Åaxwell Mariano de Barros
|
|
- João Sintra Cabreira
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÓÅ Ö Ò Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ò Ü Ø Ì ÒÓÐÓ ÆÓØ ÙÐ ¹¼ ÐÙÐÓÎ ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Åaxwell Mariano de Barros ¾¼½½ ËÓÄÙ ¹ÅA
2 ËÙÑ Ö Ó 1 Vetores no Espaço Bases Exercícios Produto Escalar Exercícios Referências Bibliográficas 14
3 Ë Ç½º½ ÐÙÐÓÎ ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø ÆÇÌ Ë ÍÄ ¹¼ Î ØÓÖ ÒÓ Ô Ó O que estudamos sobre os vetores, até momento, nos dão informações puramente geométrica sobre os mesmos. Nosso objetivo agora, é o de fazer esses estudo, associando vetores e números reais, os quais chamaremos de coordenadas do vetor. Como anteriormente, denotaremos por V 3 o conjunto de todos os vetores no espaço munido das operações estudadas nas seções anteriores. Chamaremos de uma base ordenada de V 3 a todo conjunto de vetores ordenado LI, com tres elementos. Assim sendo, se três vetores formam uma base de V 3, os mesmo não possuem representantes em um mesmo plano. O primeiro resultado importante sobre base dev 3 é seguinte: Proposição Se { u 1, u 2, u 3 } é uma base de V 3, então qualquer vetor v V 3 é uma combinação linear de u 1, u 2 e u 3, isto é, existe números reais a 1, a 2 e a 3 tais que v = a z u 1 + a 2 u 2 +a 3 u 3. Demonstração. Dado um pontop, escolhemos pontosa,b,c ed tais que u 1 = PA, u 2 = PB, u 3 = PC e v = PD.
4 Vetores no Espaço 3 C D P 4 B P 2 P 1 P A P 3 Como u 1, u 2 e u 3 são LI, os seguimentos orientados [P,A], [P,B] e [P,C] não estão em um mesmo plano. Logo, a reta paralela a [P,C] que passa pelo ponto D determina um ponto P 1 no plano que contém os pontos P,A, e B. Pelo mesmo motivo, as retas que passa por P 1 paralelas a [P,A] e a [P,B] determinam, respectivamente, os pontos P 2 e P 3 nas retas que contém os segmentos [P,B] e[p,a]. O plano que passa pelo pontode é paralelo ao plano que contém os pontosp,aeb, determina na reta que contém o segmento [P,C] um ponto P 4 (ver figura acima). Como [P,A] e [P,P 3 ] são paralelos, podemos escrever PP 3 = a 1PA = a1 u 1. Como [P,B] e [P,P 2 ] são parelelos, existe um número real a 2 tal que PP 2 = a 2 PB = a2 u 2. De maneira análoga, existe a 3 tal que PP 4 =a 3 PC = a3 u 3. Logo, v = PD = PP3 + PP 2 + PP 4 =a 1 u 1 +a 2 u 2 +a 1 u 3. A proposição nos garante que, se B = { u 1, u 2, u 3 } é uma base ordenada dev 3 e se v é um vetor, existem números reaisa 1, a 2 ea 3 tais que v = a1 u 1 +a 2 u 2 +a 3 u 3. O seguinte resultado, mostrar que esses números são unicamente determinados. Proposição Sejam X = { u 1, u 2, u 3 } uma base dev 3 e v um vetor. Se v = a1 u 1 +a 2 u 2 +a 3 u 3 e v = b1 u 1 +b 2 u 2 +b 3 u 3, entãoa 1 = b 1, a 2 = b 2 e a 3 = b 3.
5 Vetores no Espaço 4 Demonstração. Como v = a 1 u 1 +a 2 u 2 +a 3 u 3 e v = b 1 u 1 +b 2 u 2 +b 3 u 3, temos que a 1 u 1 +a 2 u 2 +a 3 u 3 =b 1 u 1 +b 2 u 2 +b 3 u 3, e portanto, (a 1 b 1 ) u 1 +(a 2 b 2 ) u 2 +(a 3 b 3 ) u 3 = 0. Assim, como X é LI, segue da proposição?? que a 1 b 1 = 0, a 2 b 2 = 0 e a 3 b 3 0, ou seja, a 1 = b 1, a 2 = b 2 e a 3 = b 3. Em resumo, temos que, dado uma base B = { u 1, u 2, u 3 } de V 3, se v é um vetor, então existem e são unicos, números reais a 1, a 2 e a 3 tais que v = a 1 u 1 +a 2 u 2 + a 3 u 3. Tais números são chamados de coordenadas do vetor v na base B e será indicado por (a 1,a 2,a 3 ) B. Logo, dizer que um vetor v tem coordenadas (a 1,a 2,a 3 ) na base B = { u 1, u 2, u 3 }, significa dizer que v = a 1 u 1 +a 2 u 2 +a 3 u 3. Logo, conhecendo a base, podemos identificar o vetor v com suas coordenadas, o que nos permite usar a notação v = (a 1,a 2,a 3 ) B. É importante observar que as coordenadas de um vetor depende da escolha da base. Além disso, como uma base é um conjunto ordenado, a ordem na qual os números a 1, a 2 e a 3 aparecem na tripla (a 1,a 2,a 3 ) B é muito importante. Por exemplo, se a 1 a 2, as triplas(a 1,a 2,a 3 ) B e (a 2,a 1,a 3 ) B estão associadas a vetores diferentes. Usando as propriedades de soma de vetores e de produto de números reais por vetores, é facil verificar que são verdadeiras as seguintes igualdades: 1. (a 1,a 2,a 3 ) B +(b 1,b 2,b 3 ) B = (a 1 +b 1,a 2 +b 2,a 3 +b 3 ) B. 2. α(a 1,a 2,a 3 ) B = (αa 1,αa 2,αa 3 ) B, qualquer que seja o número real α. Proposição Dois vetores u = (a 1,a 2,a 3 ) B e v = (b 1,b 2,b 3 ) B não nulos são LD se, e somente se existeα Rtal que a 1 = αb 1, a 2 = αb 2 e a 3 =αb 3. Demonstração. A prova é consequência imediata do fato de que dois vetores são LD se, e somente se, são paralelos.
