Paulo J. S. Gil. Cadeira de Satélites, Lic. Eng. Aeroespacial

Transcrição

1 Mecânica de Partículas (Revisão) Paulo J. S. Gil Departamento de Engenharia Mecânica, Secção de Mecânica Aeroespacial Instituto Superior Técnico Cadeira de Satélites, Lic. Eng. Aeroespacial Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 1 / 73

2 Sumário Cinemática Movimento e Referencial Coordenadas Polares e Curviĺıneas Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Velocidade e Aceleração Relativas Aplicação: Referencial em Rotação Síncrona Dinâmica de uma Partícula Leis de Newton do Movimento Lei da Gravitação Universal Órbitas Circulares Órbitas LEO e MEO Órbitas Geostacionárias Força, Impulso e Quantidade de Movimento; Impactos Trabalho e Energia Energia Potencial Gravítica Momento Angular e Momento de Forças Referenciais não Inerciais e Forças Inerciais Sistemas de Partículas Introdução Forças Internas e Externas Centro de Massa e Momento Angular O problema geral dos n corpos Integrais do Movimento Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 2 / 73

3 Cinemática Sumário Cinemática Movimento e Referencial Coordenadas Polares e Curviĺıneas Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Velocidade e Aceleração Relativas Aplicação: Referencial em Rotação Síncrona Dinâmica de uma Partícula Leis de Newton do Movimento Lei da Gravitação Universal Órbitas Circulares Órbitas LEO e MEO Órbitas Geostacionárias Força, Impulso e Quantidade de Movimento; Impactos Trabalho e Energia Energia Potencial Gravítica Momento Angular e Momento de Forças Referenciais não Inerciais e Forças Inerciais Sistemas de Partículas Introdução Forças Internas e Externas Centro de Massa e Momento Angular O problema geral dos n corpos Integrais do Movimento Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 3 / 73

4 Cinemática Movimento e Referencial Movimento no Espaço Físico Fonte: NASA Movimentos relativos do Astronauta, da Estação de onde é feita a observação e da Terra... e do Sol... e de... Movimento em si não tem que ver com as causas do movimento: Dinâmica O que é movimento de um objecto? O que é Movimento? Movimento relativo a quê? Acompanhando o objecto não há movimento! O movimento tem que ser medido relativamente a qualquer coisa i.e. a um Referencial com coordenadas Questão só relacionada com movimento, ou seja, com variação no tempo de posição Cinemática Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 4 / 73

5 Cinemática Movimento e Referencial Velocidade e Aceleração Partícula no Espaço Para medir posição, velocidade, etc. Referencial Variação com o tempo das coordenadas de uma partícula velocidade medida (relativa) ao referencial v i = ẋ i A variação do vector velocidade é a aceleração O vectores decompõem-se na base local mas em referenciais não curviĺıneos a base é sempre a mesma Aceleração tangencial e normal: a t = v, a n = v 2 /ρ com centro instantâneo de curvatura à distância ρ No caso de referenciais curviĺıneos a coisa complica-se... Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 5 / 73

6 Cinemática Movimento e Referencial Velocidade e Aceleração Partícula no Espaço y e y e x x Para medir posição, velocidade, etc. Referencial Variação com o tempo das coordenadas de uma partícula velocidade medida (relativa) ao referencial v i = ẋ i A variação do vector velocidade é a aceleração O vectores decompõem-se na base local mas em referenciais não curviĺıneos a base é sempre a mesma Aceleração tangencial e normal: a t = v, a n = v 2 /ρ com centro instantâneo de curvatura à distância ρ No caso de referenciais curviĺıneos a coisa complica-se... Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 5 / 73

7 Cinemática Movimento e Referencial Velocidade e Aceleração Partícula no Espaço y e y e x v x Para medir posição, velocidade, etc. Referencial Variação com o tempo das coordenadas de uma partícula velocidade medida (relativa) ao referencial v i = ẋ i A variação do vector velocidade é a aceleração O vectores decompõem-se na base local mas em referenciais não curviĺıneos a base é sempre a mesma Aceleração tangencial e normal: a t = v, a n = v 2 /ρ com centro instantâneo de curvatura à distância ρ No caso de referenciais curviĺıneos a coisa complica-se... Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 5 / 73

8 Cinemática Movimento e Referencial Velocidade e Aceleração Partícula no Espaço y e y e x a v x Para medir posição, velocidade, etc. Referencial Variação com o tempo das coordenadas de uma partícula velocidade medida (relativa) ao referencial v i = ẋ i A variação do vector velocidade é a aceleração O vectores decompõem-se na base local mas em referenciais não curviĺıneos a base é sempre a mesma Aceleração tangencial e normal: a t = v, a n = v 2 /ρ com centro instantâneo de curvatura à distância ρ No caso de referenciais curviĺıneos a coisa complica-se... Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 5 / 73

9 Cinemática Movimento e Referencial Velocidade e Aceleração Partícula no Espaço y e y e x e y a e x v x Para medir posição, velocidade, etc. Referencial Variação com o tempo das coordenadas de uma partícula velocidade medida (relativa) ao referencial v i = ẋ i A variação do vector velocidade é a aceleração O vectores decompõem-se na base local mas em referenciais não curviĺıneos a base é sempre a mesma Aceleração tangencial e normal: a t = v, a n = v 2 /ρ com centro instantâneo de curvatura à distância ρ No caso de referenciais curviĺıneos a coisa complica-se... Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 5 / 73

10 Cinemática Movimento e Referencial Velocidade e Aceleração Partícula no Espaço y e y a t e x a a n v x Para medir posição, velocidade, etc. Referencial Variação com o tempo das coordenadas de uma partícula velocidade medida (relativa) ao referencial v i = ẋ i A variação do vector velocidade é a aceleração O vectores decompõem-se na base local mas em referenciais não curviĺıneos a base é sempre a mesma Aceleração tangencial e normal: a t = v, a n = v 2 /ρ com centro instantâneo de curvatura à distância ρ No caso de referenciais curviĺıneos a coisa complica-se... Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 5 / 73

11 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Coordenadas Curviĺıneas Polares Posição e outras grandezas da partícula em coordenadas polares y e y e x e θ r θ Tem-se, em cada ponto, v x e r Partícula em pontos de coordenadas diferentes em instantes diferentes Base diferente Componentes diferentes dos vectores Vectores de base são diferentes em cada ponto i.e. dependem do tempo Necessário levar em conta a sua variação e r = cos θ e x + sin θ e y e θ = sin θ e x + cos θ e y (1a) (1b) e x, e y independentes do tempo porque são iguais em todo o plano Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 6 / 73

