Diferenciais Ordinárias (EDO)

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1 Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) Ivanovitch Medeiros Dantas da Silva Universidade Federal do Rio Grande do Norte Departamento de Engenharia de Computação e Automação DCA Métodos Computacionais para Engenharia Civil Natal, 09 de novembro de 2011

Grande do Norte Departamento de Engenharia de Computação e Automação

2 Sumário 1 Introdução 2 Método de Euler 3 Métodos de Runge-Kutta

3 Sumário 1 Introdução 2 Método de Euler 3 Métodos de Runge-Kutta

4 Equações Diferenciais Uma Equação Diferencial é uma equação que envolve derivadas de uma ou mais funções. Elas servem para descrever o comportamento de sistemas dinâmicos e possuem enorme aplicação Engenharia - comportamento de um circuito elétrico ou do movimento oscilatório de estruturas Biologia - crescimento de populações de bactérias Economia - aplicações financeiras

Elas servem para descrever o comportamento de sistemas dinâmicos e possuem enorme aplicação

5 Equações Diferenciais Classificação Equações diferenciais são classificadas de acordo com o seu tipo, ordem ou grau. Equação diferencial ordinária - se uma equação diferencial envolve derivadas de uma função de uma única variável independente. F(x, y, dy dx, d 2 y dx,..., d n y dx ) Equação diferencial parcial - se uma equação diferencial envolve derivadas parciais de uma função com duas ou mais variáveis independentes. F(x 1,..., x n, y, y x 1,..., y x n, 2 y x 1,..., 2 y x n,...)

6 Equações Diferenciais Significado gráfico Suponha um polinômio de quarto grau y = 0.5x 4 + 4x 3 10x + 8.5x + 1 Derivando-o, obtemos uma EDO dy/dx = 2x x 2 10 Essa equação também descreve o comportamento de polinômio, sendo que de uma maneira diferente. Ao invés de descrever explicitamente o valor de y para cada valor de x, ela fornece a taxa de variação de y com relação a x.

5x + 1 Derivando-o, obtemos uma EDO dy/dx = 2x 3 + 12x 2 10 Essa equação também descreve o

7 Equações Diferenciais Significado gráfico

8 Equações Diferenciais Embora possamos determinar uma equação diferencial dada a função original, o objetivo aqui é determinar a função original, dada a equação diferencial. A função original é a solução do nosso problema. No exemplo anterior, podemos calcular a função original analiticamente y = ( 2x x 2 10)dx = 0.5x 4 + 4x 3 10x + 8.5x + C

A função original é a solução do nosso problema.

9 Equações Diferenciais

10 Equações Diferenciais Exemplo Problema: análise de um corpo de massa m que cai com velocidade v(t). Este corpo sofre uma força de resistência do ar na forma F r = c v(t), onde c é o coeficiente de resistência. A força que leva o corpo para baixo F = P F r Sabendo que, P = m g, F = m a(t) e a(t) = dv(t) dt dv(t) dt = g c m v(t)

Este corpo sofre uma força de resistência do ar na forma F r = c v(t), onde c é o

11 Equações Diferenciais Resolução A solução para uma equação diferencial consiste em encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial. A função não deve conter derivadas nem diferenciais e ela pode ser uma solução geral ou particular. Uma solução geral de ordem n é uma solução contendo n constantes de integração independentes v(t) = d 1 e ct m + gm c

A função não deve conter derivadas nem diferenciais e ela pode ser uma solução geral ou

12 Equações Diferenciais Resolução Uma solução particular é obtida a partir da solução geral, dando-se valores específicos às constantes f (x 0 ) = y 0 f (x 1 ) = y 1 f (x 2 ) = y 2 f (n 1) (n 1) =. y n 1 Se x 0 = x 1 = x 2 =... = x n então o problema é dito ser de valor inicial, caso contrário é dito ser de contorno.

1 ) = y 1 f (x 2 ) = y 2 f (n 1) (n 1) =. y n 1 Se x 0 = x 1 = x 2 =.

13 Equações Diferenciais Porque usar métodos numéricos? A busca de uma solução para uma equação diferencial ordinária com problema de valor inicial apresenta alguns problemas. Os procedimentos para a busca de uma solução analítica não é trivial. Muitas questões práticas não possuem solução conhecida. Os coeficientes ou as funções existentes na equação diferencial são dados somente na forma de um conjunto tabelado de informações experimentais, o que torna impossível o uso de um procedimento analítico para determinar a solução da equação.

Os procedimentos para a busca de uma solução analítica não é trivial. Muitas questões práticas não possuem solução conhecida.