6 Vetores no Espaço 5 Usando a proposição??, temos o seguinte resultado: Corolário Dois vetores u = (a 1,a 2,a 3 ) B e v = (b 1,b 2,b 3 ) B não nulos são LD se, e somente se, as matrizes a 1 a 2 b 1 b 2 possuem determinantes nulos., a 1 a 3 b 1 b 3 e a 2 a 3 b 2 b 3 Proposição Três vetores u = (a 1,a 2,a 3 ) B, v = (b 1,b 2,b 3 ) B e w = (c 1,c 2,c 3 ) B são LD se, e somente se, a matriz tem determinante nulo. a 1 a 2 a 3 A= b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Demonstração. Sabemos que tres vetores são LD se, e somente se, um deles é combinação linear dos outros. Podemos supor, sem perda de generalidade, que u é uma combinação linear dos vetores v e w. Assim sendo, existem α,β R tais que u = α v +β w. Portanto, (a 1,a 2,a 3 ) = (αb 1 +βc 1,αb 2 +βc 2,αb 3 +βc 3 ),, ou seja, a 1 = αb 1 +βc 1, a 2 = αb 2 +βc 2 e a 3 =αb 3 +βc 3. Logo a 1 a 2 a 3 αb 1 +βc 1 αb 2 +βc 2 αb 3 +βc 3 A= b 1 b 2 b 3 = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 c 1 c 2 c 3. É facil verificar, através das operações elementares sobre as linhas de uma matriz, que a matrizaépode ser transformada em uma matrizm que tem umas das linhas nula, isto é, numa matriz não inversível. Logo, pela proposição??, A não é inversível, o portanto, deta=0. Vamos agora, introduzir o conceito de vetores ortogonais, fazendo uso do conceito geométrico de ortogonalidade entre segmentos. Dados dois vetores não nulos u e v
7 Vetores no Espaço 6 dizemos que u é ortogonal a v se existem representantes [A,B] e [C,D] de u e v respectivamente, que são ortogonais. O vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor. Usaremos a notação u v para indicar que u é ortogonal ao vetor v. É claro que, se u v então v u. B u v A u = AB v = CA C Como consequência do teorema de Pitágoras, temos o seguinte resultado: Proposição Sejam u e v vetores não nulos. Então u e v são ortogonais se, e somente se, u + v 2 = u 2 + v 2. C v u + v B u A Uma baseb ={ u 1, u 2, u 3 } dita ser ortonormal se seus vetores são unitários e dois a dois ortogonais, isto é, B = { u 1, u 2, u 3 } é uma base ortonormal se: 1. u 1 = u 2 = u 3 = 1 e 2. u 1 u 2, u 1 u 3 e u 2 u 3 u 3 u 2 u 1 Base Ortonormal
8 Vetores no Espaço 7 Proposição Se B = { u 1, u 2, u 3 } é uma base ortonormal e u = (a 1,a 2,a 3 ) B, então u 2 = a 2 1 +a2 2 +a2 3 Demonstração. Faremos a prova apenas para o caso em que a 1 > 0, a 2 > 0 e a 3 > 0 (ver figura abaixo). a 3 u 3 u 3 u B u 1 A u 2 a 2 u 2 D a 1 u 1 C a 1 >1, a 2 > 1, a 3 > 1 Observe que u é a hipotenusa do triângulo retângulo ACB cujos catetos são a 1 u 1 +a a u 2 e a 3 u 3. Logo, pelo teorema de Pitágoras, temos u 2 = a 1 u 1 +a 2 u a 3 u 3 2. (1.1.1) ComoB é ortonormal, os vetoresa 1 u 1 ea 2 u 2 são ortogonais. Portanto, pela proposição 1.1.5, temos que a 1 u 1 + a 2 u 2 2 = a 1 u a 2 u 2 2. Usando essa igualdade em (1.1.1) obtemos u 2 = a 1 u a 2 u a 3 u 3 2. (1.1.2) Por outro lado, para cada i {1,2,3}, a i u i = a i pois a i u i = a i u i e u i = 1 uma ½º½º½ vez B é uma base ortonormal. Assim sendo, segue de (1.1.2) que u 2 = a 1 Ü Ö Ó 2 + a a 3 2 =a 2 1 +a2 2 +a SejaB uma base. Dados u =(1, 3,5) B e v =( 3,5 2) B encontre as coordenadas do vetor w na base B sabendo que w = 2 u 4 v.