12 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Coordenadas Curviĺıneas Polares Posição e outras grandezas da partícula em coordenadas polares v y e θ e r e r y θ e x Tem-se, em cada ponto, x Partícula em pontos de coordenadas diferentes em instantes diferentes Base diferente Componentes diferentes dos vectores Vectores de base são diferentes em cada ponto i.e. dependem do tempo Necessário levar em conta a sua variação e r = cos θ e x + sin θ e y e θ = sin θ e x + cos θ e y (1a) (1b) e x, e y independentes do tempo porque são iguais em todo o plano Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 6 / 73

13 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Coordenadas Curviĺıneas Polares Posição e outras grandezas da partícula em coordenadas polares y e θ e y e r Partícula em pontos de coordenadas diferentes em instantes diferentes e x e r y θ e x Tem-se, em cada ponto, x Base diferente Componentes diferentes dos vectores Vectores de base são diferentes em cada ponto i.e. dependem do tempo Necessário levar em conta a sua variação e r = cos θ e x + sin θ e y e θ = sin θ e x + cos θ e y (1a) (1b) e x, e y independentes do tempo porque são iguais em todo o plano Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 6 / 73

14 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Coordenadas Curviĺıneas Polares Posição e outras grandezas da partícula em coordenadas polares y e θ sin θ e y θ e r Partícula em pontos de coordenadas diferentes em instantes diferentes cos θ e x e r y θ e x Tem-se, em cada ponto, x Base diferente Componentes diferentes dos vectores Vectores de base são diferentes em cada ponto i.e. dependem do tempo Necessário levar em conta a sua variação e r = cos θ e x + sin θ e y e θ = sin θ e x + cos θ e y (1a) (1b) e x, e y independentes do tempo porque são iguais em todo o plano Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 6 / 73

15 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Coordenadas Curviĺıneas Polares Posição e outras grandezas da partícula em coordenadas polares y e y e θ sin θ e x r θ e x cos θ e y θ e r Tem-se, em cada ponto, x Partícula em pontos de coordenadas diferentes em instantes diferentes Base diferente Componentes diferentes dos vectores Vectores de base são diferentes em cada ponto i.e. dependem do tempo Necessário levar em conta a sua variação e r = cos θ e x + sin θ e y e θ = sin θ e x + cos θ e y (1a) (1b) e x, e y independentes do tempo porque são iguais em todo o plano Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 6 / 73

16 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Coordenadas Curviĺıneas Polares Posição e outras grandezas da partícula em coordenadas polares y e θ e y e r Partícula em pontos de coordenadas diferentes em instantes diferentes e x e r y θ e x Tem-se, em cada ponto, x Base diferente Componentes diferentes dos vectores Vectores de base são diferentes em cada ponto i.e. dependem do tempo Necessário levar em conta a sua variação e r = cos θ e x + sin θ e y e θ = sin θ e x + cos θ e y (1a) (1b) e x, e y independentes do tempo porque são iguais em todo o plano Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 6 / 73

17 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Derivadas dos Vectores da Base Polar y e θ e y θ e r Derivando e x e r = cos θ e x + sin θ e y e y r e θ = sin θ e x + cos θ e y θ e x x e lembrando que os vectores cartesianos são constantes, obtém-se: d e r dθ = sin θ e x + cos θ e y = e θ (2a) d e θ dθ = cos θ e x sin θ e y = e r (2b) e ainda... d dr { e r, e θ } = 0 e r, e θ só dependem de θ! (3) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 7 / 73

18 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Derivadas dos Vectores da Base Polar y e θ e y θ e r Derivando e x e r = cos θ e x + sin θ e y e y r e θ = sin θ e x + cos θ e y θ e x x e lembrando que os vectores cartesianos são constantes, obtém-se: d e r dθ = sin θ e x + cos θ e y = e θ (2a) d e θ dθ = cos θ e x sin θ e y = e r (2b) e ainda... d dr { e r, e θ } = 0 e r, e θ só dependem de θ! (3) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 7 / 73

19 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Derivadas dos Vectores da Base Polar y e θ e y θ e r Derivando e x e r = cos θ e x + sin θ e y e y r e θ = sin θ e x + cos θ e y θ e x x e lembrando que os vectores cartesianos são constantes, obtém-se: d e r dθ = sin θ e x + cos θ e y = e θ (2a) d e θ dθ = cos θ e x sin θ e y = e r (2b) e ainda... d dr { e r, e θ } = 0 e r, e θ só dependem de θ! (3) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 7 / 73

20 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Derivadas dos Vectores da Base Polar y e θ e y θ e r Derivando e x e r = cos θ e x + sin θ e y e y r e θ = sin θ e x + cos θ e y θ e x x e lembrando que os vectores cartesianos são constantes, obtém-se: d e r dθ = sin θ e x + cos θ e y = e θ (2a) d e θ dθ = cos θ e x sin θ e y = e r (2b) e ainda... d dr { e r, e θ } = 0 e r, e θ só dependem de θ! (3) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 7 / 73

21 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Derivadas dos Vectores da Base Polar y e θ e y θ e r Derivando e x e r = cos θ e x + sin θ e y e y r e θ = sin θ e x + cos θ e y θ e x x e lembrando que os vectores cartesianos são constantes, obtém-se: d e r dθ = sin θ e x + cos θ e y = e θ (2a) d e θ dθ = cos θ e x sin θ e y = e r (2b) e ainda... d dr { e r, e θ } = 0 e r, e θ só dependem de θ! (3) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 7 / 73

22 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Derivadas dos Vectores da Base Polar y e θ e y θ e r Derivando e x e r = cos θ e x + sin θ e y e y r e θ = sin θ e x + cos θ e y θ e x x e lembrando que os vectores cartesianos são constantes, obtém-se: d e r dθ = sin θ e x + cos θ e y = e θ (2a) d e θ dθ = cos θ e x sin θ e y = e r (2b) e ainda... d dr { e r, e θ } = 0 e r, e θ só dependem de θ! (3) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 7 / 73

23 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Derivadas dos Vectores da Base Polar y e θ e y θ e r Derivando e x e r = cos θ e x + sin θ e y e y r e θ = sin θ e x + cos θ e y θ e x x e lembrando que os vectores cartesianos são constantes, obtém-se: d e r dθ = sin θ e x + cos θ e y = e θ (2a) d e θ dθ = cos θ e x sin θ e y = e r (2b) e ainda... d dr { e r, e θ } = 0 e r, e θ só dependem de θ! (3) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 7 / 73

