Trabalho Computacional

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1 Universidade Federal do Espírito Santo Departamento de Informática Profª Claudia Boeres Teoria dos Grafos /2 Trabalho Computacional 1. Objetivo Estudo e implementação de algoritmos para resolução de problemas de grafos. 2. Trabalho em grupo 3. Tarefas Esse trabalho deve ser elaborado por um grupo de 2 pessoas, cuja composição deve ser informada previamente. No item 4 são apresentados doze problemas que podem ser modelados como problemas em grafos. Cada grupo deve escolher um problema para implementar e realizar testes computacionais. Detalhes de implementação e a apresentação dos resultados devem ser organizados na forma de slides e apresentados como um seminário. Os slides devem conter os seguintes itens: a) a representação computacional escolhida para o grafo do problema resolvido e das demais estruturas de dados, se utilizadas. b) indicar qual dos algoritmos de grafos apresentados em sala foi utilizado na resolução. c) pseudo-código do algoritmo implementado, destacando seus detalhes de implementação. d) mostrar quais conjuntos de teste foram elaborados. e) mostrar a execução do algoritmo para dois conjuntos de teste escolhidos dentre todos os elaborados. f) Conclusões 4. Descrição dos problemas

2 Problema 1: Reconexão de computadores em rede Considere o problema de selecionar um conjunto de T cabos de alta velocidade para conexão de N computadores, de um universo de M cabos de alta velocidade. Um cabo de alta velocidade pertencente a M conecta um par de computadores e possui um custo mensal de utilização. O objetivo do problema é minimizar o custo mensal total de conectar N computadores em rede, sabendo-se que esse custo é dado pela soma dos custos de cada cabo incluído no conjunto T. Considere agora que os N computadores já estão conectados por T M, mas que K novos cabos de alta velocidade tornaram-se recentemente disponíveis. Faça um programa que compute um novo conjunto T' de cabos de alta velocidade para reconectar os N computadores, de maneira que o custo total de T' seja menor ou igual ao obtido pelo conjunto T, sabendo-se que nesta nova configuração existem M + K cabos de alta velocidade disponíveis para a conexão dos N computadores. Use o algoritmo de Prim na resolução desse problema. A entrada de dados consiste em um arquivo composto de vários conjuntos de teste, dispostos em sequência no arquivo e separados por uma linha em branco. A organização das linhas de cada conjunto de teste é dada por: A primeira linha do conjunto de teste contém o número N de computadores a serem conectados, com 1 N ; A segunda linha do conjunto de teste contém o número M de cabos de conexão, com N-1 M N(N-1)/2; As próximas M linhas do conjunto de teste descrevem cada cabo de conexão pertencente a M. Cada uma dessas linhas devem conter os números identificadores dos computadores que são ligados por aquele cabo, além do seu custo de utilização. Os N computadores são rotulados de 1 a N e os custos de utilização dos cabos são valores inteiros. A linha seguinte deve conter o número K de cabos de conexão adicionais considerados, com 1 K min {10, N(N-1)/2 M}; K linhas, cada uma contendo informações de cada novo cabo de conexão, ou seja, os números identificadores dos computadores que são ligados por aquele cabo, além do seu custo de utilização. O custo de utilização é definido como um valor inteiro. de Dados O arquivo de saída deve conter cada linha (separada por linhas em branco) referente à resposta do seu programa para cada conjunto de teste. Assim, cada linha possui duas informações: a primeira é o custo de conexão dos N computadores (custo total do conjunto T) quando foram considerados M cabos de conexão; e a segunda é o custo total de T', quando foram considerados M+K cabos de conexão.

3 Se o custo de T' for igual ao de T, então o valor gerado desse custo deve aparecer duas vezes na linha Problema 2: Reconexão de computadores em rede Considere o problema de selecionar um conjunto de T cabos de alta velocidade para conexão de N computadores, de um universo de M cabos de alta velocidade. Um cabo de alta velocidade pertencente a M conecta um par de computadores e possui um custo mensal de utilização. O objetivo do problema é minimizar o custo mensal total de conectar N computadores em rede, sabendo-se que esse custo é dado pela soma dos custos de cada cabo incluído no conjunto T. Considere agora que os N computadores já estão conectados por T M, mas que K novos cabos de alta velocidade tornaram-se recentemente disponíveis. Faça um programa que compute um novo conjunto T' de cabos de alta velocidade para reconectar os N computadores, de maneira que o custo total de T' seja menor ou igual ao obtido pelo conjunto T, sabendo-se que nesta nova configuração existem M + K cabos de alta velocidade disponíveis para a conexão dos N computadores. Use o algoritmo de Kruskal na resolução desse problema. A entrada de dados consiste em um arquivo composto de vários conjuntos de teste, dispostos em sequencia no arquivo e separados por uma linha em branco. A organização das linhas de cada conjunto

