Gestão de Operações II Teoria das Filas

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1 Gestão de Operações II Teoria das Filas Prof Marcio Cardoso Machado Filas O que é uma fila de espera? É um ou mais clientes esperando pelo atendimento O que são clientes? Pessoas (ex.: caixas de supermercado, exames laboratoriais, etc.) Objetos (ex.: máquinas precisando de manutenção, pedidos de venda esperando por transporte, ou itens de estoque esperando para serem usados)

2 Filas Por que se formam filas de espera: Uma fila se forma em função de um desequilíbrio temporário entre a demanda por serviço e a capacidade do sistema de fornecer o serviço, A demanda é variada, os clientes chegam em intervalos inconstantes, A taxa de fornecimento do serviço também varia. Exemplo Suponha que em um banco os clientes cheguem a uma taxa média de 15 por hora ao longo do dia e que o banco possa processar 20 clientes por hora. Porque uma fila de espera se formaria?

3 Resposta A taxa de chegada dos clientes varia ao longo do dia e o tempo necessário para atender o cliente também pode variar Por exemplo Durante uma hora, a partir do meio dia, podem chegar 30 clientes ao banco. Filas de Espera Filas de espera podem surgir até mesmo quando o tempo para atender a um cliente for constante. Exemplo Suponha que em uma linha de trem cada trem seja programado para chegar a uma estação a cada 15 minutos.

4 Filas de Espera Portanto, quando a capacidade é suficiente, o que determina os tamanhos das filas é a variabilidade das taxas de demanda e serviço O que é Teoria das Filas Ramo da probabilidade que estuda o fenômeno da formação de filas de espera na solicitação de serviços Uma ferramenta para estimar medidas de desempenho de um sistema a partir de propriedades mensuráveis das filas Consequentemente evitar desperdícios e gargalos

5 Para que a Teoria das Filas Fornecer modelos para o comportamento de sistemas que oferecem para demandas com taxas de demandas aleatórias Utilizadas para modelar sistemas onde: Clientes chegam para ser atendidos Esperam sua vez para serem atendidos São atendidos e vão embora Uso da Teoria das Filas de Espera Empresas prestadoras de serviço Parque de diversões, Banco Laboratório clínico Oficina de automóveis Empresas manufatureiras (materiais esperando para serem processados)

6 Situações de Filas Comuns Situação Chegadas na Fila Processo de Serviço Supermercado Compradores Checkout Cabine de pedágio Automóveis Cobrança Consultório Médico Pacientes Tratamento Sistema de Computadores Companhia Telefônica Programas a serem rodados Usuário Processamento Equipamentos de comutação Banco Cliente Transações no caixa Manutenção de Máquinas Máquinas com defeito Reparo de máquinas Porto Navios Carga e descarga Resultados possíveis Tempo de espera de um cliente Quanto tempo um cliente espera no banco Quanto tempo um pacote passa pelo roteador Acúmulo de clientes na fila Qual o tamanho médio da fila do banco Como a fila do roteador se comporta Tempo ocioso/ocupado dos servidores Quanto tempo o caixa fica livre Qual a utilização do roteador Taxa de Saída Quantos clientes são atendidos por hora Quantos pacotes são encaminhados por segundo

7 O Problema Estrutura dos problemas de filas de espera Cada situação específica terá características diferentes, contudo quatro elementos são comuns em todas as situações 1. Um input, ou população de clientes, que gera clientes potenciais. 2. Uma fila de espera de clientes. O Problema 3. O posto de serviço, consistindo em um pessoa (ou equipe), uma máquina (ou grupo de máquinas) ou ambos, necessários para executar o serviço para o cliente. 4. Uma regra de prioridade, que seleciona o próximo cliente a ser atendido pela instalação de serviço.

8 População de Clientes É a fonte de entrada do sistema de serviço. Fonte finita: quando o número potencial de novos cliente é consideravelmente afetado pelo número de clientes que já estão no sistema. Fonte infinita: quando o número de clientes no sistema não afeta a taxa na qual a população gera novos clientes População de Clientes Clientes pacientes e impacientes. Pacientes: aqueles que aguardam até serem atendidos. Impacientes: aqueles que não entram no sistema (recusam-se a entrar) ou deixam o sistema antes de ser atendido (desiste). Para efeito de de simplificação, no no contexto dessa disciplina, consideraremos todos os os clientes pacientes

