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1 Universidade Federal do Paraná Programa de pós-graduação em engenharia de recursos hídricos e ambiental TH705 Mecânica dos fluidos ambiental II Prof. Fernando Oliveira de Andrade

2 Problema do fechamento da turbulência As equações de Navier-Stokes (conservação de massa + quantidade de movimento + escalar) são capazes de descrever o campo do escoamento em ambos regimes laminar e turbulento O problema reside no fato que quanto maior é o número de Reynolds, mais largo se torna o espectro de energia associado ao movimento

3 O aumento do número de Reynolds implica em estruturas viscosas menores, ou seja, maior é o espectro de frequência (ou de escalas de tempo e comprimento) presente no escoamento O cálculo explícito (direto) de todas as escalas de tempo e comprimento do escoamento, mediante o uso de métodos numéricos, requer o uso de malhas extremamente refinadas Isto implica em um custo computacional muito elevado

4 Portanto, a simulação numérica direta (DNS) se restringe a escoamentos a baixo número de Reynolds Como a maioria dos escoamentos ocorrem a altos números de Reynolds, a solução habitual se baseia em decompor as escalas e deduzir equações de conservação médias (ou filtradas) Tais equações resolvem explicitamente (diretamente) somente uma parte do espectro de energia do escoamento turbulento A parte residual deve ser resolvida por modelos

5 Equações médias de Navier-Stokes, ou equações médias de Reynolds (Reynolds Average Navier Stokes equations) para um fluido com propriedades constantes u i x i = 0 ρ u i t + ρ u i u j x j = p + x i x j μ u i x j ρu i u j

6 RANS LES L l D h

7 Modelagem da turbulência nas equações RANS Existem diversas tentativas de se modelar os fechamentos de segunda ordem das equações RANS de uma forma sistemática e global Para tal é necessário identificar os princípios fundamentais invioláveis para os modelos Estes princípios são: coerência física, consistência dimensional, independência do sistema de coordenadas e condição de ser realizável

8 Coerência física: um modelo de fechamento deve ser uma substituição plausível do fenômeno real Consistência dimensional: qualquer equação deve apresentar homogeneidade dimensional Independência do sistema de coordenadas: o modelo deve apresentar mesmo comportamento espacial e direcional em qualquer sistema de coordenadas. Também significa garantir que os termos das equações tenham os mesmos índices livres

9 Condição de ser realizável: um modelo realizável é aquele que assegura a condição de Schwarts Alguns modelos de turbulência não garantem a realizabilidade em todas as situações. Portanto, questiona-se se essa condições realmente necessária Esta condição está relacionada com a estabilidade da solução numérica das equações u i u j 2 ui 2 u j 2

10 Classificação dos modelos Modelos baseados em viscosidade turbulenta (hipótese de Boussinesq) Modelos algébricos ou de zero equação diferencial Modelos de uma equação diferencial Modelos de duas equações diferenciais Modelos que não dependem da viscosidade turbulenta Modelos de seis equações diferenciais

11 Viscosidade turbulenta O conceito da viscosidade turbulenta foi introduzido por Boussinesq (1877). Este baseia-se numa analogia entre as tensões turbulentas (transferência de quantidade de movimento pela mistura turbulenta) e as tensões moleculares existentes no regime laminar

12 Esta analogia entre a tensão laminar e turbulenta resulta na seguinte expressão onde o terceiro termo do lado direito é introduzido para representar a pressão dinâmica associada aos turbilhões, em analogia à pressão estática

13 Substituindo na equação de Navier-Stokes onde sendo μ ef a viscosidade efetiva e P a pressão modificada

14 Esta é a equação média de Navier-Stokes modelada Note que todos os termos da equação estão escritos em função dos valores médios Isto é, temos um conjunto de 4 equações e 4 incógnitas O trabalho agora consiste em modelar a viscosidade turbulenta, μ t, lembrando que esta quantidade não é uma propriedade do fluido, mas uma propriedade do escoamento

15 Interpretação física da viscosidade turbulenta De acordo com a teoria cinética dos gases, a viscosidade absoluta é resultante da transferência de quantidade de movimento da colisão de moléculas (μ ρcξ), onde c é a velocidade do som e ξ é o caminho médio livre entre colisões Analogamente, a viscosidade turbulenta é definida como sendo resultante da transferência de quantidade de movimento da colisão de turbilhões (μ t ρvl), onde V e L são escalas características de velocidade e comprimento do movimento turbulento

16 Principal deficiência da hipótese O principal ponto fraco desta hipótese está no fato que a viscosidade turbulenta é uma grandeza escalar, o que pressupõe isotropia No entanto, a turbulência nas grandes escalas possui alto grau de anisotropia Esse aspecto é importante na comparação dos tipos de modelagem (i.e., RANS vs. LES)