4 de teste é dada por: A primeira linha do conjunto de teste contém o número N de computadores a serem conectados, com 1 N ; A segunda linha do conjunto de teste contém o número M de cabos de conexão, com N-1 M N(N-1)/2; As próximas M linhas do conjunto de teste descrevem cada cabo de conexão pertencente a M. Cada uma dessas linhas devem conter os números identificadores dos computadores que são ligados por aquele cabo, além do seu custo de utilização. Os N computadores são rotulados de 1 a N e os custos de utilização dos cabos são valores inteiros. A linha seguinte deve conter o número K de cabos de conexão adicionais considerados, com 1 K min {10, N(N-1)/2 M}; K linhas, cada uma contendo informações de cada novo cabo de conexão, ou seja, os números identificadores dos computadores que são ligados por aquele cabo, além do seu custo de utilização. O custo de utilização é definido como um valor inteiro. de Dados O arquivo de saída deve conter cada linha (separada por linhas em branco) referente à resposta do seu programa para cada conjunto de teste. Assim, cada linha possui duas informações: a primeira é o custo de conexão dos N computadores (custo total do conjunto T) quando foram considerados M cabos de conexão; e a segunda é o custo total de T', quando foram considerados M+K cabos de conexão. Se o custo de T' for igual ao de T, então o valor gerado desse custo deve aparecer duas vezes na linha

5 Problema 3: Enviando s Considere uma rede composta por n servidores SMTP ligados por m cabos de rede. Cada um dos m cabos conecta dois computadores e tem uma certa latência medida em milissegundos necessária para enviar uma mensagem de . Faça um programa que calcule o menor tempo necessário para enviar uma mensagem do servidor S ao servidor T por uma sequência de cabos. Assume-se que não há atrasos incorridos em qualquer um dos servidores. Use o algoritmo de Dijkstra na resolução desse problema. A entrada de dados consiste em um arquivo composto de vários conjuntos de teste, dispostos em sequencia no arquivo e separados por uma linha em branco. A organização das linhas de cada conjunto de teste é dada por: A primeira linha do conjunto de teste contém o número n de computadores a serem conectados, com 2 n 20000; o número m de cabos da rede (0 m 50000); e os rótulos identificadores de S (0 S < n) e T (0 T < n), S T; As próximas m linhas do conjunto de teste descrevem informações de cada cabo de rede. Cada uma dessas linhas devem conter os números identificadores dos servidores conectados por um cabo bidirecional (com rótulos identificadores no intervalo [0, n-1]), além do valor da latência w, ao longo do cabo (0 w 10000). de Dados O arquivo de saída deve conter cada linha (separada por linhas em branco) referente à resposta do seu programa para cada conjunto de teste. Assim, cada linha deve possuir a informação do número de milissegundos requeridos para enviar uma mensagem de S a T. Se há um caminho entre S e T, a mensagem emitida pelo programa deve ser Envio de mensagens de <S> a <T>: <tempo em ms>.. Caso contrário, a mensagem deve ser: Envio de mensagens de <S> a <T>: não há caminho entre <S> e <T>..

