Objetivos. Teoria de Filas. Teoria de Filas

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1 Objetivos Teoria de Filas Michel J. Anzanello, PhD 2 Teoria de Filas Filas estão presentes em toda a parte; Exemplos evidentes de fila podem ser verificados em bancos, lanchonetes, cinemas, etc.; Exemplos menos evidentes ocorrem na espera de atendimento em operações de telemarketing,, na espera da mudança pelo semáforo, na espera pela entrega de correspondência, na espera de correção de uma prova, etc.; Comuns a esses casos são as chegadas de pessoas ou objetos que requerem algum tipo de atendimento e os atrasos consequentes quando o mecanismo de atendimento está ocupado. 3 Teoria de Filas Uma fila é formada quando um ou mais clientes aguardam processamento; Podem ser pessoas ou objetos, máquinas esperando manutenção, pedidos esperando expedição, ou material estocado esperando para ser utilizado. A espera ocorre em função de um desbalanceamento temporário entre a demanda pelo atendimento e a capacidade do sistema prestar este atendimento. 4 1

2 Teoria de Filas Na maioria das situações reais, a taxa de demanda varia; ou seja, os clientes chegam em intervalos imprevisíveis; O mesmo acontece com a taxa de atendimento, que varia em função com as necessidades dos clientes. 5 Estrutura das Filas A análise de problema de filas inicia-se com uma descrição de seus elementos básicos: 1. Entrada, ou fonte populacional,, que gera os potenciais clientes; 2. A fila dos clientes; 3. A estrutura de atendimento,, que consiste de uma pessoa (ou grupo), uma máquina (ou grupo), ou ambos, necessários para o atendimento ao cliente, e; 4. Uma regra de prioridade (disciplina da fila), que tem a função de selecionar o próximo cliente a ser atendido pelo sistema. 6 Estrutura das Filas Estrutura das Filas A Fonte Populacional é a fonte das entradas ao sistema de atendimento: População Finita: : o número potencial de novos clientes é afetado pelo número de clientes que já estão no sistema População Infinita: : o número de clientes que estão no sistema não afeta a taxa de geração de novos clientes. Grau de paciência: Paciente: um cliente paciente é aquele que espera o tempo necessário pelo atendimento; Impaciente - um cliente impaciente pode avaliar o serviço e a extensão da fila para decidir se aguarda ou não 8 9 2

3 Estrutura das Filas Organização de Recursos Sistema de atendimento: Número de filas: a) fila única; b) fila múltipla. Organização dos recursos: consiste do pessoal e/ou equipamentos necessários para o atendimento. Canal único Fase única: todo atendimento é realizado por um único recurso. Os clientes formam uma fila única e são atendidos de uma só vez. Alguns tipos de serviço demandam uma única fase, enquanto outros necessitam de uma sequência de passos (fases) Organização de Recursos Organização de Recursos Canal único Fase múltipla: o atendimento é realizado em sequência por mais de um recurso. Os clientes formam uma fila única e são atendidos sequencialmente de um recurso para o seguinte. Canal múltiplo Fase única: é utilizado quando a demanda é suficientemente grande para permitir a oferta do mesmo atendimento por mais de um recurso, ou quando os serviços prestados pelos recursos são diferentes

4 Organização de Recursos Disciplina da Fila Canal múltiplo Fase múltipla: ocorre quando os clientes podem ser atendidos por um dos recursos na 1 ª fase mas, em seguida, necessitarão de atendimento de um recurso na 2 ª fase e assim por diante. A regra mais comum é a Primeiro que Entra, Primeiro que Sai (PEPS) define que os clientes serão atendidos com base cronológica de chegada; Essa regra é aceita e definida como a mais justa apesar de, em determinadas situações, discriminar clientes que necessitam de um serviço que demande pouco tempo; 14 Outras regras: Emergências, clientes mais lucrativos, pedidos maiores, clientes preferenciais, menor tempo de processamento, outros. 16 Distribuição de Probabilidade Para criar e analisar modelos matemáticos de sistema de fila, deve-se assumir alguns pressupostos relativos à maneira com que os clientes chegam ao sistema e o tempo que leva para eles serem atendidos; As fontes de variabilidade nas filas são oriundas das chegadas aleatórias dos clientes e do tempo de atendimento; Cada uma dessas fontes de variabilidade podem ser descritas a partir de uma distribuição de probabilidade. 17 Distribuição de Chegada Na maioria dos sistemas de filas, os clientes chegam de forma aleatória, ou seja, o número de chegadas que ocorrem em um determinado período de tempo é uma variável aleatória. É usualmente apropriado modelar o processo de chegada em um sistema de filas como um processo de Poisson, seguindo uma distribuição de mesmo nome. 18 4