17 Modelos algébricos Modelo de viscosidade turbulenta constante Este é o modelo mais simples possível. Ocasionalmente, como uma primeira aproximação, para alguns escoamentos, a viscosidade turbulenta pode ser considerada constante, onde o valor da constante deve ser ajustado a partir de dados experimentais Este modelo não é muito utilizado por ser uma aproximação muito grosseira

18 Modelo do comprimento de mistura de Prandtl A Hipótese do comprimento de mistura foi desenvolvida por Prandtl (1925) considerando um escoamento turbulento simples com A viscosidade turbulenta μ t é calculada com base em uma velocidade e um comprimento característico μ t ρl m V

19 Nesse escoamento a tensão de cisalhamento é resultante do gradiente transversal da componente longitudinal da velocidade média. Prandtl definiu a velocidade característica como V = l m u y O comprimento de mistura l m é um comprimento característico de cada escoamento que deve ser determinado

20 Substituindo na equação da viscosidade turbulenta μ t = ρl m 2 u y A tensão de Reynolds é dada por ρu i u j = ρl m 2 u i x j u i x j

21 Próximo as paredes pode-se utilizar uma equação apropriada para modelar esta região do escoamento, ou seja, a função de amortecimento de Van Driest onde A=26, κ = 0,4 é a constante de Von Kármán e y + 40 Este amortecimento junto a parede é necessário uma vez que os efeitos viscosos são predominantes sobre os efeitos turbulentos

22 O modelo é limitado a escoamento simples, não sendo capaz de responder a mudanças rápidas no escoamento, a recirculação, a efeitos de turbulência na corrente livre, etc. O fato de μ t ser zero quando modelo u y é zero é uma falha no Mesmo para escoamentos simples, a distribuição do comprimento característico de mistura l m não é universal

23 Modelos de uma equação diferencial Uma das principais dificuldades do modelo de comprimento de mistura é a relação direta entre a viscosidade turbulenta e o gradiente da velocidade Nesse contexto, os modelos de uma equação utilizam outra escala característica de velocidade A velocidade característica é o rms da velocidade, k, e o comprimento característico é l

24 O modelo de uma equação escreve-se μ t = ρl k Kolmogorov e Prandtl sugeriram a uma equação de transporte para k A equação é obtida subtraindo-se a equação média da equação original de Navier-Stokes Assim obtém-se uma equação para flutuação u i

25 Multiplica-se a equação obtida da flutuação u i por u i e tira-se a média temporal da equação resultante. Chegase a equação de conservação para a energia cinética turbulenta k onde P k é a produção, D k é a difusão e ε é a taxa de dissipação da energia cinética turbulenta

26 Termo de produção P k Representa a taxa de transferência de energia do escoamento médio para o mecanismo de turbulência Para fluidos incompressíveis

27 Termo de difusão D k Representa o transporte de k por difusão turbulenta e molecular A primeira parcela pode ser escrita como

28 O termo de difusão é escrito como onde σ k é o número de Prandtl turbulento (normalmente igual a unidade)

29 Termo de taxa de dissipação ε A taxa de dissipação de energia cinética por unidade de volume é Este termo é resolvido mediante análise dimensional

30 Equação de conservação da energia cinética turbulenta

31 Os modelos de uma equação são capazes de levar em consideração a turbulência da corrente livre, e não especificam μ t = 0 nos locais de gradiente de velocidade zero Contudo, assim como o modelo de comprimento de mistura, existe a dificuldade de prescrever a escala de comprimento l As dificuldades na especificação de l levaram ao uso de equações diferenciais para l, ou para uma quantidade relacionada, dando origem aos modelos de duas equações

32 Comentários sobre o comprimento característico O valor adotado do comprimento característico l ou l m depende do tipo de escoamento Por exemplo, em escoamentos livres adota-se para jatos, l δ = 0,09, para camadas de mistura, l δ = 0,07 Para camadas limites próximas de parede l 0,1δ Launder e Spalding (1972) fornece descrição completa

33 Modelos de duas equações diferenciais Estes modelos consistem na solução de duas equações diferenciais para calcular a viscosidade turbulenta Na elaboração de um modelo de duas equações, faz sentido continuarmos utilizando a equação para a energia cinética turbulente k (para descrever a escala de velocidade) Para descrever a escala de comprimento, diversas propostas surgiram e estão disponíveis na literatura O modelo mais conhecido é o k ε, que resolve uma equação diferencial para k e uma equação diferencial para ε

34 Modelo k ε Este modelo é o mais utilizado nas simulações RANS A velocidade característica continua sendo k O comprimento característico é obtido com base na taxa de dissipação, l = k3 2 ε Substituindo em μ t = ρl k, obtém-se μ t = C μ ρk 2 ε