6 Envio de mensagens de 2 a 0: 150. Envio de mensagens de 0 a 2: 4. Envio de mensagens de 0 a 5: não há caminho entre 0 e Problema 4: Navegando nas páginas da web Recentemente foi relatado que, em média, apenas 19 cliques são necessários para sair de uma página e migrar para qualquer outra na World Wide Web. Isto é, se representamos as páginas na web como nós em um grafo, então o comprimento médio dos caminhos entre pares arbitrários de nós no grafo é 19. Dado um grafo orientado em que todos os nós são atingíveis a partir de qualquer ponto de partida, faça um programa que encontre o comprimento médio dos caminhos mais curtos entre todos os pares arbitrários de nós. Por exemplo, considere um grafo orientado com quatro vértices com as seguintes listas de sucessores: Γ + (1) = {2,3}, Γ + (2) = {4}, Γ + (3) = {1} e Γ + (4) = {3}. O grafo é orientado, pois se existe um link de uma página A para uma página B, não necessariamente existe um link de B para A. Considerando os custos dos arcos unitários, podemos observar facilmente que os comprimentos dos menores caminhos do vértice 1 para os vértices 2, 3 e 4 são respectivamente 1, 1 e 2. Do nó 2 para os nós 1, 3 e 4, os comprimentos dos menores caminhos são 3, 2 e 1, e desta forma podemos obter os comprimentos dos menores caminhos a partir de todos os nós para todos os outros nós do grafo. Se considerarmos a soma dos comprimentos dos menores caminhos de cada vértice para todos os outros e dividirmos para o número total de pares de vértices, obteremos a média do número de clicks para navegar de uma página a outra na web. Neste exemplo, para um digrafo de 4 nós e essa topologia, teríamos a média de 22/12 = 1.83 clicks. Use o algoritmo de Floyd-Warshall na resolução desse problema.

7 A entrada de dados consiste em um arquivo composto de vários conjuntos de teste, cada um representado em uma única linha, dispostos em linhas em sequencia no arquivo. A organização das informações de cada conjunto de teste em uma linha é dada por: A linha é composta por um número arbitrário de pares de inteiros, a e b, cada par representando um link entre uma página a e uma página b. Os rótulos identificadores das páginas são valores inteiros pertencentes ao intervalo [1, 100]. A linha representativa do conjunto de teste deve ser terminada com um par de zeros, que não devem ser tratados como identificadores de página. Finalizando o arquivo, um par adicional de zeros deve ser colocado em sua última linha, representando um conjunto de teste que não é para ser processado. Considere que o digrafo de representação das páginas na web é um digrafo simples e f-conexo. de Dados O arquivo de saída deve conter cada linha (separada por linhas em branco) referente à resposta do seu programa para cada conjunto de teste. Assim, cada linha deve possuir a informação do comprimento médio dos caminhos mais curtos entre cada par de nós do grafo, imprimindo a seguinte mensagem: comprimento médio dos caminhos entre as páginas: <valor do comprimento médio> clicks Comprimento médio dos caminhos mínimos entre as páginas = 1.83 clicks. Comprimento médio dos caminhos mínimos entre as páginas = 1.75 clicks. Problema 5: Largura de Banda de Internet Em uma rede de máquinas conectadas à Internet, altamente interligadas entre si, podem existir inúmeros caminhos para a transmissão de mensagens entre um determinado par de máquinas. A capacidade total de transporte de mensagem (largura de banda) entre dois nós dados é a quantidade máxima de dados por unidade de tempo que pode ser transmitida a partir de um nó para outro. Usando uma técnica chamada de comutação de pacotes, estes dados podem ser transmitidos ao longo de vários caminhos, ao mesmo tempo. Por exemplo, a figura a seguir mostra uma rede com quatro máquinas (representadas por círculos), com um total de cinco conexões entre elas. Cada conexão é rotulada por seu valor de

8 largura de banda. No nosso exemplo, a largura de banda entre o nó 1 e nó 4 é 25, que pode ser pensada como a soma das larguras de banda 10 ao longo do caminho 1-2-4, 10 ao longo do caminho 1-3-4, e 5 ao longo da caminho Nenhuma outra combinação de caminhos entre os nós 1 e 4 fornece uma largura de banda maior. Escreva um programa que calcula a largura de banda entre dois nós quaisquer de uma rede, fornecidos como entrada, dadas as larguras de banda associadas a todas as conexões existentes na rede. Neste problema, assuma que a largura de banda de uma conexão é sempre a mesma em ambas as direções (o que nem sempre é necessariamente verdade no mundo real). Use o algoritmo de Ford-Fulkerson na resolução desse problema. O arquivo de entrada contém descrições de várias redes. Cada descrição inicia-se com uma linha contendo um único número inteiro n, que é o número de nós da rede. Os nós são numerados de 1 a n. A próxima linha contém três números s, t, c, que representam respectivamente o nó fonte, o nó destino e o número total de conexões na rede. As c linhas seguintes descrevem as conexões da rede em ordem lexográfica. Cada uma destas linhas contém três números inteiros: os dois primeiros indicam os rótulos dos nós ligados por uma conexão e o terceiro número, o valor da sua largura de banda. A largura de banda é um número não-negativo não maior do que Pode haver no máximo uma ligação entre um par de nós e um nó não pode ser ligado a ele próprio. Todas as ligações são bidirecionais (podendo ser representadas sem orientação), ou seja, os dados podem ser transmitidos em ambos os sentidos ao longo de uma conexão, mas a soma da quantidade de dados transmitidos em ambos os sentidos, deve ser menor do que a largura de banda. A linha que contém o número 0 segue a última descrição da rede, e termina a entrada.