9 Vetores no Espaço 8 2. Seja B uma base. Verifique se o vetor u = ( 1,3,9) B é uma combinação linear dos vetores v = (2, 1,5) B e w =( 1,1,3) B 3. Suponha que B = { u 1, u 2, u 3 } é uma base e sejam v 1 = u 1 + u 2 + u 3, v 2 = u 1 + u 2 e v 3 = u 3. Verifique se o conjunto B = { v 1, v 2, v 3 } é também uma base. 4. Suponha que B = { u 1, u 2, u 3 } é uma base e sejam v 1 = 2 u 1 u 2 + u 3, v 2 = u 2 u 3 e v 3 =3 u 3. (a) Prove que B ={ v 1, v 2, v 3 } é uma base. (b) Se u = (2, 1,1) B encontre x,y e z tais que u = (x,y,z) B. 5. Suponha queb é uma base ortonormal. Se u = (2, 1, 2) B encontre u. 6. Suponha queb é uma base ortonormal. Encontre um vetor unitário, isto é um vetor de norma 1, na mesma direção e sentido do vetor u = ( 2,0,3) B. 7. Sejam B uma base ortonormal, P o = (a,b,c) B um ponto no espaço e r um número real positivo. A esfera de raio r e centro no P o é o conjunto de todos os pontos o Ë Ç½º¾ espaço cuja a distância para o pontop o é igual ar. Mostre quep =(x,y,z) pertence a esfera de raior e centro emp ÈÖÓ ÙØÓ Ð Ö o se, e somente se (x a) 2 +(y b) 2 +(z c) 2 = r 2. Na seção anterior, definimos vetores ortogonais. Portanto, é razoável nos perguntar se podemos medir ângulos entre vetores. A resposta a essa pergunta é sim. Para isso, fazeremos uso de uma operação chamada de produto escalar. Porém, antes disso, é necessário definir ângulos entre dois vetores. Dados dois vetores u e v não-nulos e um pontop qualquer do espaço, sabemos que podemos escolher dois pontos A e B tais que u = PA e v = PB. O ângulo entre u e v é, por definição, o menor dos ângulo A PB e B PA. É claro que a medida de tal ângulo,
10 Vetores no Espaço 9 independe da escolha do ponto P e da escolha dos segmentos orientados [P,A] e [P,B], com origem comum, representantes de u e v, respectivamente. Note que, seθ é o ângulo entre dois vetores quaisquer, então por definição,θ é o menor entre os ângulos A PB eb PA. Portanto 0 θ π. A P u θ v B Se u e v são vetores não nulos, o ângulo entre eles será denotado por ang( u, v ). Suponha que u = PA e v = PB. Usando a lei dos cossenos no triângulo APB (ver figura abaixo), obtemos a seguinte relação: uma vez que BA= u v. u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cosθ (1.2.1) A P u θ v B Então, Suponha queb é uma base ortonormal dev 3, que u =(a 1,a 2,a 3 ) B e v =(b 1,b 2,b 3 ) B. u v 2 = (a 1 b 1 ) 2 +(a 2 b 2 ) 2 +(a 3 b 3 ) 2 = (a 2 1 +a2 2 +a2 3 )+(b2 1 +b2 2 +b2 3 )+2(a 1b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ) = u 2 + v 2 +2(a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ). (1.2.2) Comparando (1.2.1) com (1.2.2), obtemos a seguinte relação: u v cosθ = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3. (1.2.3)
11 Vetores no Espaço 10 Observe que a relação (1.2.3) nos permite calcular o cosseno entre dois vetores não nulos através de suas coordenadas. Dados dois vetores u e v, chamamos de produto escalar de u por v ao número real, denotado por u, v, que satisfaz: 1. u, v = 0 se u = 0 ou v = Se u 0 e v 0, então u, v = u v cosθ, onde θ = ang( u, v ). Algumas observações: 1. Segue da definição que, se u 0 e v 0, então onde θ = ang( u, v ). cosθ = u, v u v, 2. Além disso, temos que u = u, u. De fato, se u = 0, a igualdade ocorre trivialmente. Se u 0, temos que θ = ang( u, u) = 0, ou seja, cosθ = 1. Logo, usando a definição de produto escalar teremos: u = u, u 3. Se u v, então u, v =0(ver exercício ). 4. Segue de (1.2.3) que, se B é uma base ortonormal de V 3 e se u = (a 1,a 2,a 3 ) B, v = (b 1,b 2,b 3 ) B são vetores não nulos então u, v =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b Segue dos itens 2. e 3. que, seb = { u 1, u 2, u 3 } é uma base ortonormal então, v 1, v 1 = v 2, v 2 = v 3, v 3 =1 e v 1, v 2 = v 1, v 3 = v 2, v 3 =0. A prova da proposição abaixo será deixada como exercício. Proposição Sejam u, v e w vetores. As seguintes propriedades são verdadeiras:
12 Vetores no Espaço Se u 0, então u, u >0 2. u, v = v, u. 3. u, v + w = u, v + u, w. 4. α u, v =α u, v, para todo α R. Proposição Dados u e v valem as seguintes propriedades: 1. u + v 2 = u 2 +2 u, v + v u, v u v (Desigualdade de Schawarz). 3. u + v u + v (Desigualdade Triangular). Demonstração. 1. Note que u + v = u ( v ). Logo, por (1.2.1) temos u + v 2 = u ( v ) 2 = u 2 + v 2 u, v = u 2 + v +2 u, v, uma vez que v = v e pela proposição (item 4.), u, v = u, v. 2. Note primeiro que, se u = 0 ou v = 0, vale a igualdade. Se u 0 e v 0 então, por definição cosθ = u, v u v onde θ = ang( u, v ). Com0 cosθ 1, segue que ou seja, u, v u v. u, v u v 1 A desigualdade triangular é consequência dos itens 1 e 2 e a prova da mesma será deixada com exercício. Dados dois vetores u e v. Suponha que v 0. Chamamos de projeção ortogonal de u sobre v ao vetor w, que satisfaz as seguintes condições:
13 Vetores no Espaço w é paralelo a v e 2. w u é ortogonal a v. Normalmente, a projeção ortogonal de u sobre v é denotada por prj v u. u e v f prj v u prj f e Segue da definição de prj v u que existe α Rtal que prj v u = α v e prj v u u, v = 0. Logo, prj v u u, v = 0 α v u, v =0 α v, v u, v =0 ou seja, Portanto, temos que α = u, v v 2. prj v u = u, v v 2 v Exemplo Suponha que B = { u 1, u 2, u 3 } é uma base ortonormal. Sejam u = (5,1,2) ½º¾º½ B e v =( 2, 2,1) B. Como u, v = = 10 e v 2 = 4+4+1=9, temos que prj u, v v u = v = Ü Ö Ó 10 v 2 9 ( 2, 2,1) =(20 9,20 9, 10 9 ) B. 1. Prove a proposição Prove a desigualdade triangular.
14 Vetores no Espaço Seja B uma base. Dados u = (a1,b 1,c 1 ) B, v = (a2,b 2,c 2 ) e w = (b1 c 2 c 1,a 2 c 1 c 2 a 1 a 1 c 2 a 2 c 2 ), calcule u, w e v, w. 4. Sejam B uma base e u = (a,b,c) B um vetor unitário tal que abc 0. Encontre α sabendo que os vetores v = ( αb,αb,0) B e w = ( αac,αbc, α 1 ) B e u formam uma base ortonormal. 5. É verdade que se u 1, u 2, u 3 e u 4 são quatro vetores no espaço um deles é combinação linear dos outros três? Justifique. 6. Seja B uma base ortonormal. Determine o valor de m de modo que os vetores u = (m+1,1,3) B e v = (m 1, 1, 2) B sejam ortogonais. 7. Sejam u, v e w vetores tais queang( u, v )=30 o,ang( u, w)=45 o eang( v, w)= 90 o. Prove que B ={ u, v, w} é uma base. 8. Prove que se B = { u 1, u 2, u 2 } é uma base ortonormal e se u = (a,b,c) B então a= u, u 1, b= u, u 2 e c = u, u Sejam u e v. Prove que: (a) 4 u, v = u + v 2 u v 2. (b) Se u v então u + v 2 = u v 2. (c) u + v 2 + u v 2 = 2 ( u 2 + v 2). 10. SejaB={ u 1, u 2, u 3 } uma base ortonormal. Dados u =(2, 2,1) B e v =(3, 6,0) B encontre a projeção ortogonal de v sobre u. 11. Seja B = { u 1, u 2, u 3 } uma base ortonormal, u um vetor não nulo e α 0. Prove que, para qualque vetor v, vale prj u v = prj α u v
15 Ê Ö Ò Ð Ó Ö [1] Camargo, I. de. e Boulos, P., Geometria Analítica: um tratamento vetorial, São Paulo, Prentice Hall, [2] Lima, E.L., Coordenadas no Plano, Coleção do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, SBM, [3] Lima, E.L., Coordenadas no Espaço, Rio de Janeiro, SBM, [4] Reis, G.L. dos. e outros, Geometria Analítica, 2.ed.,Rio de Janeiro, LTC, [5] Santos, N.M. dos., Vetores e matrizes, Rio de Janeiro, LTC,1979.
1 Módulo ou norma de um vetor
Álgebra Linear I - Aula 3-2005.2 Roteiro 1 Módulo ou norma de um vetor A norma ou módulo do vetor ū = (u 1, u 2, u 3 ) de R 3 é ū = u 2 1 + u2 2 + u2 3. Geometricamente a fórmula significa que o módulo
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2013/I
1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 013/I 1 Sejam u = ( 4 3) v = ( 5) e w = (a b) Encontre a e b tais
Leia maisPonto, reta e plano no espaço tridimensional, cont.
Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Matemática para arquitetura Ton Marar 1. Posições relativas Posição relativa entre pontos Dois pontos estão sempre alinhados. Três pontos P 1 = (x 1,
Leia maisVetores. Definição geométrica de vetores
Vetores Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, olume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma ez que a magnitude (intensidade) é dada. Tais grandezas são
Leia mais4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r
94 4. Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u v (ou u v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes,
Leia maisÁlgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013
Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante
Leia maisÅaxwell Mariano de Barros
Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Å Ö Ò Ó ÒØÖÓ Ò Ü Ø Ì ÒÓÐÓ ÆÓØ ÙÐ ¹ ¼½ ÐÙÐÓ Î ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Åaxwell Mariano de Barros ËÓ ÄÙ ¹ ÅA ¾¼½½ ËÙÑ Ö Ó 1 Vetores no Espaço 2 1.1 Reta Orientada....................................
Leia maisConceitos Fundamentais
Capítulo 1 Conceitos Fundamentais Objetivos: No final do Capítulo o aluno deve saber: 1. distinguir o uso de vetores na Física e na Matemática; 2. resolver sistema lineares pelo método de Gauss-Jordan;
Leia maisTópicos Matriciais Pedro Henrique O. Pantoja Natal / RN
1. Traço de Matrizes. Definição 1.1: O traço de uma matriz quadrada A a de ordem n é a soma dos elementos da diagonal principal. Em símbolos, TrA a a a a. Daqui em diante, A denotará uma matriz quadrada
Leia maisNOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR
ESPAÇO VETORIAL REAL NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS Seja um conjunto V φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar, tais que u, v V, u+v V e α R, u V, αu V
Leia maisProdutos. 4.1 Produtos escalares
Capítulo 4 Produtos 4.1 Produtos escalares Neste tópico iremos estudar um novo tipo de operação entre vetores do plano e do espaço. Vamos fazer inicialmente uma consideração geométrica, como segue. Seja
Leia maisGAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar
GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,
Leia maisLista 1. Sistema cartesiano ortogonal. 1. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E
Sistema cartesiano ortogonal Lista. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E. Marque num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os pontos: a)
Leia maisPARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma
Leia maisDisciplina: Introdução à Álgebra Linear
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa
Leia maisCapítulo 3. Cálculo Vetorial. 3.1 Segmentos Orientados
Capítulo 3 Cálculo Vetorial O objetivo deste capítulo é o estudo de vetores de um ponto de vista geométrico e analítico. De acordo com a necessidade, a abordagem do assunto será formal ou informal. O estudo
Leia maisa 1 x 1 +... + a n x n = b,
Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição
Leia mais6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D
6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D Até agora estudamos e implementamos um conjunto de ferramentas básicas que nos permitem modelar, ou representar objetos bi-dimensionais em um sistema também
Leia maisNesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão.
Capítulo 8 Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. 1. Exemplos de revisão Exemplo 1 Ache a equação do círculo C circunscrito ao triângulo de vértices A = (7, 3), B = (1, 9) e C = (5, 7).
Leia maisVetores no R 2 : = OP e escreve-se: v = (x, y), identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v.
Vetores no R 2 : O conjunto R 2 = R x R = {(x, y) / x, y Є R} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xoy. Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante OP
Leia maisConceitos e fórmulas
1 Conceitos e fórmulas 1).- Triângulo: definição e elementos principais Definição - Denominamos triângulo (ou trilátero) a toda figura do plano euclidiano formada por três segmentos AB, BC e CA, tais que
Leia maisDef. 1: Seja a quádrupla (V, K, +, ) onde V é um conjunto, K = IR ou K = IC,
ESPAÇO VETORIAL Def. 1: Seja a quádrupla (V, K, +, ) onde V é um conjunto, K = IR ou K = IC, + é a operação (função) soma + : V V V, que a cada par (u, v) V V, associa um único elemento de V, denotado
Leia maisITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR
ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 Considere os conjuntos S = {0,2,4,6}, T = {1,3,5} e U = {0,1} e as afirmações: I. {0} S e S U. II. {2} S\U e S T U={0,1}.
Leia maisProf. José Carlos Morilla
1 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Santos 009 1 CÁLCULO VETORIAL... 4 1.1 Segmentos Orientados... 4 1. Vetores... 4 1..1 Soma de um ponto com um vetor... 5 1.. Adição de vetores... 5 1..3 Diferença
Leia maisAula 10 Triângulo Retângulo
Aula 10 Triângulo Retângulo Projeção ortogonal Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se projeção ortogonal desse ponto sobre essa reta o pé da perpendicular traçada do ponto à reta. Na figura,
Leia maisO B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe
GABARITO - QUALIFICAÇÃO - Setembro de 0 Questão. (pontuação: ) No octaedro regular duas faces opostas são paralelas. Em um octaedro regular de aresta a, calcule a distância entre duas faces opostas. Obs:
Leia maisProf. Márcio Nascimento. 22 de julho de 2015
Núcleo e Imagem Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Linear
Leia maisELIPSES INSCRITAS NUM TRIÂNGULO
ELIPSES INSCRITAS NUM TRIÂNGULO SERGIO ALVES IME-USP Freqüentemente apresentada como um exemplo notável de sistema dedutivo, a Geometria tem, em geral, seus aspectos indutivos relegados a um segundo plano.