35 Equação de conservação da dissipação ε onde D ε, P ε e d ε representam os mecanismos de difusão, produção e destruição e ε Procedimento para obter essa equação: Subtrair a equação média de Navier-Stokes da equação de Navier-Stokes Derivar a equação resultante em relação a x j Fazer um produto escalar com 2ν u i x j Fazer a média da equação resultante

36 Termo de produção P ε : a produção da dissipação ε deve ser balanceada com a produção da energia cinética turbulenta k Termo de difusão D ε : a difusão da dissipação ε ocorre devida a ação molecular e da turbulência (forma do termo análogo ao da equação de N-S) Termo de destruição d ε : a destruição da dissipação ε é inversamente proporcional a k

37 Equações de conservação do modelo k ε

38 Modelo k ω A velocidade característica continua sendo k O comprimento característico é obtido com base na vorticidade, l = k1 2 ω Substituindo em μ t = ρl k μ t = α ρk ω, obtém-se

39 Equação de conservação da vorticidade ω A equação da conservação da vorticidade é resolvida junto com a equação de conservação de k O primeiro termo do lado direito é a difusão da vorticidade, os termos G ω e Y ω representam os mecanismos de produção e destruição de vorticidade Os detalhes do modelo podem ser obtidos em Wilcox (1988)

40 Os modelos k ε e k ω são os mais populares Mas diversos outros modelos de duas equações foram propostos com base no conceito de viscosidade turbulenta (i.e., frequência de vórtices de Kolmogorov, l = k 1 2 f 1, etc. ) Todos eles tentam especificar de alguma maneira a escala característica local da velocidade e do comprimento da turbulência

41 Modelos que não dependem de viscosidade turbulenta Os modelos que vimos até aqui são baseados na hipótese de Boussinesq e no conceito de viscosidade turbulenta ρ u i t + ρ u i u j x j = p + x i x j μ u i x j ρu i u j com e μ t ρlv

42 Os modelos que não dependem da viscosidade turbulenta resolvem equações de transporte para as componentes do tensor de Reynolds ρu i u j Esses modelos são conhecidos como modelos de tensões de Reynolds ou modelos RSM (Reynolds Stress Model) As componentes das tensões são resolvidas individualmente, resultando num conjunto de seis equações de conservação (i.e., ρu v, ρu w, ρv w, ρu 2, ρv 2, ρw 2 )

43 A derivação dessas equações introduz novos termos abertos que precisam ser modelados No entanto, os termos modelados nas equações RSM não usam a hipótese de Boussinesq e o conceito de viscosidade turbulenta isotrópica Portanto, para escoamentos em que as escalas de comprimento e velocidade variam significativamente com a direção, os modelos RSM tendem a fornecer resultados satisfatórios

44 As equações de transporte para as tensões de Reynolds podem ser obtidas a partir das equações de Navier-Stokes (Rodi, 1984 e Warsi, 1993), pelo seguinte procedimento: Subtrair a equação média de Navier-Stokes da equação de Navier-Stokes, para o componente u i Fazer um produto escalar desta equação com u j Subtrair a equação média de Navier-Stokes da equação de Navier-Stokes, para o componente u j Fazer um produto escalar desta equação com u i Somar as duas equações Calcular a média temporal

45 A equação de conservação das tensões de Reynolds é onde D ij, P ij e Π ij ε ij representam os mecanismos de difusão, produção e destruição de cada componente da tensão de Reynolds

46 Os modelos RSM tendem a dar melhores resultados em escoamentos com alta anisotropia, quando comparados aos modelos k-e, uma vez que as tensões de Reynolds são resolvidas individualmente No entanto, os pontos fracos dos modelos RSM estão associados a necessidade de modelagem dos termos da equação de transporte de R ij e a necessidade de resolver 6 equações de transporte simultaneamente (alto custo computacional)

47 De uma forma geral, os modelos de turbulência RANS apresentados cumprem seus propósitos com melhor ou pior desempenho dependendo do tipo de escoamento Todos eles procuram determinar escalas características da turbulência (i.e., velocidade, comprimento) Esses modelos são adequados para aplicações que requerem o conhecimento das quantidades médias (i.e., componentes médias da velocidade, etc.)

48 Para problemas que requerem o conhecimento detalhado das propriedades da turbulência os métodos de simulação direta (DNS) ou de simulação de grandes escalas (LES) são mais apropriados Como a DNS ainda é proibitiva para a maioria dos escoamentos turbulentos de aplicações práticas, LES apresenta-se como uma das solução mais atrativas para simulações da turbulência nos dias de hoje

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