24 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Derivadas dos Vectores da Base Polar y e θ e y θ e r Derivando e x e r = cos θ e x + sin θ e y e y r e θ = sin θ e x + cos θ e y θ e x x e lembrando que os vectores cartesianos são constantes, obtém-se: d e r dθ = sin θ e x + cos θ e y = e θ (2a) d e θ dθ = cos θ e x sin θ e y = e r (2b) e ainda... d dr { e r, e θ } = 0 e r, e θ só dependem de θ! (3) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 7 / 73

25 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Derivadas dos Vectores da Base Polar y e θ e y θ e r Derivando e x e r = cos θ e x + sin θ e y e y r e θ = sin θ e x + cos θ e y θ e x x e lembrando que os vectores cartesianos são constantes, obtém-se: d e r dθ = sin θ e x + cos θ e y = e θ (2a) d e θ dθ = cos θ e x sin θ e y = e r (2b) e ainda... d dr { e r, e θ } = 0 e r, e θ só dependem de θ! (3) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 7 / 73

26 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Velocidade em Coordenadas Polares Derivadas em Ordem ao Tempo dos vectores da Base Polar Finalmente, utilizando a regra da derivada composta, d e r = d e r dθ dθ = e θ θ d e θ = d e θ dθ dθ = e r θ (4a) (4b) Velocidade em Coordenadas Polares A posição da partícula em polares é simplesmente r = r e r e a velocidade obtém-se derivando o vector posição v = d r = ṙ e r + r d e r = ṙ e r + r θ e θ. (5) As componentes da velocidade em coordenadas polares são (ṙ, r θ) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 8 / 73

27 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Velocidade em Coordenadas Polares Derivadas em Ordem ao Tempo dos vectores da Base Polar Finalmente, utilizando a regra da derivada composta, d e r = d e r dθ dθ = e θ θ d e θ = d e θ dθ dθ = e r θ (4a) (4b) Velocidade em Coordenadas Polares A posição da partícula em polares é simplesmente r = r e r e a velocidade obtém-se derivando o vector posição v = d r = ṙ e r + r d e r = ṙ e r + r θ e θ. (5) As componentes da velocidade em coordenadas polares são (ṙ, r θ) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 8 / 73

28 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Velocidade em Coordenadas Polares Derivadas em Ordem ao Tempo dos vectores da Base Polar Finalmente, utilizando a regra da derivada composta, d e r = d e r dθ dθ = e θ θ d e θ = d e θ dθ dθ = e r θ (4a) (4b) Velocidade em Coordenadas Polares A posição da partícula em polares é simplesmente r = r e r e a velocidade obtém-se derivando o vector posição v = d r = ṙ e r + r d e r = ṙ e r + r θ e θ. (5) As componentes da velocidade em coordenadas polares são (ṙ, r θ) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 8 / 73

29 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Velocidade em Coordenadas Polares Derivadas em Ordem ao Tempo dos vectores da Base Polar Finalmente, utilizando a regra da derivada composta, d e r = d e r dθ dθ = e θ θ d e θ = d e θ dθ dθ = e r θ (4a) (4b) Velocidade em Coordenadas Polares A posição da partícula em polares é simplesmente r = r e r e a velocidade obtém-se derivando o vector posição v = d r = ṙ e r + r d e r = ṙ e r + r θ e θ. (5) As componentes da velocidade em coordenadas polares são (ṙ, r θ) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 8 / 73

30 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Velocidade em Coordenadas Polares Derivadas em Ordem ao Tempo dos vectores da Base Polar Finalmente, utilizando a regra da derivada composta, d e r = d e r dθ dθ = e θ θ d e θ = d e θ dθ dθ = e r θ (4a) (4b) Velocidade em Coordenadas Polares A posição da partícula em polares é simplesmente r = r e r e a velocidade obtém-se derivando o vector posição v = d r = ṙ e r + r d e r = ṙ e r + r θ e θ. (5) As componentes da velocidade em coordenadas polares são (ṙ, r θ) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 8 / 73

31 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Aceleração em Coordenadas Polares Derivando a velocidade v = ṙ e r + r θ e θ em coordenadas polares, incluindo os vectores da base, a = d v = r e r + ṙ d e r + (ṙ θ + r θ) e θ + r θ d e θ = r e r + ṙ θ e θ + (ṙ θ + r θ) e θ + r θ ) ( θ e r obtém-se finalmente a aceleração em coordenadas polares (6) a = ( r r θ 2 ) e r + (r θ + 2ṙ θ) e θ (7) com componentes ( r r θ 2, r θ + 2ṙ θ). Notas: a r dvr, a θ dv θ Caso de movimento circular não uniforme em torno da origem (ṙ = r = 0): Reparar que a n = r θ 2 e r a n = rω 2 = v 2 /r, v = r θ e θ v = ωr, a t = r θ e θ a t = r ω Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 9 / 73

32 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Aceleração em Coordenadas Polares Derivando a velocidade v = ṙ e r + r θ e θ em coordenadas polares, incluindo os vectores da base, a = d v = r e r + ṙ d e r + (ṙ θ + r θ) e θ + r θ d e θ = r e r + ṙ θ e θ + (ṙ θ + r θ) e θ + r θ ) ( θ e r obtém-se finalmente a aceleração em coordenadas polares (6) a = ( r r θ 2 ) e r + (r θ + 2ṙ θ) e θ (7) com componentes ( r r θ 2, r θ + 2ṙ θ). Notas: a r dvr, a θ dv θ Caso de movimento circular não uniforme em torno da origem (ṙ = r = 0): Reparar que a n = r θ 2 e r a n = rω 2 = v 2 /r, v = r θ e θ v = ωr, a t = r θ e θ a t = r ω Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 9 / 73

33 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Aceleração em Coordenadas Polares Derivando a velocidade v = ṙ e r + r θ e θ em coordenadas polares, incluindo os vectores da base, a = d v = r e r + ṙ d e r + (ṙ θ + r θ) e θ + r θ d e θ = r e r + ṙ θ e θ + (ṙ θ + r θ) e θ + r θ ) ( θ e r obtém-se finalmente a aceleração em coordenadas polares (6) a = ( r r θ 2 ) e r + (r θ + 2ṙ θ) e θ (7) com componentes ( r r θ 2, r θ + 2ṙ θ). Notas: a r dvr, a θ dv θ Caso de movimento circular não uniforme em torno da origem (ṙ = r = 0): Reparar que a n = r θ 2 e r a n = rω 2 = v 2 /r, v = r θ e θ v = ωr, a t = r θ e θ a t = r ω Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 9 / 73