Leia maisMudança de Coordenadas
Mudança de Coordenadas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi regi@mat.ufmg.br 13 de deembro de 2001 1 Rotação e Translação
Leia maisObjetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e
MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas
Leia maisPROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA
Geometria Analítica A Geometria Analítica, famosa G.A., ou conhecida como Geometria Cartesiana, é o estudo dos elementos geométricos no plano cartesiano. PLANO CARTESIANO O sistema cartesiano de coordenada,
Leia maisMATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA I PROF. Diomedes. E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B.
I- CONCEITOS INICIAIS - Distância entre dois pontos na reta E) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B. d(a,b) = b a E: Dados os pontos A e B de coordenadas
Leia mais2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
18 2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL como segue: Dado R, definimos o módulo (ou valor absoluto) de, e indicamos por,, se 0 =, se < 0. Interpretação Geométrica O valor absoluto de um número é, na reta, a distância
Leia maisLista 1: Vetores -Turma L
Lista 1: Vetores -Turma L Professora: Ivanete Zuchi Siple 1. Dados os vetores u e v da gura, mostrar num gráco um representante do vetor: (a) u v (b) v u (c) u + 4 v u v. Represente o vetor x = u + v w
Leia maisAvaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito. Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso a medida ab.
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL Avaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito Questão 01 [ 2,00 pts ] Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso
Leia maisESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO
ESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO Angelo Fernando Fiori 1 Bruna Larissa Cecco 2 Grazielli Vassoler 3 Resumo: O presente trabalho apresenta um estudo sobre os espaços vetoriais munidos de produto interno.
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto
Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum
Leia maisExercícios Teóricos Resolvidos
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar
Leia maisSoluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN
Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN Questão Concurso 00 Seja ABC um triângulo com lados AB 5, AC e BC 8. Seja P um ponto sobre o lado AC, tal que
Leia mais9. Derivadas de ordem superior
9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de
Leia maisUnidade: Vetores e Forças. Unidade I:
Unidade I: 0 Unidade: Vetores e Forças 2.VETORES 2.1 Introdução Os vetores são definidos como entes matemáticos que dão noção de intensidade, direção e sentido. De forma prática, o conceito de vetor pode
Leia maisCAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR
INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA CAPÍULO 6 ANSFOMAÇÃO LINEA Introdução Muitos problemas de Matemática Aplicada envolvem o estudo de transformações, ou seja, a maneira como certos dados de entrada são
Leia maisGeometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA
Geometria Analítica NEAD - Núcleo de Educação a Distância Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Katia Frensel - Jorge Delgado Março, 011 ii Geometria Analítica Conteúdo Prefácio ix 1 Coordenadas na
Leia maisSOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM REDE NACIONAL PROFMAT
SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM REDE NACIONAL PROFMAT GABARITO da 3 a Avaliação Nacional de Aritmética - MA14-21/12/2013 Questão 1. (pontuação: 2) (1,0) a) Enuncie e demonstre
Leia maisUma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação).
5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 5.1. INTRODUÇÃO Devemos compreender função como uma lei que associa um valor x pertencente a um conjunto A a um único valor y pertencente a um conjunto B, ao que denotamos por
Leia maisFACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim
FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Prof. Álvaro Fernandes Serafim Última atualização: //7. Esta apostila de Álgebra Linear foi elaborada pela Professora Ilka Rebouças Freire. A formatação
Leia maisNúmeros Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo
Capítulo 1 Números Complexos 11 Unidade Imaginária O fato da equação x 2 + 1 = 0 (11) não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos Para solucionar (11) denimos a unidade
Leia maisNotas de Aula. Álgebra Linear I
Notas de Aula Álgebra Linear I Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula da disciplina Álgebra Linear
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares
Leia maisÁlgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa
Álgebra Linear André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Janeiro/2006 Índice 1 Sistemas Lineares 1 11 Corpos 1 12 Sistemas de Equações Lineares 3 13 Sistemas equivalentes 4 14 Operações elementares
Leia maisMódulo de Geometria Anaĺıtica 1. Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano. 3 a série E.M.
Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano a série EM Geometria Analítica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano 1 Exercícios
Leia maisMódulo de Geometria Anaĺıtica Parte 2. Distância entre Ponto e Reta. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis
Módulo de Geometria Anaĺıtica Parte Distância entre Ponto e Reta a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Geometria Analítica Parte Distância entre Ponto e Reta 1 Exercícios Introdutórios
Leia maisFUNÇÃO COMO CONJUNTO R 1. (*)= ou, seja, * possui duas imagens. b) não é uma função de A em B, pois não satisfaz a segunda condição da
FUNÇÃO COMO CONJUNTO Definição 4.4 Seja f uma relação de A em B, dizemos que f é uma função de A em B se as duas condições a seguir forem satisfeitas: i) D(f) = A, ou seja, o domínio de f é o conjunto
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA 5 0 Encontro da RPM TRANSFORMAÇÕES NO PLANO
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA 5 0 Encontro da RPM TRANSFORMAÇÕES NO PLANO Jorge Costa do Nascimento Introdução Na produção desse texto utilizamos como fonte de pesquisa material
Leia mais02 Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: a) A = 5 Λ i + 3 Λ j, b) B = 10 Λ i -7 Λ j, c) C = 2 Λ i - 3 Λ j + 4 Λ k.
Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 1 01 Três vetores A, B e C possuem as seguintes componentes nas direções x e y: A x = 6, A y = -3; B x = -3, B y =4; C x =2, C y
Leia mais1 Base de um Espaço Vetorial
Disciplina: Anéis e Corpos Professor: Fernando Torres Membros do grupo: Blas Melendez Caraballo (ra143857), Leonardo Soriani Alves (ra115465), Osmar Rogério Reis Severiano (ra134333) Ramon Códamo Braga
Leia maisXXIX Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Gabarito da Prova da Primeira Fase Nível Alfa 1 Questão 1 Sabemos que a água do mar contém 3, 5% do seu peso em sal, isto é, um quilograma de água do mar contém 35 gramas de sal (a) Determine quantos litros
Leia maisResolução dos Exercícios sobre Derivadas
Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas
Leia maisRecordamos que Q M n n (R) diz-se ortogonal se Q T Q = I.
Diagonalização ortogonal de matrizes simétricas Detalhes sobre a Secção.3 dos Apontamentos das Aulas teóricas de Álgebra Linear Cursos: LMAC, MEBiom e MEFT (semestre, 0/0, Prof. Paulo Pinto) Recordamos
Leia maisO ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2
3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata
Leia maisExercícios resolvidos P2
Exercícios resolvidos P Questão 1 Dena as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente, por sinh(t) = et e t e cosh(t) = et + e t. (1) 1. Verique que estas funções satisfazem a seguinte
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU
FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA
Leia maisTRIÂNGULO RETÂNGULO. Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:
TRIÂNGULO RETÂNGULO Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são: a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa a hipotenusa m e
Leia maisUnidade II - Sistemas de Equações Lineares
Unidade II - Sistemas de Equações Lineares 1- Situando a Temática Discutiremos agora um dos mais importantes temas da matemática: Sistemas de Equações Lineares Trata-se de um tema que tem aplicações dentro
Leia maisBreve referência à Teoria de Anéis. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204
Breve referência à Teoria de Anéis Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204 Anéis Há muitos conjuntos, como é o caso dos inteiros, dos inteiros módulo n ou dos números reais, que consideramos
Leia mais36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase
36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase Problema 1 Turbo, o caracol, está participando de uma corrida Nos últimos 1000 mm, Turbo, que está a 1 mm por hora, se motiva e
Leia maisChapter 2. 2.1 Noções Preliminares
Chapter 2 Seqüências de Números Reais Na Análise os conceitos e resultados mais importantes se referem a limites, direto ou indiretamente. Daí, num primeiro momento, estudaremos os limites de seqüências
Leia maisRetas e Planos. Equação Paramétrica da Reta no Espaço
Retas e lanos Equações de Retas Equação aramétrica da Reta no Espaço Considere o espaço ambiente como o espaço tridimensional Um vetor v = (a, b, c) determina uma direção no espaço Dado um ponto 0 = (x
Leia maisTIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 2. Questão 4. Questão 5. Questão 3. alternativa C. alternativa E. alternativa C.
Questão TIPO DE PROVA: A José possui dinheiro suficiente para comprar uma televisão de R$ 900,00, e ainda lhe sobrarem da quantia inicial. O valor que so- 5 bra para José é a) R$ 50,00. c) R$ 800,00. e)
Leia maisOTIMIZAÇÃO VETORIAL. Formulação do Problema
OTIMIZAÇÃO VETORIAL Formulação do Problema Otimização Multiobjetivo (também chamada otimização multicritério ou otimização vetorial) pode ser definida como o problema de encontrar: um vetor de variáveis
Leia maisCapítulo 5: Transformações Lineares
5 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 5: Transformações Lineares Sumário 1 O que são as Transformações Lineares?...... 124 2 Núcleo e Imagem....................
Leia maisQual é Mesmo a Definição de Polígono Convexo?
Qual é Mesmo a Definição de Polígono Convexo? Elon Lages Lima IMPA, Rio de Janeiro Quando pensamos num polígono convexo, imaginamos seus vértices todos apontando para fora, ou seja, que ele não possui
Leia maisSistemas Lineares. 2. (Ufsj 2013) Considere o seguinte sistema de equações lineares, nas incógnitas x, y e z:
Sistemas Lineares 1. (Unesp 2013) Uma coleção de artrópodes é formada por 36 exemplares, todos eles íntegros e que somam, no total da coleção, 113 pares de patas articuladas. Na coleção não há exemplares
Leia maisConjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros
Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos
Leia maisIvan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente:
Rumo ao ITA Física Análise Dimensional Ivan Guilhon Mitoso Rocha A análise dimensional é um assunto básico que estuda as grandezas físicas em geral, com respeito a suas unidades de medida. Como as grandezas
Leia maisXXVI Olimpíada de Matemática da Unicamp. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Gabarito da Prova da Primeira Fase 15 de Maio de 010 1 Questão 1 Um tanque de combustível, cuja capacidade é de 000 litros, tinha 600 litros de uma mistura homogênea formada por 5 % de álcool e 75 % de
Leia maisÁlgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios
FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Engenharia de Produção Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária
Leia maisDicas para a 6 a Lista de Álgebra 1 (Conteúdo: Homomorfismos de Grupos e Teorema do Isomorfismo para grupos) Professor: Igor Lima.