5 Distribuição de Chegada Distribuição de Chegada Para utilizar a distribuição de probabilidade de Poisson, deve-se especificar um valor para a taxa de chegada dos clientes (λ), que representa o número médio de chegadas por unidade de tempo; De acordo com a distribuição de Poisson a probabilidade da chegada de n clientes em um período de tempo específico, é dada por: A variância do número de chegadas por unidade de tempo também é λ Exemplo Exemplo de Distribuição de Chegada Clientes chegam a um balcão de reclamações de uma loja de departamentos a uma taxa de cinco clientes por hora. Qual a probabilidade de quatro clientes chegarem na próxima hora?

6 Distribuição de Chegada A tabela anterior mostra que a probabilidade de 6 clientes chegarem na próxima hora é de 0,1462; Contudo, as 6 chegadas provavelmente não ocorrerão no mesmo momento. Espera-se se que haja algum intervalo de tempo entre uma chegada e outra; Este intervalo de tempo é conhecido como tempo entre chegadas (interarrival time); Se o número de chegadas em dado período segue uma distribuição de Poisson com média λ, pode-se demonstrar que os tempos entre chegadas segue uma distribuição exponencial com média 1/ λ. 24 Exemplo Considere o exemplo anterior em que os clientes chegam a uma taxa λ = 5 por hora; Espera-se se que o tempo médio entre chegadas dos clientes seja 1/5 = 0,2 horas; Ou seja, as chegadas ocorrem uma vez a cada 12 minutos (0,2 x 60 minutos), em média. 25 Um cliente que chega em um sistema de filas despende algum tempo esperando para ser atendido (iniciar atendimento). A este tempo dá-se o nome de tempo de fila; O tempo de serviço é o tempo no qual o cliente passa no sistema de filas uma vez iniciado o atendimento; Os tempos de atendimento dos clientes em um sistema de atendimento podem, na maioria dos casos, serem descritos a partir de uma distribuição de probabilidade Exponencial; Para utilizar a distribuição exponencial, deve-se especificar um valor para a taxa de atendimento dos clientes (µ), que representa o número médio de clientes que pode ser atendido por unidade de tempo. Assim, o tempo de serviço não inclui o tempo de fila

7 A média da distribuição do tempo de atendimento é dada por 1/ µ; Ou seja, o tempo médio de atendimento por cliente é 1/ µ unidades de tempo; A distribuição Exponencial descreve a probabilidade que o tempo T de atendimento do cliente em um recurso específico durará entre t 1 e t 2 unidades de tempo da seguinte forma: A variância do tempo de atendimento por cliente é (1/ µ) 2 unidades tempo Exemplo Exemplo O atendente do balcão de reclamações do caso anterior pode atender uma média de sete clientes por hora. Qual a probabilidade de um cliente ser atendido entre 3 e 6 minutos?

8 Exercício Para t 1 = 0, a probabilidade que o atendimento do cliente em um recurso específico não levará mais que T períodos, é dada por: Considere que um balconista pode atender uma média de três clientes por hora. Qual a probabilidade de um cliente em ser atendido em, no máximo, 10 minutos? Os dados da tabela anterior e o gráfico apresentado mostram que para distribuições exponenciais, tempos mais curtos de atendimento tem maiores probabilidades relativas de acontecerem; Mostram ainda, que a distribuição exponencial também assume que tempos de atendimento mais longos podem ocorrer (apesar de com menor freqüência); Isso condiz com a realidade na qual espera-se se que os tempos de atendimento em sistemas de filas em geral sejam curtos para a maioria dos serviços prestados, apesar de que, em algumas situações específicas, o atendimento possa levar mais tempo para ser realizado. 34 A consideração da ocorrência dos tempos mais longos (mas infreqüente) contrapesa os tempos mais curtos (mais freqüentes) de tal forma que, na média, a distribuição exponencial fornece uma descrição razoável do comportamento dos tempos de atendimento em vários problemas reais; Contudo, a distribuição exponencial não é um modelo adequado para todas as situações. 35 8

9 Algumas características da distribuição exponencial nem sempre representam uma situação real; A distribuição exponencial baseia-se no pressuposto que cada tempo de atendimento é independente do tempo de atendimento anterior; Em eventos reais a produtividade pode aumentar à medida que se aprende o trabalho. Ou seja, o efeito aprendizado interfere no tempo de atendimento. 36 9