34 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Aceleração em Coordenadas Polares Derivando a velocidade v = ṙ e r + r θ e θ em coordenadas polares, incluindo os vectores da base, a = d v = r e r + ṙ d e r + (ṙ θ + r θ) e θ + r θ d e θ = r e r + ṙ θ e θ + (ṙ θ + r θ) e θ + r θ ) ( θ e r obtém-se finalmente a aceleração em coordenadas polares (6) a = ( r r θ 2 ) e r + (r θ + 2ṙ θ) e θ (7) com componentes ( r r θ 2, r θ + 2ṙ θ). Notas: a r dvr, a θ dv θ Caso de movimento circular não uniforme em torno da origem (ṙ = r = 0): Reparar que a n = r θ 2 e r a n = rω 2 = v 2 /r, v = r θ e θ v = ωr, a t = r θ e θ a t = r ω Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 9 / 73

35 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Aceleração em Coordenadas Polares Derivando a velocidade v = ṙ e r + r θ e θ em coordenadas polares, incluindo os vectores da base, a = d v = r e r + ṙ d e r + (ṙ θ + r θ) e θ + r θ d e θ = r e r + ṙ θ e θ + (ṙ θ + r θ) e θ + r θ ) ( θ e r obtém-se finalmente a aceleração em coordenadas polares (6) a = ( r r θ 2 ) e r + (r θ + 2ṙ θ) e θ (7) com componentes ( r r θ 2, r θ + 2ṙ θ). Notas: a r dvr, a θ dv θ Caso de movimento circular não uniforme em torno da origem (ṙ = r = 0): Reparar que a n = r θ 2 e r a n = rω 2 = v 2 /r, v = r θ e θ v = ωr, a t = r θ e θ a t = r ω Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 9 / 73

36 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Velocidade em Coordenadas Curviĺıneas Coordenadas curviĺıneas polares x = r cos θ, y = r sin θ. (8a) (8b) Velocidade da partícula na base natural { e 1, e 2 } (componentes contravariantes) v i = ẋ i = (ṙ, θ) (9) Métrica g ij = X i i X j j δ i j factores de escala: h i = 1, r A velocidade física (definição): v (i) = h i ẋ i Velocidade física em coordenadas polares v (i) = (v r, v θ ) = (ṙ, r θ) (10) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 10 / 73

37 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Velocidade em Coordenadas Curviĺıneas Coordenadas curviĺıneas polares x = r cos θ, y = r sin θ. (8a) (8b) Velocidade da partícula na base natural { e 1, e 2 } (componentes contravariantes) v i = ẋ i = (ṙ, θ) (9) Métrica g ij = X i i X j j δ i j factores de escala: h i = 1, r A velocidade física (definição): v (i) = h i ẋ i Velocidade física em coordenadas polares v (i) = (v r, v θ ) = (ṙ, r θ) (10) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 10 / 73

38 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Velocidade em Coordenadas Curviĺıneas Coordenadas curviĺıneas polares x = r cos θ, y = r sin θ. (8a) (8b) Velocidade da partícula na base natural { e 1, e 2 } (componentes contravariantes) v i = ẋ i = (ṙ, θ) (9) Métrica g ij = X i i X j j δ i j factores de escala: h i = 1, r A velocidade física (definição): v (i) = h i ẋ i Velocidade física em coordenadas polares v (i) = (v r, v θ ) = (ṙ, r θ) (10) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 10 / 73

39 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Velocidade em Coordenadas Curviĺıneas Coordenadas curviĺıneas polares x = r cos θ, y = r sin θ. (8a) (8b) Velocidade da partícula na base natural { e 1, e 2 } (componentes contravariantes) v i = ẋ i = (ṙ, θ) (9) Métrica g ij = X i i X j j δ i j factores de escala: h i = 1, r A velocidade física (definição): v (i) = h i ẋ i Velocidade física em coordenadas polares v (i) = (v r, v θ ) = (ṙ, r θ) (10) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 10 / 73

40 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Velocidade em Coordenadas Curviĺıneas Coordenadas curviĺıneas polares x = r cos θ, y = r sin θ. (8a) (8b) Velocidade da partícula na base natural { e 1, e 2 } (componentes contravariantes) v i = ẋ i = (ṙ, θ) (9) Métrica g ij = X i i X j j δ i j factores de escala: h i = 1, r A velocidade física (definição): v (i) = h i ẋ i Velocidade física em coordenadas polares v (i) = (v r, v θ ) = (ṙ, r θ) (10) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 10 / 73

41 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Aceleração em Coordenadas Curviĺıneas A aceleração contravariante é definida como derivada total para contar com variação dos vectores da base local a i = Dv i = dx j jv i = v j v i x j + Γ i jk v j v k = ẍ i + Γ i jk v j v k (11a) Os símbolos de Christoffel Γ i jk, etc. são neste caso Γ r rr = Γ θ θθ = Γθ rr = Γ r rθ = Γr θr = 0, Γ r θθ = r, Γθ rθ = Γθ θr = 1 r (12) As componentes contravariantes da aceleração são então a 1 = ẍ 1 + Γ r θθ v θ2 + 0 = r r θ 2 a 2 = ẍ 2 + Γ θ rθ v r v θ + Γ θ θr v θ v r + 0 = θ + 2 r ṙ θ (13a) (13b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 11 / 73

42 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Aceleração em Coordenadas Curviĺıneas A aceleração contravariante é definida como derivada total para contar com variação dos vectores da base local a i = Dv i = dx j jv i = v j v i x j + Γ i jk v j v k = ẍ i + Γ i jk v j v k (11a) Os símbolos de Christoffel Γ i jk, etc. são neste caso Γ r rr = Γ θ θθ = Γθ rr = Γ r rθ = Γr θr = 0, Γ r θθ = r, Γθ rθ = Γθ θr = 1 r (12) As componentes contravariantes da aceleração são então a 1 = ẍ 1 + Γ r θθ v θ2 + 0 = r r θ 2 a 2 = ẍ 2 + Γ θ rθ v r v θ + Γ θ θr v θ v r + 0 = θ + 2 r ṙ θ (13a) (13b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 11 / 73

