Óptica Geométrica: Óptica de raios com matrizes

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1 Óptica 0/007 UFRJ - IF Prof. Paulo H. S. Ribeiro Óptica Geométrica: Óptica de raios com matrizes Aula 4 Adriano Henrique de Oliveira Aragão

2 Sumário Ótica Geométrica: postulados Princípio de Fermat A equação do raio Equações de Hamilton Caracterização geométrico-óptica de componentes óticos Matrizes de raios

3 Óptica Quântica: explica a maioria dos fenômenos ópticos Óptica Eletromagnética: tratamento clássico mais completo sobre a luz Óptica Ondulatória: aproximação escalar para a Óptica Eletromagnética Óptica de Raios: Quando as ondas de luz passam por objetos de dimensões muito maiores que o seu comprimento de onda. O Comportamento da luz pode ser descrito por raios obedecendo certas leis geométricas

4 Postulados da Óptica de Raios (segundo Saleh & Teich). Luz viaja na forma de raios. Os raios são emitidos por uma fonte de luz e podem ser observados quando alcançam um detector óptico.. Um meio óptico é caracterizado pelo seu índice de refração nc/v, onde v (c) é a velocidade da luz no meio (vácuo). O tempo que a luz leva para percorrer uma distância d é td/vnd/c. A distância nd é conhecida como caminho óptico.

5 3. Em um meio não homogêneo, n(r) é função da posição r(x,y,z). O comprimento do caminho óptico ao longo de um dado traçado entre dois pontos A e B é: B A n( r ) ds, onde ds é o elemento diferencial de comprimento ao longo do caminho. + Princípio de Fermat

6 Princípio de Fermat Raios ópticos viajando entre dois pontos A e B seguem um caminho tal que o tempo do trajeto entre eles é um extremo relativo aos caminhos vizinhos. Matematicamente, B n ( r δ ) ds 0, A Usualmente, o caminho óptico é um mínimo, caso no qual, De todos os caminhos possíveis para ir de um ponto a outro, a luz segue aquele que é percorrido no tempo mínimo.

7 Meio homogêneo (ncte): caminho ótico mínimo corresponde à distância mínima -> Propagação retilínea da luz entre pontos. P.F. leva a lei da reflexão e da refração Onde está o ponto P que minimiza o caminho ótico [AP]+[PB]? d ( n AP + n PB) dx n sinθ n sin θ 0

8 Ainda o Princípio de Fermat: ds T n[ r ( s)] ds v c Considere uma variação no caminho: Calcule usando δt δnds + nδds c δn n δr, δds ( dr + δdr ) r( s) r( s) +δr ( s) ( dr ) n dr ds ds dr ds dδr ds e integrando por partes, obtém-se 0 d n ds

9 A equação do raio n d ds n dr ds 0 ds é um comprimento diferencial ao longo da trajetória do raio ( dx) + ( dy) ( dz ) ds + Trajetória descrita por x(s), y(s) e z(s), sendo que r(s) é o vetor formado com essas componentes. Solução dessa equação + condições de contorno trajetórias representando um grupo (feixe) de raios. Equação paraxial do raio: ds dz d dz n dx dz n x

10 Formulações equivalentes: Equação Eikonal: O eikonal S(r) é uma função da posição tal que B A suas superfícies equiníveis são ortogonais em todo lugar aos raios óticos, os comprimentos do caminho ótico ao longo de todos os raios de uma superfície equinível para outra são iguais. os raios estão ao longo do gradiente de S(r). S ( r ) n ( r ) B n( r ) ds S( r ) ds S( B) S( A) A Equação eikonal é equivalente ao princípio de Fermat!

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12 Formulação Hamiltoniana: Defina uma hamiltoniana H ( f / c) σ σ ( x, y, σ x, σ y; z) n ( x, y, z) x y Onde: Usualmente representamos a distribuição de luz sobre um plano zcte especificando o ponto (x,y) e os ângulos (θx,θy) nos quais os raios interceptam o plano. (θx,θy) é o ângulo que o raio faz com o plano (y,x)-z. σ x, y sin σ λ x, y e λ é o comprimento de onda da luz no meio. e use dx dz H σ x d σ H x dz x

13 Componentes Ópticos: Espelho Plano: Reflete raios originados de um ponto tal que os raios refletidos parecem se originar de um outro ponto atrás do espelho, chamado imagem.

14 Espelho Parabolóide: Foca todos raios incidentes paralelos ao seu eixo em um mesmo ponto, o chamado foco.

15 Espelho Esférico: s distância do objeto s distância da imagem r raio de curvatura sinθ sinθ ( r s' ) ( s r) Aberração esférica! Diferentes raios não vão para o mesmo foco Aproximação paraxial: s + s' r f

16 Interface dielétrica curvada: s distância do objeto s distância da imagem r raio de curvatura sinθ sinθ ' ( s r) n ( s + r) n Aproximação paraxial: Aberração esférica também! n n n n + s s' r

17 Lentes delgadas: Para uma lente com índice n e raios de curvaturas r e r, as distâncias das imagens e do objeto estão relacionadas por ( ) f r r n s s ' + Combinação de lentes delgadas: a distância focal f de qualquer número de lentes delgadas (todas em contato mútuo) é f f f f

18 Caracterização geométrico-óptica de componentes óticos ) Secções do espaço livre (raios paraxiais!!) d dz n dx dz n x d dz n dy dz n y ( x, dz y) Para n constante, 0 d -> raios são linhas retas Se um raio intercepta o plano zz em (x,y) fazendo ângulos (θx,θy) com os planos y-z e x-z, então o raio irá interceptar o plano zzz+d em (x,y) fazendo ângulos (θx,θy), onde x x + d y y + d θ x θ y θ θ θ y θ y x x

19 y y + θ y d θ θ y y

20 ) Lentes delgadas: Para uma lente delgada de foco em f, x x θ x θ x Matriz de transferência de raios x f

21 Na aproximação paraxial, a relação entre o ponto de entrada e o de saída de um sistema ótico é linear, sendo que de forma geral, podemos escrever y + Bθ θ Cy + Dθ Ay O que nos permite escrever y θ A C B D y θ Essa matriz caracteriza a transformação que o sistema ótico faz nos raios incidentes

22 Exemplos: ) Reflexão em um espelho plano: M 0 0 ) Propagação no espaço livre: M d 0

23 3) Reflexão em um espelho esférico: 0 r M 4) Refração em uma superfície esférica ( ) 0 n n r n n n M

24 5) Refração em uma superfície plana: M 0 0 n n 6) Transmissão através de uma lente delgada M f 0

25 Uma das vantagens dessa técnica é que podemos decompor um sistema ótico complicado em uma multiplicação de matrizes mais simples: M... M Mn M onde M M N M M

26 Matrizes de raios para feixes Gaussianos O formalismo de matrizes também é útil para descrever feixes Gaussianos. Se nós temos um feixe Gaussiano de comprimento de onda λ, raio de curvatura R e cintura do feixe w, é possível definir um parâmetro complexo para o feixe q através de: w i R q π λ Esse feixe pode ser propagado através de um sistema ótico com uma matriz dada usando a equação q D C B A k q

27 Fim! Pausa para café e depois, Gabriela entra em ação.