Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente

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Octavio Franca Câmara
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1 Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas

Matemática Aplicada Instituto de Matemática,

2 Derivadas Direcionais Suponha que desejamos calcular a taxa de variação de z = f (x), x = (x 1, x 2,..., x n ), no ponto a = (a 1, a 2,..., a n ) na direção de um vetor unitário u = (u 1,..., u n ). Lembre-se que um vetor u é unitário se u = 1. Exemplo 1 Suponha que f (a) é a temperatura no ponto a numa sala com ar-condicionado mas com a porta aberta. Se movemos na direção da porta, a temperatura irá aumentar. Porém, se movemos na direção do ar-condicionado, a temperatura irá diminuir. A taxa de variação de z = f (x) em a na direção de u é a derivada direcional. Note que derivada direcional de depende tando do ponto a como da direção u na qual afastamos de a.

Exemplo 1 Suponha que f (a) é a temperatura no ponto a numa sala com ar-condicionado mas com a porta aberta.

3 Definição 2 Derivada Direcional Seja f : D R uma função de n variáveis, isto é, D R n. Considere um ponto a no interior de D e u R n um vetor com u = 1. A derivada direcional de f em a na direção u é f (a + hu) f (a) D u f (a) = lim, h 0 h se esse limite existir. Observação A distância entre a e a + hu é h. Logo, o quociente f (a + hu) f (a) h representa a taxa média de variação de f por unidade de distância sobre o segmento de reta de a à a + hu.

A derivada direcional de f em a na direção u é f (a + hu) f (a) D u f (a) = lim, h 0 h se esse limite existir.

4 Derivada Direcional e as Derivadas Parciais A derivada direcional generaliza as derivadas parciais no seguinte sentido. A derivada direcional de f em a na direção da i-ésima componente da base canônica, ou seja, e i = (0,..., 0, }{{} 1, 0,..., 0) i-ésima componente é a derivada parcial de f em a com respeito à x i, ou seja, D ei f (a) = f x i (a) = f xi (a) = D i f (a).

A derivada direcional de f em a na direção da i-ésima componente da base canônica, ou seja,

5 Derivadas Parciais e a Derivada Direcional Considere a função g : R R dada por Por um lado, note que g(h) = f (a + hu). g g(h) g(0) f (a + hu) f (a) (0) = lim = lim = D u f (a). h 0 h h 0 h Por outro lado, da regra da cadeia concluímos que g (h) = f x 1 dx 1 dh + f x 2 dx 2 dh f x n dx n dh. Agora, x(h) = a + hu = (a 1 + hu 1, a 2 + hu 2,..., a n + hu n ). Logo, dx 1 dh = u 1, dx 2 dh = u 2,..., dx n dh = u n. Portanto, tem-se g (0) = f x u 1 + f 1 a x u f 2 a x n u n = a n j=1 f x u j. j a

h 0 h h 0 h Por outro lado, da regra da cadeia concluímos que g (h) = f x 1 dx 1 dh + f x 2 dx 2 dh +... + f x n dx n dh.

6 Teorema 3 Se f é uma função diferenciável em a, então f tem derivada direcional para qualquer vetor unitário u e D u f (a) = n f x u j j a j=1 Observação: Qualquer vetor unitário u R 2 pode ser escrito como u = (cos θ, sen θ), para algum angulo θ. Nesse caso, D u f (x, y) = f x (x, y) cos θ + f y (x, y) sen θ.

Observação: Qualquer vetor unitário u R 2 pode ser escrito como u = (cos θ,

7 Teorema 3 Se f é uma função diferenciável, então f tem derivada direcional para qualquer vetor unitário u e D u f (x) = n j=1 f x j u j Observação: Qualquer vetor unitário u R 2 pode ser escrito como u = (cos θ, sen θ), para algum angulo θ. Nesse caso, D u f (x, y) = f x (x, y) cos θ + f y (x, y) sen θ.

Qualquer vetor unitário u R 2 pode ser escrito como u = (cos θ, sen θ),

8 Vetor Gradiente A derivada direcional de f na direção u pode ser escrita em termos do seguinte produto escalar D u f (x) = n ( f f u j =, f,..., f ) u. x j x 1 x 2 x n } {{ } vetor gradiente j=1 Definição 4 (Vetor Gradiente) O gradiente de uma função f, denotado por f ou grad f, é a função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais, ou seja, ( f f =, f,..., f ). x 1 x 2 x n

x j x 1 x 2 x n } {{ } vetor gradiente j=1 Definição 4 (Vetor Gradiente) O gradiente de uma

9 Vetor Gradiente A derivada direcional de f na direção u pode ser escrita em termos do seguinte produto escalar D u f (x) = n ( f f u j =, f,..., f ) u = f u. x j x 1 x 2 x n } {{ } vetor gradiente j=1 Definição 4 (Vetor Gradiente) O gradiente de uma função f, denotado por f ou grad f, é a função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais, ou seja, ( f f =, f,..., f ). x 1 x 2 x n

10 Interpretação do Vetor Gradiente Sabemos que o produto escalar de dois vetores a e b satisfaz: a b = a b cos θ, em que θ é o angulo entre a e b. Assim, podemos escrever D u f = f u = f u cos θ = f cos θ. }{{} =1 O valor máximo de cos θ é 1, e isso ocorre quando θ = 0. Logo, Teorema 5 O valor máximo da derivada direcional D u f de uma função diferenciável é f e ocorre quando u tem a mesma direção e sentido que f. Em outras palavras, a maior taxa de variação de f (x) ocorre na direção e sentido do vetor gradiente.