43 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Aceleração em Coordenadas Curviĺıneas A aceleração contravariante é definida como derivada total para contar com variação dos vectores da base local a i = Dv i = dx j jv i = v j v i x j + Γ i jk v j v k = ẍ i + Γ i jk v j v k (11a) Os símbolos de Christoffel Γ i jk, etc. são neste caso Γ r rr = Γ θ θθ = Γθ rr = Γ r rθ = Γr θr = 0, Γ r θθ = r, Γθ rθ = Γθ θr = 1 r (12) As componentes contravariantes da aceleração são então a 1 = ẍ 1 + Γ r θθ v θ2 + 0 = r r θ 2 a 2 = ẍ 2 + Γ θ rθ v r v θ + Γ θ θr v θ v r + 0 = θ + 2 r ṙ θ (13a) (13b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 11 / 73

44 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Aceleração em Coordenadas Curviĺıneas A aceleração contravariante é definida como derivada total para contar com variação dos vectores da base local a i = Dv i = dx j jv i = v j v i x j + Γ i jk v j v k = ẍ i + Γ i jk v j v k (11a) Os símbolos de Christoffel Γ i jk, etc. são neste caso Γ r rr = Γ θ θθ = Γθ rr = Γ r rθ = Γr θr = 0, Γ r θθ = r, Γθ rθ = Γθ θr = 1 r (12) As componentes contravariantes da aceleração são então a 1 = ẍ 1 + Γ r θθ v θ2 + 0 = r r θ 2 a 2 = ẍ 2 + Γ θ rθ v r v θ + Γ θ θr v θ v r + 0 = θ + 2 r ṙ θ (13a) (13b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 11 / 73

45 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Aceleração em Coordenadas Curviĺıneas A aceleração contravariante é definida como derivada total para contar com variação dos vectores da base local a i = Dv i = dx j jv i = v j v i x j + Γ i jk v j v k = ẍ i + Γ i jk v j v k (11a) Os símbolos de Christoffel Γ i jk, etc. são neste caso Γ r rr = Γ θ θθ = Γθ rr = Γ r rθ = Γr θr = 0, Γ r θθ = r, Γθ rθ = Γθ θr = 1 r (12) As componentes contravariantes da aceleração são então a 1 = ẍ 1 + Γ r θθ v θ2 + 0 = r r θ 2 a 2 = ẍ 2 + Γ θ rθ v r v θ + Γ θ θr v θ v r + 0 = θ + 2 r ṙ θ (13a) (13b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 11 / 73

46 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Aceleração em Coordenadas Curviĺıneas A aceleração contravariante é definida como derivada total para contar com variação dos vectores da base local a i = Dv i = dx j jv i = v j v i x j + Γ i jk v j v k = ẍ i + Γ i jk v j v k (11a) Os símbolos de Christoffel Γ i jk, etc. são neste caso Γ r rr = Γ θ θθ = Γθ rr = Γ r rθ = Γr θr = 0, Γ r θθ = r, Γθ rθ = Γθ θr = 1 r (12) As componentes contravariantes da aceleração são então a 1 = ẍ 1 + Γ r θθ v θ2 + 0 = r r θ 2 a 2 = ẍ 2 + Γ θ rθ v r v θ + Γ θ θr v θ v r + 0 = θ + 2 r ṙ θ (13a) (13b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 11 / 73

47 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Aceleração Física em Coordenadas Curviĺıneas As componentes físicas da aceleração obtêm-se das contravariantes multiplicando pelo respectivo factor de escala a (i) = h i a i : a (1) = a r = 1 a 1 = 1 ( r r θ 2 ) = r r θ 2 (14a) ( a (2) = a θ = r a 2 = r θ + 2 ) r ṙ θ = r θ + 2ṙ θ (14b) Ou seja, as componentes físicas da aceleração são (a r, a θ ) = ( r r θ 2, r θ + 2ṙ θ) (15) TPC: Utilizar este procedimento para outras coordenadas, e.g. esféricas, e verificar que é mais fácil utilizar o procedimento de geometria diferencial do que fazer as derivadas directamente... Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 12 / 73

48 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Aceleração Física em Coordenadas Curviĺıneas As componentes físicas da aceleração obtêm-se das contravariantes multiplicando pelo respectivo factor de escala a (i) = h i a i : a (1) = a r = 1 a 1 = 1 ( r r θ 2 ) = r r θ 2 (14a) ( a (2) = a θ = r a 2 = r θ + 2 ) r ṙ θ = r θ + 2ṙ θ (14b) Ou seja, as componentes físicas da aceleração são (a r, a θ ) = ( r r θ 2, r θ + 2ṙ θ) (15) TPC: Utilizar este procedimento para outras coordenadas, e.g. esféricas, e verificar que é mais fácil utilizar o procedimento de geometria diferencial do que fazer as derivadas directamente... Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 12 / 73

49 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Aceleração Física em Coordenadas Curviĺıneas As componentes físicas da aceleração obtêm-se das contravariantes multiplicando pelo respectivo factor de escala a (i) = h i a i : a (1) = a r = 1 a 1 = 1 ( r r θ 2 ) = r r θ 2 (14a) ( a (2) = a θ = r a 2 = r θ + 2 ) r ṙ θ = r θ + 2ṙ θ (14b) Ou seja, as componentes físicas da aceleração são (a r, a θ ) = ( r r θ 2, r θ + 2ṙ θ) (15) TPC: Utilizar este procedimento para outras coordenadas, e.g. esféricas, e verificar que é mais fácil utilizar o procedimento de geometria diferencial do que fazer as derivadas directamente... Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 12 / 73

50 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Componentes Normal e Tangencial Fonte: Beer & Johnston Trajectória Trajectória arbitrária mas... Velocidade sempre tangente à trajectória v = v e t Localmente: trajectória é curva de raio ρ e centro na direcção de e n ; velocidade escalar v: v = ds = ρdθ Variação da base local (similar às coord. polares): d et dθ = e n Aceleração: a = d v = dv e t + v d et = dv e t + v d et dθ ds dθ ds = dv e t + v 2 ρ e n a n só muda direcção de v, é só centrípeta; a t só varia v Em 3D a trajectória pode ter torção e sair do plano osculador; a tem 3 componentes; a binormal varia de direcção... Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 13 / 73