9 de Dados Para a descrição de cada rede, primeiro imprima o número da rede. Em seguida, imprima a largura de banda total entre o nó de origem s e o nó destino t, seguindo o formato da saída da amostra. Imprima uma linha em branco após cada caso de teste Rede 1 A largura de banda é 25. Problema 6: Vulnerabilidade em redes Uma companhia telefônica está construindo uma nova rede de cabos de telefonia. A companhia tem por objetivo conectar várias regiões representadas por suas centrais telefônicas, que estão identificadas com rótulos inteiros numerados de 1 a N. Duas centrais distintas não são rotuladas com o mesmo número. Os cabos, que ligam centrais telefônicas distintas, são representados por ligações bidirecionais. O grafo que representa a rede telefônica é conexo, ou seja, existe pelo menos um caminho entre cada par de centrais telefônicas. De vez em quando é possível que a fonte de energia de uma central falhe e esta pare de funcionar. Os funcionários da companhia perceberam que neste caso, além da própria central ficar inoperante, essa falha pode interromper a conexão entre outras centrais telefônicas instaladas em outros lugares. Nestes casos, chamamos o lugar com a central telefônica inoperante de ponto crítico. Faça um programa que identifique na rede telefônica, o número de pontos críticos. Use o algoritmo de busca em profundidade na resolução desse problema. O arquivo de entrada é composta por vários blocos de linhas referente a cada conjunto de teste. Cada bloco descreve uma rede. Na primeira linha de cada bloco há o número de centrais telefônicas N < 100. As próximas N, no máximo, linhas do arquivo contém o identificador de uma central telefônica, seguido dos identificadores de outras centrais as quais ela está ligada diretamente na rede. Cada conexão direta entre duas centrais na rede está descrita em pelo menos uma das N linhas. Os

10 identificadores em cada linha são separados por espaços em branco. Cada bloco de descrição de uma rede termina com uma linha contendo apenas o valor 0. O último bloco contém uma linha com N = 0. de Dados O arquivo de saída contém, para cada conjunto de teste (com exceção do último) do arquivo de entrada, o número de pontos críticos da rede Problema 7: Calculando o diâmetro de um grafo O diâmetro de um grafo é o maior valor de excentricidade dos seus vértices. Os vértices periféricos do grafo são todos aqueles que possuem excentricidade igual ao diâmetro do grafo. Faça um programa que, dado um grafo, calcule o diâmetro desse grafo, além dos seus vértices periféricos. Use o algoritmo de Floyd-Warshall na resolução desse problema. O arquivo de entrada é composto por vários blocos de linhas referente a cada conjunto de teste, separados por uma linha em branco. Cada bloco descreve um grafo de n vértices e m arestas. Na primeira linha de cada bloco, os valores de n e m devem ser indicados, com n < 100. As próximas m linhas devem conter, cada uma, os rótulos identificadores das arestas do grafo, que devem ser separados por espaços em branco. A última linha do arquivo deve conter apenas a seguinte informação: 0 0. de Dados O arquivo de saída contém, para cada conjunto de teste do arquivo de entrada, o valor do diâmetro do grafo, seguido dos rótulos identificadores dos seus vértices periféricos (todos separados por espaços em branco).

11 Problema 8: Calculando o raio e o centro de uma árvore O raio de um grafo é o menor valor de excentricidade dos seus vértices. O centro do grafo é formado por todos os seus vértices com excentricidade igual ao raio. Faça um programa que, dada uma árvore (assumir que a entrada é sempre relativa a árvores), calcule o raio e o centro dessa árvore. Use o algoritmo de busca em largura na resolução desse problema. O arquivo de entrada é composto por vários blocos de linhas referente a cada conjunto de teste. Cada bloco descreve uma árvore de n vértices e n-1 arestas. Na primeira linha de cada bloco, o valor de n deve ser indicado, com n < 100. As próximas n-1 linhas devem conter, cada uma, os rótulos identificadores das arestas da árvore, que devem ser separados por espaços em branco. A última linha do arquivo deve conter apenas a seguinte informação: 0 0. de Dados O arquivo de saída contém, para cada conjunto de teste do arquivo de entrada, o valor do raio da árvore, seguido dos rótulos identificadores dos vértices do centro da árvore (todos separados por espaços em branco)