}{{} =1 O valor máximo de cos θ é 1, e isso ocorre quando θ = 0.

11 Em R 2... Considere uma função f de duas variáveis x e y e uma curva de nível dada pelo conjunto dos pontos {r(t) = (x(t), y(t)) : f (x(t), y(t)) = k}. Se P = (x(t 0 ), y(t 0 )), então pela regra da cadeia, temos que f dx x dt + f dy y dt = 0 f (x 0, y 0 ) r (t 0 ) = 0, em que x 0 = x(t 0 ), y 0 = y(t 0 ) e r (t 0 ) = (x (t 0 ), y (t 0 )) é o vetor tangente a curva de nível em P. Conclusão: O vetor gradiente f (x 0, y 0 ), além de fornecer a direção e sentido de maior crescimento, é perpendicular à reta tangente à curva de nível de f (x, y) = k que passa por P = (x 0, y 0 ).

Se P = (x(t 0 ), y(t 0 )), então pela regra da cadeia, temos que f dx x dt + f dy y dt = 0 f (x 0, y 0 ) r (t 0 ) = 0, em que x 0 = x(t 0 ), y 0

12 Em R 3... O vetor gradiente F(x 0, y 0, z 0 ), além de fornecer a direção e sentido de maior crescimento, é perpendicular ao plano tangente à superfície de nível de F(x, y, z) = k que passa por P = (x 0, y 0, z 0 ).

13 O plano tangente à superfície F(x, y, z) = k em P = (x 0, y 0, z 0 ) é dado por todos os vetores que partem de (x 0, y 0, z 0 ) e são ortogonais ao gradiente F(x 0, y 0, z 0 ), ou seja, a equação do plano tangente é: f (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0, y y 0, z z 0 ) = 0. A reta normal a superfície F(x, y, z) = k em P = (x 0, y 0, z 0 ) é dada pelo gradiente F(x 0, y 0, z 0 ), ou seja, (x x 0, y y 0, z z 0 ) = λ f (x 0, y 0, z 0 ), λ R. Alternativamente, suas equações simétricas são x x 0 F x (x 0, y 0, z 0 ) = y y 0 F y (x 0, y 0, z 0 ) = z z 0 F z (x 0, y 0, z 0 ).

A reta normal a superfície F(x, y, z) = k em P = (x 0, y 0, z 0 ) é dada pelo gradiente F(x 0, y 0, z 0 ), ou seja, (x x 0, y y 0, z z 0 ) =

14 Exemplo 6 Determine a derivada direcional D u f (x, y) se f (x, y) = x 3 3xy + 4y 2, e u é o vetor unitário dado pelo ângulo θ = π/6. Qual será D u f (1, 2)?

15 Exemplo 6 Determine a derivada direcional D u f (x, y) se f (x, y) = x 3 3xy + 4y 2, e u é o vetor unitário dado pelo ângulo θ = π/6. Qual será D u f (1, 2)? Resposta: D u f (x, y) = 1 2 ( 3 3x 2 3x + (8 3 ) 3)y) e D u f (1, 2) =

16 Exemplo 7 Determine a derivada direcional da função f (x, y) = x 2 y 3 4y, no ponto P = (2, 1) na direção do vetor v = 2i + 5j.

17 Exemplo 7 Determine a derivada direcional da função f (x, y) = x 2 y 3 4y, no ponto P = (2, 1) na direção do vetor v = 2i + 5j. Resposta: D u f (2, 1) =

18 Exemplo 8 Se f (x, y, z) = x sen yz, a) determine o gradiente de f, b) determine a derivada direcional de f no ponto (1, 3, 0) na direção v = i + 2j k.

19 Exemplo 8 Se f (x, y, z) = x sen yz, a) determine o gradiente de f, b) determine a derivada direcional de f no ponto (1, 3, 0) na direção v = i + 2j k. Resposta: a) O gradiente de f é f (x, y, z) = (sen yz, xz cos yz, xy cos yz). b) A derivada direcional é ( D u f (x, y, z) = 3 1 ) 3 = 6 2.

20 Exemplo 9 Suponha que a temperatura no ponto (x, y, z) do espaço seja dada por 80 T (x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2, em que T é medida em graus Celsius e x, y e z em metros. Em que direção no ponto (1, 1, 2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?

21 Exemplo 9 Suponha que a temperatura no ponto (x, y, z) do espaço seja dada por 80 T (x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2, em que T é medida em graus Celsius e x, y e z em metros. Em que direção no ponto (1, 1, 2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento? Resposta: A temperatura aumenta mais rapidamente na direção i 2j + 6k e a taxa de aumento é o C/m. 8

22 Exemplo 10 Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto ( 2, 1, 3) ao elipsoide x y 2 + z2 9 = 3.

23 Exemplo 10 Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto ( 2, 1, 3) ao elipsoide x y 2 + z2 9 = 3. Resposta: A equação do plano tangente é 3x 6y + 2z + 18 = 0. As equações simétricas da reta normal são x 2 1 = y 1 2 = z

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