51 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Componentes Normal e Tangencial Fonte: Beer & Johnston Trajectória Trajectória arbitrária mas... Velocidade sempre tangente à trajectória v = v e t Localmente: trajectória é curva de raio ρ e centro na direcção de e n ; velocidade escalar v: v = ds = ρdθ Variação da base local (similar às coord. polares): d et dθ = e n Aceleração: a = d v = dv e t + v d et = dv e t + v d et dθ ds dθ ds = dv e t + v 2 ρ e n a n só muda direcção de v, é só centrípeta; a t só varia v Em 3D a trajectória pode ter torção e sair do plano osculador; a tem 3 componentes; a binormal varia de direcção... Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 13 / 73

52 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Componentes Normal e Tangencial Fonte: Beer & Johnston Trajectória Trajectória arbitrária mas... Velocidade sempre tangente à trajectória v = v e t Localmente: trajectória é curva de raio ρ e centro na direcção de e n ; velocidade escalar v: v = ds = ρdθ Variação da base local (similar às coord. polares): d et dθ = e n Aceleração: a = d v = dv e t + v d et = dv e t + v d et dθ ds dθ ds = dv e t + v 2 ρ e n a n só muda direcção de v, é só centrípeta; a t só varia v Em 3D a trajectória pode ter torção e sair do plano osculador; a tem 3 componentes; a binormal varia de direcção... Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 13 / 73

53 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Componentes Normal e Tangencial Fonte: Beer & Johnston Trajectória Trajectória arbitrária mas... Velocidade sempre tangente à trajectória v = v e t Localmente: trajectória é curva de raio ρ e centro na direcção de e n ; velocidade escalar v: v = ds = ρdθ Variação da base local (similar às coord. polares): d et dθ = e n Aceleração: a = d v = dv e t + v d et = dv e t + v d et dθ ds dθ ds = dv e t + v 2 ρ e n a n só muda direcção de v, é só centrípeta; a t só varia v Em 3D a trajectória pode ter torção e sair do plano osculador; a tem 3 componentes; a binormal varia de direcção... Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 13 / 73

54 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Componentes Normal e Tangencial Fonte: Beer & Johnston Trajectória Trajectória arbitrária mas... Velocidade sempre tangente à trajectória v = v e t Localmente: trajectória é curva de raio ρ e centro na direcção de e n ; velocidade escalar v: v = ds = ρdθ Variação da base local (similar às coord. polares): d et dθ = e n Aceleração: a = d v = dv e t + v d et = dv e t + v d et dθ ds dθ ds = dv e t + v 2 ρ e n a n só muda direcção de v, é só centrípeta; a t só varia v Em 3D a trajectória pode ter torção e sair do plano osculador; a tem 3 componentes; a binormal varia de direcção... Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 13 / 73

55 Cinemática Coordenadas Polares e Curviĺıneas Componentes Normal e Tangencial Fonte: Beer & Johnston Trajectória Trajectória arbitrária mas... Velocidade sempre tangente à trajectória v = v e t Localmente: trajectória é curva de raio ρ e centro na direcção de e n ; velocidade escalar v: v = ds = ρdθ Variação da base local (similar às coord. polares): d et dθ = e n Aceleração: a = d v = dv e t + v d et = dv e t + v d et dθ ds dθ ds = dv e t + v 2 ρ e n a n só muda direcção de v, é só centrípeta; a t só varia v Em 3D a trajectória pode ter torção e sair do plano osculador; a tem 3 componentes; a binormal varia de direcção... Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 13 / 73

56 Referenciais Relativos Sumário Cinemática Movimento e Referencial Coordenadas Polares e Curviĺıneas Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Velocidade e Aceleração Relativas Aplicação: Referencial em Rotação Síncrona Dinâmica de uma Partícula Leis de Newton do Movimento Lei da Gravitação Universal Órbitas Circulares Órbitas LEO e MEO Órbitas Geostacionárias Força, Impulso e Quantidade de Movimento; Impactos Trabalho e Energia Energia Potencial Gravítica Momento Angular e Momento de Forças Referenciais não Inerciais e Forças Inerciais Sistemas de Partículas Introdução Forças Internas e Externas Centro de Massa e Momento Angular O problema geral dos n corpos Integrais do Movimento Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 14 / 73

57 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Medição de Grandezas e referenciais Referencial com origem diferente: vector posição diferente Referencial que se move relativamente a outro: variação com o tempo de uma grandeza dependente das coordenadas é diferente nos dois referenciais Exemplo: velocidade variação das coordenadas, que são dependentes do referencial Conceito de grandeza (e.g. velocidade) medida relativamente a um certo referencial Os vectores podem no entanto ser escritos no referencial que se quiser Conclusão: Uma grandeza física pode ser medida num referencial e ser escrita noutro Nota: Só se vai considerar transformações entre referenciais ortonormados; a partir de cada referencial pode-se depois passar para um curviĺıneo parado relativamente a ele Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 15 / 73

58 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Vectores Escritos Relativamente a Referenciais Referenciais com movimento relativo 2 referenciais ortonormados i e e com vectores de base respectivamente { i 1, i 2, i 3, } (e.g. ref. inercial) e { e 1, e 2, e 3, } A variação com o tempo de uma grandeza depende do referencial onde é observada (medida) Mas do ponto de vista de cada referencial, os vectores de base não variam com o tempo como distinguir? Vai-se considerar o que acontece a uma grandeza física vectorial: A = A (i) k i k = A (e) m e m (16) Nota: válida a convenção da soma: índices repetidos somam sobre a gama de variação Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 16 / 73

59 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Derivadas Temporais e Referenciais Variação com o tempo depende do referencial utilizado i d é a variação temporal observada (medida) do referencial {i}: i d A = Ȧ(i) k i k (17) (a base não varia relativamente ao próprio referencial) e d é a variação com o tempo medida no referencial {e}: e d A = Ȧ(e) m e m (18) Mas i da = Ȧ(e) m e m + A (e) m e m (19) Vistos do referencial {i} os vectores do referencial {e} variam Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 17 / 73

60 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Derivadas Temporais e Referenciais Variação com o tempo depende do referencial utilizado i d é a variação temporal observada (medida) do referencial {i}: i d A = Ȧ(i) k i k (17) (a base não varia relativamente ao próprio referencial) e d é a variação com o tempo medida no referencial {e}: e d A = Ȧ(e) m e m (18) Mas i da = Ȧ(e) m e m + A (e) m e m (19) Vistos do referencial {i} os vectores do referencial {e} variam Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 17 / 73