Dicas para a 6 a Lista de Álgebra 1 (Conteúdo: Homomorfismos de Grupos e Teorema do Isomorfismo para grupos) Professor: Igor Lima. 1 /2013 Para calcular Hom(G 1,G 2 ) ou Aut(G) vocês vão precisar ter em
Leia maisExercícios Adicionais
Exercícios Adicionais Observação: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós recomendamos
Leia maisCapítulo 1. x > y ou x < y ou x = y
Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos
Leia maisTRIÂNGULO RETÂNGULO. Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:
TRIÂNGULO RETÂNGULO Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema
Leia mais(a) Encontre o custo total de ações, usando multiplicação de matrizes.
NIVERSIDADE ESTADAL DE SANTA CRZ - ESC DEARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET ÁLGEBRA LINEAR ASSNTO: MATRIZES EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Suponha que um corretor da Bolsa de Valores faça um pedido
Leia maisMarília Brasil Xavier REITORA. Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA
Marília Brasil Xavier REITORA Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA MATERIAL DIDÁTICO EDITORAÇÃO ELETRONICA Odivaldo Teixeira Lopes ARTE FINAL DA CAPA Odivaldo Teixeira
Leia maisPotenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z
Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente
Leia maisUNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET GEOMETRIA ANALÍTICA ASSUNTO: CÔNICAS
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET GEOMETRIA ANALÍTICA ASSUNTO: CÔNICAS. Usando a definição de parábola determinar, em cada um dos itens a
Leia maisComputação Gráfica Interativa
Computação Gráfica Interativa conceitos, fundamentos geométricos e algoritmos 1. Introdução Computação Gráfica é a criação, armazenamento e a manipulação de modelos de objetos e suas imagens pelo computador.
Leia maisMatemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência
Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: ircunferência p. (Uneb-A) A condição para que a equação 6 m 9 represente uma circunferência é: a), m, ou, m, c) < m < e), m, ou,
Leia maisIBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 4
Lei de Gauss Considere uma distribuição arbitrária de cargas ou um corpo carregado no espaço. Imagine agora uma superfície fechada qualquer envolvendo essa distribuição ou corpo. A superfície é imaginária,
Leia maisCÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ
CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA Departamento de Análise - IME UERJ 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total 3
Leia maisSó Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES
FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça
Leia maisUM TEOREMA QUE PODE SER USADO NA
UM TEOREMA QUE PODE SER USADO NA PERCOLAÇÃO Hemílio Fernandes Campos Coêlho Andrei Toom PIBIC-UFPE-CNPq A percolação é uma parte importante da teoria da probabilidade moderna que tem atraído muita atenção
Leia maisINSTITUTO TECNOLÓGICO
PAC - PROGRAMA DE APRIMORAMENTO DE CONTEÚDOS. ATIVIDADES DE NIVELAMENTO BÁSICO. DISCIPLINAS: MATEMÁTICA & ESTATÍSTICA. PROFº.: PROF. DR. AUSTER RUZANTE 1ª SEMANA DE ATIVIDADES DOS CURSOS DE TECNOLOGIA
Leia maisAV1 - MA 13-2011 UMA SOLUÇÃO. b x
Questão 1. figura abaixo mostra uma sequência de circunferências de centros 1,,..., n com raios r 1, r,..., r n, respectivamente, todas tangentes às retas s e t, e cada circunferência, a partir da segunda,
Leia maisAula 12 Áreas de Superfícies Planas
MODULO 1 - AULA 1 Aula 1 Áreas de Superfícies Planas Superfície de um polígono é a reunião do polígono com o seu interior. A figura mostra uma superfície retangular. Área de uma superfície é um número
Leia maisO Teorema da Função Inversa e da Função Implícita
Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit O Teorema da Função Inversa
Leia maisExercícios 1. Determinar x de modo que a matriz
setor 08 080509 080509-SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n
Leia maisLista 1 para a P2. Operações com subespaços
Lista 1 para a P2 Observação 1: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós sugerimos
Leia maisBem, produto interno serve para determinar ângulos e distâncias entre vetores e é representado por produto interno de v com w).
Produto Interno INTRODUÇÃO Galera, vamos aprender agora as definições e as aplicações de Produto Interno. Essa matéria não é difícil, mas para ter segurança nela é necessário que o aluno tenha certa bagagem
Leia maisAplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números
Aplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números Nesse artigo vamos discutir algumas abordagens diferentes na Teoria dos Números, no sentido de envolverem também outras grandes áreas, como
Leia maisErros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto
Erros Nenhum resultado obtido através de cálculos eletrônicos ou métodos numéricos tem valor se não tivermos conhecimento e controle sobre os possíveis erros envolvidos no processo. A análise dos resultados
Leia mais