perpendicular à haste, passando por seu centro, sem fazer o tratamento aproximado do item anterior. (c) (1,0) Considere o conjunto sobre uma mesa de ar horizontal, podendo deslocar-se sobre ela com atrito desprezível. Transmite-se um impulso instantâneo P a um dos discos, como mostrado na figura. Descreva completamente o movimento subseqüente do sistema. (a) Momento de inércia aproximado. Os discos são considerado como partículas de massa M colocadas a uma distância R do eixo que passa pelo centro da barra. Assim, I A = M(R) + M(R) 4

5 I A = 8MR (b) Momento de inércia exato. I = I barra + I disco I barra = 1 1 md = 1 M 1 (R) = 1 6 MR I disco = 1 MR + M(R) = 9 MR I = 1 6 MR + 9 MR I = 55 6 MR (c) Descrição completa do movimento. Para descrever completamente o movimento do sistema depois do impulso, devemos determinar a velocidade de translação do centro de massa do sistema e a velocidade angular de rotação do sistema em torno do seu centro de massa. A velocidade de translação do centro de massa do sistema pode ser obtida da conservação do momento linear antes e depois da aplicação do impulso, já que não existem forças externas ao sistema agindo na direção do seu movimento. P = ( M + M + M ) v CM v CM = P 5 M A velocidade angular de rotação do sistema em torno do seu centro de massa pode ser obtida da conservação do momento angular antes e depois da aplicação do impulso, já que não existem torques externos ao sistema. RP = Iω ω = RP 6 55MR 5

6 ω = 1 P 55 MR 4. O Big Ben, o relógio da torre do Parlamento em Londres, tem o ponteiro das horas com, 0 m de comprimento com massa de 60, 0 kg, e o ponteiro dos minutos com 3, 0 m de comprimento com massa de 100, 0 kg. Modelando os ponteiros como barras uniformes finas e longas com momento de inércia em relação ao seu centro de massa dado por I CM = 1 1 ML determine: (a) (1,0) a energia cinética rotacional do ponteiro dos minutos ao redor do eixo de rotação, (b) (1,0) o momento angular do ponteiro das horas ao redor do eixo de rotação, e (c) (0,5) o torque sobre cada ponteiro, devido ao seus pesos, quando o relógio indicar 3h00. (a) Energia cinética rotacional do ponteiro dos minutos onde E R = 1 I Mω M I M = 1 1 m Md M + m M ( dm ) = 1 3 m Md M = (3) = 300 kg m e ω M = π T M = π = π 1800 rad/s E R = π E R = π 1600 J (b) Momento angular do ponteiro das horas. L H = I H ω H onde I H = 1 3 m Hd H = () = 80 kg m 6

7 e ω H = π T H = L H = 80 π = π 1600 rad/s π 1600 L H = π 70 kg m /s (c) Torque sobre cada ponteiro, devido ao seus pesos, quando o relógio indicar 3h00. As 3h00 o ponteiro dos minutos está na vertical enquanto que o ponteiro das horas está na horizontal. Como o ponteiro dos minutos está na vertical, a sua força peso está alinhada com o eixo de rotação, assim τ M = 0 por Como o ponteiro das horas está na horizontal, o torque da sua força peso será dado τ H = m H g d H onde d H é o braço de alavanca. τ H = τ H = 600 N m 7

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