Exercícios resolvidos P2

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1 Exercícios resolvidos P Questão 1 Dena as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente, por sinh(t) = et e t e cosh(t) = et + e t. (1) 1. Verique que estas funções satisfazem a seguinte relação cosh (t) sinh (t) = 1 t R (). Use o item anterior para obter uma parametrização para a curva α = {(x, y) R x y =, x > 0}. Exiba uma parametrização do tipo x = f(y) para esta mesma curva. 3. onsidere a mudança de variáveis T (x, y) = (u, v) sendo que ( ) ( ) x T (x, y) =. y Mostre que essa mudança de variáveis leva a curva α no gráco da função f(u) = 1 u, u > 0. Resposta: Os dois primeiros itens são apenas contas diretas. Observe, apenas, que no item, a curva pode ser obtida como gráco de uma função de uma variável. Mas cuidado, o gráco da curva c : [a, b] R é um outro conjunto, ele é dado por Γ(c) := {(t, c(t)) R 3 }. Você é capaz de ver que, no caso do item, as duas curvas possuem grácos bem diferentes... Tente fazer um esboço. Quanto ao item 3, temos que as novas variáveis são dadas por (u, v) = (x y, x + y).

2 Figura 1: Questão Observe que elas satisfazem ( ) ( ) uv = (x y) (x + y) = 1 ( x y ). Se o ponto (x, y) estiver contido em α então uv = 1. omo x = 1 + y, temos que u = (x y) = ( 1 + y y) > 0. Logo, a curva α é levada no gráco da função v = f(u) = 1 u, u > 0. Questão A gura mostra um campo vetorial F e duas curvas 1 e. As integrais de linha de F sobre 1 e são positivas, negativas ou nulas? Explique.

3 Resposta: Relembre que a integral de linha de F com respeito a curva = (t) é dada por b Fdr = F((t)) (t)dt. Por outro lado, sabemos da álgebra linear que a u v = u v cos θ, sendo que θ é o ângulo entre u e v. Sendo assim, observando a forma como 1 está orientada, temos que em cada ponto de o campo F faz um ângulo menor que π com o vetor velocidade. Logo, e assim a integral de linha é positiva. Faça o mesmo para. F( 1 (t)) 1(t) > 0 Questão 3 Determine se F é, ou não conservativo. Se for, determine f tal que F = f. Neste caso, a função f é chamada de potencial escalar. 1. F(x, y) = (e x sin y, e x cos y);. F(x, y) = (xy + y, x xy 3 ), y < 0; 3. F(x, y) = (ln y + xy 3, 3x y + x ), y > 0. y Resposta: Façamos o item. Os outros itens cam como exercício. Primeiro, vamos testar se F é conservativo ou não. Se P = xy + y e Q = x xy 3 então P = x y 3 y e Q x = x y 3, logo P = Q. Antes de armar que F é conservativo é preciso ter o cuidado de vericar que é 1 e o domínio é simplesmente conexo. Neste y x caso,

4 isso é satisfeito pois quando y < 0, F possui derivadas parciais de todas as ordens, e o semiplano {(x, y) y < 0} é claramente simplesmente conexo (Faça um desenho e se convença disso). Agora sim, podemos armar que F é conservativa. Sendo assim, vamos buscar um potencial escalar f. omo f precisa satisfazer F = f, temos que P = f x e Q = f y. As igualdades acima nos sugerem tomar as respectivas antiderivadas para recuperar f : f f(x, y) = x dx = P dx = xy + y dx = x y + xy + h(y). Observe que apareceu uma função h que depende apenas de y. Isto ocorre pois tomamos a antiderivada da função P com respeito a x, isto nos fornece uma família de funções cujas derivadas parciais com respeito a x são iguais a P. Sempre que derivamos com respeito a x, todos os fatores que dependem apenas de y são cancelados, logo, a nossa família de funções está indexada por uma função de y. Eis o porque da função h. Agora, para obter h, derive f(x, y) = x y + xy + h(y) com respeito a y : f y = x xy 3 + h (y). omo vimos, para que F = f, é preciso que Q = f y. Logo x xy 3 = Q = f y = x xy 3 + h (y) h (y) = 0. Ou seja h(y) = constante. Assim, obtemos não uma, mas uma família de funções f dadas por f cte (x, y) = x y + xy + cte. Para obter uma função f especíca, basta escolher uma constante, digamos cte = 0. Logo f = f 0 = x y + xy.