12 Problema 9: Caminhos máximos É um fato conhecido que algumas pessoas tem sempre a tendência de chegarem atrasadas em seus compromissos... Para muitas delas, isso ocorre devido a tendência de escolher os maiores caminhos, ao invés dos menores, de um ponto a outro. César possui esse tipo de característica. Mas ele possui um motivo: por ser muito popular, quando ele sai para visitar os amigos, ele acaba decidindo escolher o maior caminho possível da casa dele até o último amigo que ele pretende visitar, para, assim poder visitar todos. Felipe, que é amigo de César, entendeu a natureza do problema. Por várias vezes ele já ficou por muito tempo esperando por César. Mas ele não quer deixar de receber a sua visita, mas também não quer ficar preso em casa o esperando. Por isso, ele quer encontrar uma maneira de calcular o tempo gasto por César para percorrer esse caminho, e desta forma, poder fazer algo de útil enquanto espera por César em sua casa. Para isso, ele quer saber o comprimento do maior caminho percorrido por César a partir da casa dele. Ajude Felipe desenvolvendo um programa que calcule o comprimento do maior caminho que pode ser calculado em um dado digrafo a partir de um vértice de partida (que representa a residência do César). Assuma que o digrafo é simples e sem ciclos. Use o algoritmo de Dijkstra na resolução desse problema. O arquivo de entrada é composto por vários blocos de linhas referente a cada conjunto de teste. Na primeira linha de cada bloco, o valor de n (ordem do grafo) deve ser indicado, com 1 < n 100, representando o número de lugares que César tem que visitar. A próxima linha deve conter o valor de s, 1 s 100, que representa o ponto de partida do percurso traçado por César. As próximas m linhas devem conter, cada uma, os rótulos identificadores dos arcos do digrafo, um par por linha, que devem ser separados por espaços em branco. O par p q indica que César pode visitar q depois de visitar p. A linha após cada conjunto de teste deve conter apenas a seguinte informação: 0 0. de Dados O arquivo de saída contém, para cada conjunto de teste do arquivo de entrada, o comprimento do maior caminho que começa em um ponto inicial dado. Imprima na mesma linha o rótulo do vértice inicial e o rótulo do vértice final deste caminho. Se existem vários caminhos de maior tamanho com o mesmo comprimento, imprima o rótulo final de menor valor. Imprima uma linha para cada caso de teste.

13 Problema 10: Aeroportos O governo de um determinado país em desenvolvimento quer melhorar o transporte em uma de suas áreas mais inacessíveis, na tentativa de atrair investimentos. Pesquisas mostraram que a região é composta de vários locais importantes que deveriam ter acesso facilitado por um aeroporto. Uma solução trivial, porém cara, é construir um aeroporto em cada uma dessas regiões. No entanto pode ser mais barato construir um número menor de aeroportos e construir estradas que os liguem a todos os locais de interesse. Considere que as estradas são bidirecionais. Além disso, pode haver mais do que um caminho possível entre duas regiões distintas. Considera-se que uma região tem acesso a um aeroporto se a própria região contém o aeroporto ou se é possível viajar por estrada para alguma outra região que possua um aeroporto. São dados neste problema, o custo de construção de um aeroporto e uma lista de estradas possíveis entre pares de regiões e seus respectivos custos. Faça um programa que ajude ao governo desse país a decidir pela maneira mais barata de assegurar que todas as regiões tem acesso a um aeroporto. Use um algoritmo de árvore geradora mínima na resolução desse problema. O arquivo de entrada é composto por vários blocos de linhas referente a cada conjunto de teste, separados por uma linha em branco. A primeira linha de cada bloco deve conter os números N (0 < N 10000) de regiões, M (0 M )de possíveis estradas