61 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Derivadas Temporais e Referenciais Variação com o tempo depende do referencial utilizado i d é a variação temporal observada (medida) do referencial {i}: i d A = Ȧ(i) k i k (17) (a base não varia relativamente ao próprio referencial) e d é a variação com o tempo medida no referencial {e}: e d A = Ȧ(e) m e m (18) Mas i da = Ȧ(e) m e m + A (e) m e m (19) Vistos do referencial {i} os vectores do referencial {e} variam Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 17 / 73

62 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Translação Relativa de Referenciais y e y O p dr O e x x R = R O + r Referencial com velocidade V O relativamente ao primeiro Como não há rotação relativa do referencial os vectores das bases são sempre os mesmos não variam com o tempo! Se estivesse rodado um ângulo constante seria similar p d R V p dr = O + p d r (20) = V O é a velocidade do ref. encarnado medida no preto e i = Cte logo a velocidade v medida no referencial encarnado p d r e = d r = v V = VO + v (21) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 18 / 73

63 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Translação Relativa de Referenciais y e y e x x O p dr O e x y O x R = R O + r e y V O Referencial com velocidade V O relativamente ao primeiro Como não há rotação relativa do referencial os vectores das bases são sempre os mesmos não variam com o tempo! Se estivesse rodado um ângulo constante seria similar p d R V p dr = O + p d r (20) = V O é a velocidade do ref. encarnado medida no preto e i = Cte logo a velocidade v medida no referencial encarnado p d r e = d r = v V = VO + v (21) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 18 / 73

64 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Translação Relativa de Referenciais y y e y e r y R O e x x R O O e x x V O p dr O R = R O + r Referencial com velocidade V O relativamente ao primeiro Como não há rotação relativa do referencial os vectores das bases são sempre os mesmos não variam com o tempo! Se estivesse rodado um ângulo constante seria similar p d R V p dr = O + p d r (20) = V O é a velocidade do ref. encarnado medida no preto e i = Cte logo a velocidade v medida no referencial encarnado p d r e = d r = v V = VO + v (21) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 18 / 73

65 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Translação Relativa de Referenciais y y e y e r y R O e x x R O O e x x V O p dr O R = R O + r V Referencial com velocidade V O relativamente ao primeiro Como não há rotação relativa do referencial os vectores das bases são sempre os mesmos não variam com o tempo! Se estivesse rodado um ângulo constante seria similar p d R V p dr = O + p d r (20) = V O é a velocidade do ref. encarnado medida no preto e i = Cte logo a velocidade v medida no referencial encarnado p d r e = d r = v V = VO + v (21) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 18 / 73

66 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Translação Relativa de Referenciais y v VO y e y e r y R O e x x R O O e x x V O p dr O R = R O + r V Referencial com velocidade V O relativamente ao primeiro Como não há rotação relativa do referencial os vectores das bases são sempre os mesmos não variam com o tempo! Se estivesse rodado um ângulo constante seria similar p d R V p dr = O + p d r (20) = V O é a velocidade do ref. encarnado medida no preto e i = Cte logo a velocidade v medida no referencial encarnado p d r e = d r = v V = VO + v (21) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 18 / 73

67 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Notas à Translação Relativa de Referenciais Como os vectores de base não variam com o tempo, não há grandes diferenças nas grandezas medidas num referencial e noutro Se os referenciais fizerem um ângulo constante os vectores de base também não variam, embora a decomposição dos vectores seja diferente nos 2 referenciais Para a aceleração (e outros vectores) tudo é similar, obtendo-se a = a O + a (22) onde a é a velocidade medida no referencial encarnado Se um referencial roda relativamente ao outro tudo muda pois os vectores da base vão depender do instante considerado Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 19 / 73

68 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Referenciais em Rotação Caso particular 2D Referenciais com a mesma origem, um referencial {s} a rodar relativamente ao outro {i} com velocidade angular ω O vector posição de uma partícula é o mesmo mas decompõe-se de modo diferente nos dois referenciais Velocidade medida no referencial {i}: V = i d r Velocidade medida no referencial {s}: v = s d r r pode ser escrito no referencial {s}: r = x s 1 + y s 2 V = i d r = ẋ s 1 + ẏ s 2 + x s 1 + y s s d r 2 = + x s 1 + y s 2 (23) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 20 / 73

69 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Referenciais em Rotação Caso particular 2D Referenciais com a mesma origem, um referencial {s} a rodar relativamente ao outro {i} com velocidade angular ω O vector posição de uma partícula é o mesmo mas decompõe-se de modo diferente nos dois referenciais Velocidade medida no referencial {i}: V = i d r Velocidade medida no referencial {s}: v = s d r r pode ser escrito no referencial {s}: r = x s 1 + y s 2 V = i d r = ẋ s 1 + ẏ s 2 + x s 1 + y s s d r 2 = + x s 1 + y s 2 (23) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 20 / 73

70 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Referenciais em Rotação Caso particular 2D Referenciais com a mesma origem, um referencial {s} a rodar relativamente ao outro {i} com velocidade angular ω O vector posição de uma partícula é o mesmo mas decompõe-se de modo diferente nos dois referenciais Velocidade medida no referencial {i}: V = i d r Velocidade medida no referencial {s}: v = s d r r pode ser escrito no referencial {s}: r = x s 1 + y s 2 V = i d r = ẋ s 1 + ẏ s 2 + x s 1 + y s s d r 2 = + x s 1 + y s 2 (23) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 20 / 73

71 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Derivadas dos Vectores da Base y y s 2 s 2 i 2 i 1 r s θ 1 P s 1 x θ x Rotação infinitesimal do referencial {s} entre t e t + t O referencial roda θ = ω t No limite quando t 0 obtém-se as derivadas s 1 = s 1 θ s 2 = θ s 2 (24a) s 2 = s 2 θ ( s 1 ) = θ s 1 (24b) s 1 = s 1 lim t 0 s 2 = lim t 0 t = lim t 0 s 2 t = lim t 0 θ t s 2 = θ s 2 = ω s 2 θ t s 1 = θ s 1 = ω s 1 (25a) (25b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 21 / 73