5 Questão 4 onsidere o campo vetorial F(x, y) = yi + xj x + y denido em R \ {(0, 0)}. (a) Mostre que P y = Q x. (b) onsidere o círculo unitário x + y = 1 e as curvas 1 (t) = cos ti + sin tj, t [0, π] e (t) = cos ti sin tj, t [0, π]. Mostre que F dr F dr. 1 Aparentemente, o resultado acima contradiz o item anterior. Diga em que consiste essa contradição e por que ela não acontece. (c) Seja f(x, y) = arctan y. Mostre que F = f. Ou seja, f é um potencial x escalar para F. Por quê isso não contradiz os itens anteriores? (d) Seja uma curva simples, fechada, lisa por partes (regular por partes) e orientada positivamente que delimita uma região no plano que contém a origem. Mostre que F dr = π. Resposta: Os três primeiros itens decorrem de um cálculo direto e de uma análise teórica. Quanto ao item (d), considere uma curva simples, fechada, lisa por partes e orientada positivamente que delimita uma região que contém a origem. Agora, considere r, um círculo de raio r > 0 orientado positivamente. Escolha r > 0 de modo que o círculo r esteja contido na região delimitada por.

6 Seja D a região entre a curva e o círculo r. Pelo teorema de Green generalizado, temos que ( Q Fdr = D D x P ) da y F dr + F dr = 0 da r D F dr = Fdr = Fdr, r r sendo que na segunda linha usamos o item (a). A conta acima nos diz que a integral de linha sobre é igual a integral de linha sobre o círculo de raio r, r. Seja r (t) = (r cos t, r sin t), t [0, π]. Assim, r F dr = = = π 0 π 0 π Isso conclui o exercício. 0 F( r (t)) r(t) dt ( ) r sin ti + r cos tj ( r sin ti + r cos tj) dt 1 dt = π. r Questão 5 Determine se o conjunto dado é ou não: simplesmente conexo. aberto, conexo por caminhos e (a) {(x, y) R 0 < y < 3}; (b) {(x, y) R 1 x + y 4, y 0}; (c) {(x, y) R 1 < x < }; (d) {(x, y) R (x, y) (, 3)}. Resposta: Façamos as letras (a) e (b), as outras serão deixadas como exercício.

7 Letra (a): Geometricamente, o conjunto em questão é uma faixa horizontal innita entre as retas y = 0 e y = 3. Primeiro vamos mostrar que este conjunto é aberto. Tome um ponto qualquer (a, b) deste conjunto. Sabemos que 0 < b < 3. Seja R = min{b, 3 b}. A bola aberta B R (a, b) = {(x, y) (x a) + (y b) < R} está contida no conjunto pois a coordenada y sempre satisfaz 0 < b R < y < b + R < 3, pela escolha de R. O conjunto é conexo por caminhos: dados dois pontos, o segmento de reta que os liga está sempre contido no conjunto. O conjunto é simplesmente conexo, já que não possui buracos. (Esboce o conjunto para se convencer!) Letra (b): Geometricamente, o conjunto é o semi-anel delimitado pelos círculos de raio 1 e centrados na origem. O conjunto não é aberto: o ponto (, 0) pertence ao conjunto e qualquer bola aberta centrada neste ponto irá conter pontos cuja coordenada y é negativa (FAÇA UM DESENHO). Novamente, este conjunto não possui buracos ou, toda curva simples, fechada e regular por partes contida neste conjunto não delimita uma região que contém pontos fora do conjunto. Este conjunto é conexo por caminhos: dados dois pontos quaisquer, podemos liga-los compondo dois caminhos, um semi-círculo e um segmento radial. (Faça este caminho!)