9 Modelo de filas de espera População de Clientes Fila de Espera Instalação de Serviço Clientes atendidos Regra de Prioridade Elementos da Fila População de carros sujos Chegada Fila de Espera Posto de Serviço Lavadora Saída do sistema Entrada Saída Chegada ao Sistema Características da Chegada Tamanho da População Comportamento Distribuição Estatística stica Sistema Características da Fila de Espera Finita vs.. Infinita Disciplina Saída do Sistema Características do Serviço Projeto do Serviço Distribuição Estatística stica do Serviço

10 O Sistema de Serviço Número de Filas: as filas espera podem ser projetadas para ser uma fila única ou filas múltiplas. Fila única: Ex.: Guichê de companhia aérea. Fila múltipla Ex.: Oficina mecânica (fila para troca de pneu e fila para troca de escapamento) Projetos do Sistema de Serviço Consultório de Dentista Chegada Fila Posto de Serviço Saída depois do serviço Canal único, Sistema de fase simples Drive-through do McDonald s s com guichê duplo Chegada Fila Posto de Serviço Fase 1 Posto de Serviço Fase 2 Saída depois do serviço Canal único, Sistema multifases

11 Projetos do Sistema de Serviço Bancos e Correios Chegada Fila Posto de Serviço Canal 1 Posto de Serviço Canal 2 Saída depois do serviço Posto de Serviço Canal 3 Multicanal, Sistema de fase simples Projetos do Sistema de Serviço Serviço o de Atendimento ao Aluno Chegada Fila Fase 1 Posto de Serviço Canal 1 Fase 1 Posto de Serviço Canal 2 Fase 2 Posto de Serviço Canal 1 Fase 2 Posto de Serviço Canal 2 Saída depois do serviço Multicanal, Sistema multifases

12 Regras de Prioridade (Disciplina de Atendimento) Determina qual o próximo cliente será atendido. Exemplos: FCFS: o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido (regra mais comum). LCFS: o último a chegar é o primeiro a ser atendido Data de vencimento mais antiga. Menor tempo de processamento. Distribuição de Probabilidades As causas de variação nos problemas de fila advêm das chegadas aleatórias dos clientes a das variações nos tempos de serviço. Cada uma dessas causas pode ser descrita com uma distribuição de probabilidades.

13 Distribuição de Probabilidades Distribuição de chegada: Descritas por uma distribuição de Poisson, que especifica a probabilidade que n clientes cheguem em período de tempo T: ( ) n λt λt Pn = e para n= 0,1,2,... n! Onde P n = probabilidade de n chegadas em período de tempo T λ = número médio de chegadas de clientes por período e = 2,7183 Distribuição de Chegada Exemplo: A gerência está reprojetando o processo de atendimento ao cliente de uma grande loja de departamentos. É importante acomodar quatro clientes. Os clientes chegam ao balcão à taxa de dois clientes por hora. Qual a probabilidade de que quatro clientes cheguem durante uma hora?

14 Distribuição de Chegada Solução: Nesse caso, λ = a dois clientes por hora, T = uma hora e n = quatro clientes. A probabilidade de que quatro clientes cheguem a qualquer hora é: ( (1)) 4 2 2(1) 2 4 = e = P 4! 16 = e 24 0,090 ou 9,02% Distribuição de Chegada Exercícios: 1. O Corpo de Bombeiros de uma determinada cidade recebe, em média, 3 chamadas por dia. Qual a probabilidade de receber: a) 4 chamadas num dia? Resposta: 0,1680 ou 16,80% b) Nenhuma chamada em um dia? Resposta: 0,0498 ou 4,98% c) 20 chamadas em uma semana? Resposta: 0,0867 ou 8,67%

15 Distribuição de Chegada Exercícios: 2. Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade deste PABX não receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 minuto? Resposta: 0,0067 ou 0,67% Distribuição de Chegada Ponto de decisão: O gerente do balcão de atendimento ao cliente pode usar essa informação para determinar os requisitos de espaço para área de balcão e área de espera. Há uma probabilidade relativamente pequena de que quatro clientes cheguem a qualquer hora. Consequentemente, a capacidade de assentos para dois ou três clientes seria mais adequada, a menos que o tempo para tender cada cliente seja longo. Justifica-se análise adicional dos tempos de atendimento.