72 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Derivadas dos Vectores da Base y y s 2 s 2 i 2 i 1 r s θ 1 P s 1 x θ x Rotação infinitesimal do referencial {s} entre t e t + t O referencial roda θ = ω t No limite quando t 0 obtém-se as derivadas s 1 = s 1 θ s 2 = θ s 2 (24a) s 2 = s 2 θ ( s 1 ) = θ s 1 (24b) s 1 = s 1 lim t 0 s 2 = lim t 0 t = lim t 0 s 2 t = lim t 0 θ t s 2 = θ s 2 = ω s 2 θ t s 1 = θ s 1 = ω s 1 (25a) (25b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 21 / 73

73 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Derivadas dos Vectores da Base y y s 2 s 2 i 2 i 1 r s θ 1 P s 1 x θ x Rotação infinitesimal do referencial {s} entre t e t + t O referencial roda θ = ω t No limite quando t 0 obtém-se as derivadas s 1 = s 1 θ s 2 = θ s 2 (24a) s 2 = s 2 θ ( s 1 ) = θ s 1 (24b) s 1 = s 1 lim t 0 s 2 = lim t 0 t = lim t 0 s 2 t = lim t 0 θ t s 2 = θ s 2 = ω s 2 θ t s 1 = θ s 1 = ω s 1 (25a) (25b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 21 / 73

74 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Derivadas dos Vectores da Base y y s 2 s 2 i 2 i 1 r s θ 1 P s 1 x θ x Rotação infinitesimal do referencial {s} entre t e t + t O referencial roda θ = ω t No limite quando t 0 obtém-se as derivadas s 1 = s 1 θ s 2 = θ s 2 (24a) s 2 = s 2 θ ( s 1 ) = θ s 1 (24b) s 1 = s 1 lim t 0 s 2 = lim t 0 t = lim t 0 s 2 t = lim t 0 θ t s 2 = θ s 2 = ω s 2 θ t s 1 = θ s 1 = ω s 1 (25a) (25b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 21 / 73

75 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Derivadas dos Vectores da Base y y s 2 s 2 i 2 i 1 r s θ 1 P s 1 x θ x Rotação infinitesimal do referencial {s} entre t e t + t O referencial roda θ = ω t No limite quando t 0 obtém-se as derivadas s 1 = s 1 θ s 2 = θ s 2 (24a) s 2 = s 2 θ ( s 1 ) = θ s 1 (24b) s 1 = s 1 lim t 0 s 2 = lim t 0 t = lim t 0 s 2 t = lim t 0 θ t s 2 = θ s 2 = ω s 2 θ t s 1 = θ s 1 = ω s 1 (25a) (25b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 21 / 73

76 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Derivadas dos Vectores da Base y y s 2 s 2 i 2 i 1 r s θ 1 P s 1 x θ x Rotação infinitesimal do referencial {s} entre t e t + t O referencial roda θ = ω t No limite quando t 0 obtém-se as derivadas s 1 = s 1 θ s 2 = θ s 2 (24a) s 2 = s 2 θ ( s 1 ) = θ s 1 (24b) s 1 = s 1 lim t 0 s 2 = lim t 0 t = lim t 0 s 2 t = lim t 0 θ t s 2 = θ s 2 = ω s 2 θ t s 1 = θ s 1 = ω s 1 (25a) (25b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 21 / 73

77 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Derivadas dos Vectores da Base y y s 2 s 2 i 2 i 1 r s θ 1 P s 1 x θ x Rotação infinitesimal do referencial {s} entre t e t + t O referencial roda θ = ω t No limite quando t 0 obtém-se as derivadas s 1 = s 1 θ s 2 = θ s 2 (24a) s 2 = s 2 θ ( s 1 ) = θ s 1 (24b) s 1 = s 1 lim t 0 s 2 = lim t 0 t = lim t 0 s 2 t = lim t 0 θ t s 2 = θ s 2 = ω s 2 θ t s 1 = θ s 1 = ω s 1 (25a) (25b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 21 / 73

78 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Derivadas dos Vectores da Base y y s 2 s 2 i 2 i 1 r s θ 1 P s 1 x θ x Rotação infinitesimal do referencial {s} entre t e t + t O referencial roda θ = ω t No limite quando t 0 obtém-se as derivadas s 1 = s 1 θ s 2 = θ s 2 (24a) s 2 = s 2 θ ( s 1 ) = θ s 1 (24b) s 1 = s 1 lim t 0 s 2 = lim t 0 t = lim t 0 s 2 t = lim t 0 θ t s 2 = θ s 2 = ω s 2 θ t s 1 = θ s 1 = ω s 1 (25a) (25b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 21 / 73

79 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Derivadas dos Vectores da Base y y s 2 s 2 i 2 i 1 r s θ 1 P s 1 x θ x Rotação infinitesimal do referencial {s} entre t e t + t O referencial roda θ = ω t No limite quando t 0 obtém-se as derivadas s 1 = s 1 θ s 2 = θ s 2 (24a) s 2 = s 2 θ ( s 1 ) = θ s 1 (24b) s 1 = s 1 lim t 0 s 2 = lim t 0 t = lim t 0 s 2 t = lim t 0 θ t s 2 = θ s 2 = ω s 2 θ t s 1 = θ s 1 = ω s 1 (25a) (25b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 21 / 73

80 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Derivadas dos Vectores da Base y y s 2 s 2 i 2 i 1 r s θ 1 P s 1 x θ x Rotação infinitesimal do referencial {s} entre t e t + t O referencial roda θ = ω t No limite quando t 0 obtém-se as derivadas s 1 = s 1 θ s 2 = θ s 2 (24a) s 2 = s 2 θ ( s 1 ) = θ s 1 (24b) s 1 = s 1 lim t 0 s 2 = lim t 0 t = lim t 0 s 2 t = lim t 0 θ t s 2 = θ s 2 = ω s 2 θ t s 1 = θ s 1 = ω s 1 (25a) (25b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 21 / 73

81 Referenciais Relativos Referenciais e Variação com o Tempo Derivadas dos Vectores da Base y y s 2 s 2 i 2 i 1 r s θ 1 P s 1 x θ x Rotação infinitesimal do referencial {s} entre t e t + t O referencial roda θ = ω t No limite quando t 0 obtém-se as derivadas s 1 = s 1 θ s 2 = θ s 2 (24a) s 2 = s 2 θ ( s 1 ) = θ s 1 (24b) s 1 = s 1 lim t 0 s 2 = lim t 0 t = lim t 0 s 2 t = lim t 0 θ t s 2 = θ s 2 = ω s 2 θ t s 1 = θ s 1 = ω s 1 (25a) (25b) Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Mecânica de Partículas (Revisão) IST, LEAero, Satélites 21 / 73