14 Equações Diferenciais Métodos numéricos Serão tratados os métodos numéricos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) com o problema do valor inicial (PVI). Esses métodos apresentam a seguinte forma geral: Método de Euler { dy(x) dx Método de Runge-Kutta y(x 0 ) = y 0 = f (x, y(x))

15 Sumário 1 Introdução 2 Método de Euler 3 Métodos de Runge-Kutta

16 Método de Euler Introdução Dado uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com problema de valor inicial { dy(x) dx y(x 0 ) = y 0 = f (x, y(x)) e um conjunto de pontos x [a,b], pode-se aproximar a função y(x) (solução desejada) por um polinômio da série de Taylor em torno de um valor x k pertencente ao intervalo [a,b]. y(x) = y(x k ) + y (x k ) (x x k) 1! + y (x k ) (x x k) 2 2! +...

aproximar a função y(x) (solução desejada) por um polinômio da série de Taylor em torno de um

17 Método de Euler Introdução Truncando a séria no segundo termo e fazendo x = x k+1 y(x k+1 ) y(x k ) + y (x k )(x k+1 x k ) Porém, x k+1 x k = h e y (x k ) = f (x k, y(x k )) y(x k+1 ) = y(x k ) + h f (x k, y(x k )) y k+1 = y k + h f (x k, y k ) onde k = 0, 1, 2,..., n-1. n é o número de subintervalos.

k ) = f (x k, y(x k )) y(x k+1 ) = y(x k ) + h f (x k, y(x k )) y k+1 = y k

18 Método de Euler Exemplo Resolver a seguinte EDO, onde x [0,1] e h = 0.25 { dy(x) dx y(0) = 1 = y 2x y

19 Método de Euler Exemplo Primeiramente devemos encontrar a variação do índice k h = b a n = 1 0 n 0.25 = 4 Dessa forma, o índice k varia de 0 até 3. k = 0 f (x k, y(x k )) = y k 2x k y k x 1 = x 0 + h = 0.25 f (x 0, y 0 ) = y 0 2 x y 0 1 = 1 y 1 = y 0 + h f (x 0, y 0 ) = 1.25

20 Método de Euler Exemplo k = 1 x 2 = x 1 + h = 0.5 f (x 1, y 1 ) = y 1 2 x y = 0.85 y 2 = y 1 + h f (x 1, y 1 ) = k = 2 x 3 = x 2 + h = 0.75 f (x 2, y 2 ) = y 2 2 x y = y 3 = y 2 + h f (x 2, y 2 ) =

85 y 2 = y 1 + h f (x 1, y 1 ) 1.25 + 0.25 0.85 = 1.4625 k = 2 x 3 = x 2 + h 0.

21 Método de Euler Exemplo k = 3 x 4 = x 3 + h = 1 f (x 3, y 3 ) = y 3 2 x y = y 4 = y 3 + h f (x 3, y 3 ) =

22 Método de Euler Exemplo Resolver a seguinte EDO, onde x [0,2] e h = 0.5 { dy(x) dx y(0) = 1 = yx 2 y

23 Sumário 1 Introdução 2 Método de Euler 3 Métodos de Runge-Kutta

24 Métodos de Runge-Kutta Introdução Quanto menor o passo usado no método de Euler menor o erro de truncamento. Muitas vezes o erro não é satisfatório mesmo usando-se um passo muito pequeno. O método de Euler não é usado na prática. Utilizam-se métodos mais precisos Runge-Kutta de primeira ordem (método de Euler) Runge-Kutta de segunda ordem Runge-Kutta de quarta ordem

25 Métodos de Runge-Kutta Segunda ordem Formato I (Euler melhorado) K 1 = f (x j, y j ) K 2 = f (x j + h, y j + h K 1 ) y j+1 = y j + h 2 (K 1 + K 2 ) Formato II (Euler modificado) K 1 = f (x j, y j ) K 2 = f (x j + h 2, y j + h 2 K 1) y j+1 = y j + h K 2

26 Métodos de Runge-Kutta Quarta ordem Dentre os métodos de Runge-Kutta, é o mais popular K 1 = f (x j, y j ) K 2 = f (x j + h 2, y j + h 2 K 1) K 3 = f (x j + h 2, y j + h 2 K 2) K 4 = f (x j + h, y j + h K 3 ) y j+1 = y j + h 6 (K 1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 )

27 Métodos de Runge-Kutta Exemplo Resolver a EDO para x [0,1] e h = 0.1 { y = x y + 2 y(0) = 2 Calculando o número de subintervalos h = b a n n = b a h = = 10 Portanto, j varia de 0 até 9

28 Métodos de Runge-Kutta Exemplo Para j = 0 K 1 = f (x 0, y 0 ) = x 0 y = = 0 K 2 = f (x 0 + h 2, y 0 + h 2 K 1) = f ( , ) = f (0.05, 2) = = 0.05

29 Métodos de Runge-Kutta Exemplo K 3 = f (x 0 + h 2, y 0 + h 2 K 2) = f ( , ) = f (0.05, ) = = K 4 = f (x 0 + h, y 0 + h K 3 ) = f ( , ) = f (0.1, ) = =

30 Métodos de Runge-Kutta Exemplo y 1 = y 0 + h 6 (K 1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 ) = ( ) = Esse procedimento deve ser repetido até j = 9, ou seja, até encontrar o y 10.

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