16 Cálculo da Distribuição do Tempo de Atendimento Distribuição do tempo de atendimento: A distribuição exponencial descreve a probabilidade de que o tempo de atendimento ao cliente em uma instalação específica não seja maior que períodos de tempo T: P µ T ( t T) = 1 e Onde t = tempo de atendimento ao cliente T = Meta de tempo de atendimento µ = número médio de clientes que concluem o atendimento por período Cálculo da Distribuição do Tempo de Atendimento Exercício: 1. A administração de uma grande loja de departamentos. Precisa determinar se é necessário mais treinamento para o funcionário de atendimento aos clientes. O encarregado desse serviço pode atender uma média de três clientes por hora. Qual é a probabilidade de que um cliente precise menos de 20 minutos?

17 Cálculo da Distribuição do Tempo de Atendimento Probabilidade do tempo de atendimento: 3(0,333) ( 0,167) = 1 e = 1 0,61= 0, 63 Pt Ponto de Decisão: A probabilidade do atendimento ocorrer em menos de vinte minutos não é muito elevada, o que abre a possibilidade de os clientes poderem passar por atrasos. A administração deve considerar treinamento adicional para o funcionário. Cálculo da Distribuição do Tempo de Atendimento Exercício: 1. Considerando os dados do exercício anterior. Qual é a probabilidade de que um cliente precise menos de 10 minutos?

18 Cálculo da Distribuição do Tempo de Atendimento Probabilidade do tempo de atendimento: 3(0,167) ( 0,167) = 1 e = 1 0,61= 0, 39 Pt Ponto de Decisão: A probabilidade do atendimento ocorrer em menos de dez minutos é baixa. Distribuição do Tempo de Atendimento Exercícios: 1. No Serviço de Atendimento ao Aluno, o funcinário atende em média de 12 alunos por dia. Considerando um dia de 6 horas, determinar qual a probabilidade do atendimento : a) ocorrer em menos de 25 minutos? Resposta: 0,5654 ou 56,54% b) ocorrer em menos de 20 minutos Resposta: 0,4866 ou 48,66% c) ocorrer em menos de 15 minutos? Resposta: 0,3935 ou 39,35%

19 Utilização de Modelos de Fila de Espera para Análise de Operações Extensão da Fila (Quantidade de Clientes) Número de Clientes no sistema Tempo de Espera na Fila Tempo Total no Sistema Utilização das Instalações de Serviço Modelo de Canal Único M/M/1 Chegada Fila Posto de Serviço Saída depois do serviço

20 Modelo de Canal Único Hipóteses: A população de clientes é infinita e todos os clientes são pacientes O clientes chegam de acordo com uma distribuição de Poisson, apresentando uma média de chegada λ. A distribuição de atendimento é exponencial com uma taxa de serviço µ. Os cliente são atendidos em função de sua chegada FCFS. O comprimento da fila de espera é ilimitado. Modelo de Canal Único M/M/1

21 Modelo de Canal Único M/M/1 Modelo de Canal Único M/M/1

22 Exemplo A gerente de uma mercearia na afastada comunidade de Sunnyville está interessada em oferecer bom atendimento a todos os idosos. Em média 30 idosos por hora chegam ao caixa, de acordo com uma distribuição de Poisson, e são atendidos a uma taxa média de 35 clientes por hora, com tempos exponenciais. Encontre as seguintes características operacionais: Exemplo a. Probabilidade de zero cliente no sistema; b. Utilização média do funcionário do caixa; c. Número médio de clientes no sistema; d. Número médio de clientes na fila; e. Tempo médio gasto no sistema; f. Tempo médio de espera na fila.

23 Respostas do Exemplo a. 0,1429 ou 14,29% b. 0,8571 ou 85,71% c. 6 clientes d. 5,14 e. 0,2 h ou 12 min f. 0,1714 h ou 10,29 min Exercício A gerente de Sunnyville do exemplo anterior quer responder às seguintes perguntas: Que taxa de serviço seria necessária para que os clientes gastem em média apenas oito minutos do sistema? Para essa taxa de atendimento, qual é a probabilidade de haver mais de quatro clientes no sistema? Qual a taxa de atendimento necessária para que se tenha apenas uma chance de 10 por cento de haver mais de quatro clientes no sistema?

24 Respostas a. 37,5 cliente por hora; b. 0,328 ou 33%; c. µ = 47,62 clientes / h. Bibliografia KRAJEWSKI, L.J.; RITZMAN, L.P; MALHOTRA, M.K. Administração da Produção e Operações. Pearson Prentice Hall, São Paulo, 8ª Ed