14 que podem ser construídas e A (0 A 10000), que representa o custo de construir um aeroporto. Todos os valores da linha devem ser separados por espaços em branco. As próximas M linhas devem conter, cada uma, também três valores x, y e c (1 x, y N, 0 < c 10000), separadas por espaços em branco. Os valores x e y representam duas regiões distintas e c, o custo de construir uma estrada entre x e y. de Dados O arquivo de saída contém, para cada conjunto de teste do arquivo de entrada, uma linha, com o valor do custo total mínimo de construir estradas e aeroportos de maneira que as regiões tenham acesso pelo menos a um aeroporto e o valor seguinte, que representa o número de aeroportos efetivamente construídos. Se existem várias respostas com o mesmo custo, escolha aquela que maximiza o número de aeroportos Problema 11: Dominós O jogo de dominó é muito divertido. As crianças se divertem posicionando suas peças lado a lado, formando longas filas. Quando um peça do dominó cai, derruba as outras que estão em sequencia, destruindo toda a sequência de peças. No entanto, algumas vezes, uma peça de dominó, ao cair, só derruba a próxima peça e mais nenhuma. Neste caso, temos que ajudar, empurrando com a mão a próxima peça para derrubá-la e obter o efeito de ver os dominós caindo outra vez. Faça um programa que determine o número mínimo de dominós que temos que ajudar a cair com a mão, para produzir o efeito de ver todos os dominós caindo em sequência. Use o algoritmo de busca em profundidade na resolução desse problema. O arquivo de entrada é composto por vários blocos de linhas referente a cada conjunto de teste. A primeira linha de cada bloco deve conter dois inteiros n e m (0 < n,m ). O número n representa o número de peças de dominó e o valor m é o número de

15 linhas para seguir. As peças de dominó estão numeradas de 1 a n. Cada uma das próximas linhas do conjunto de teste possui dois inteiros x e y, indicando que se o dominó de rótulo x cair, então o dominó de rótulo y deve cair também. Desta forma, o grafo que representa como os dominós estão posicionados é direcionado. de Dados O arquivo de saída contém, para cada conjunto de teste do arquivo de entrada, uma linha, com um valor inteiro indicando o número mínimo de dominós que devem ser derrubados manualmente a fim de fazer todos os dominós caírem Problema 12: Links críticos Em uma rede de computadores, um link l, que conecta dois servidores, é considerado crítico se existem pelo menos dois servidores A e B tal que todos os caminhos que conectam A a B na rede, passam por l. Remover esse link gera duas subredes tais que quaisquer dois servidores de uma subrede estão interconectadas. Use o algoritmo de busca em profundidade na resolução desse problema. É considerado que: os links são bidirecionais; o grafo da rede é simples; dois servidores estão interconectados se estão consectados diretamente ou se estão conectados com o mesmo servidor; o grafo pode ser desconexo. Escreva um programa que ache os links críticos de uma rede. O arquivo de entrada é composta por vários blocos de linhas referente a cada conjunto de teste. Cada bloco descreve uma rede. Na primeira linha de cada bloco há o número n de servidores da rede, 0 < n < 100. As próximas n linhas do arquivo, uma para cada servidor k, 0 k n - 1, contém o valor do rótulo k, seguido do número de conexões diretas de k (entre parentesis) e dos rótulos de todos os servidores que estão ligados diretamente com k. Os valores em cada linha são separados por espaços em branco. Cada bloco de descrição de uma rede é separado por uma linha em branco.

16 de Dados O arquivo de saída contém, para cada conjunto de teste do arquivo de entrada, uma linha, com o número de links críticos, seguido dos pares de rótulos identificadores de cada link crítico. As linhas do arquivo de saída são separadas por linhas em branco. 8 0 (1) 1 1 (3) (2) (3) (1) 3 5 (0) 6 (1) 7 7 (1) Duração do Seminário A apresentação do seminário não deve ultrapassar 25 minutos. 6. Instâncias de teste Os algoritmos devem ser executados para pelo menos 5 redes de entrada (a primeira delas deve ser referente aos exemplos dados para cada problema). As outras 4 redes podem ser geradas com valores distintos de n e m, mas respeitando o máximo de n = 150 nós. Todas as redes a serem testadas devem respeitar os formatos de entrada de dados sugeridos no item 4, de acordo com cada problema. 7. Linguagem de Programação a escolha da linguagem de programação é livre. 8. Data e procedimento de entrega do trabalho Os códigos-fonte dos algoritmos, os arquivos de entrada, assim como os slides da apresentação devem ser entregues no dia 10/12/2014, até 12 horas, para o boeres@inf.ufes.br. Os seminários ocorrerão nos dias 10/12/2014 (quarta-feira) e 12/12/2014 (sexta-feira).