Introdução a Teoria das Filas

Transcrição

1 DISC. : PESQUISA OPERACIONAL II Introdução a Teoria das Filas Prof. Mestre José Eduardo Rossilho de Figueiredo

2 Introdução a Teoria das Filas Introdução As Filas de todo dia. Como se forma uma Fila. Administrando Filas de Espera. Os Custos das Filas de Espera. Configuração alternativas de Filas de Espera. Estrutura Básica de uma Fila de Espera. Um Modelo de Fila Simples. Características Operacionais de uma Fila. Estudo do Modelo de Canal Único.

3 INTRODUÇÃO As filas de todo dia. Exemplos de filas: Supermercado, Bancos, Cinema, Teatro, etc. Pedágio, Serviços, etc. Produtos, peças, etc (Processo Industrial) A palavra fila será aqui usada para designar o ato de espera para atendimento de cliente, de postos de atendimentos, de serviço, no sentido bem amplo. A teoria das filas é um corpo de conhecimentos matemáticos, aplicados ao fenômeno das filas 3

4 INTRODUÇÃO Como se forma uma fila? Simplesmente porque a capacidade de atendimento é insuficiente? (As vezes, na teoria, isto é bastante. Mas a própria dinâmica do processo leva a formação das filas) 4

5 INTRODUÇÃO Como se forma uma fila? Ex 1. : Secretaria da FAM. (Assumir que exista um único guichê.) Tempo de atendimento: 5 minutos em média Tempo de chegada: 8 minutos em média Resolução O tempo do guichê estar ocupado está na fração de 5/8 do tempo. (8-5) = 3 minutos de ociosidade a cada 8 minutos. Sendo assim: O guichê estará ocupado em 62,5% do tempo. O guichê estará ocioso em 37,5 % do tempo. A formação da fila está no calculo da média, tanto do5 atendimento como na chegada do aluno.

6 INTRODUÇÃO Como se forma uma fila? A fila não se forma tão somente por um problema de capacidade de atendimento, mas também devido à variabilidade tanto no intervalo entre chegada de clientes como no tempo de atendimento desses clientes. 6

7 INTRODUÇÃO Como se forma uma fila. O que acontece se o cliente chegarem em intervalos fixos de tempo e forem atendidos em intervalo de tempo também fixo, consideração: Taxa de Chegada > Taxa de Atendimento Taxa de Chegada = Taxa de Atendimento Taxa de Chegada < Taxa de Atendimento 7

8 INTRODUÇÃO Como se forma uma fila. Ex 2. Mesmo caso da Secretaria da FAM, agora com tempos fixos mas quando liberado o guichê, já existia 5 alunos aguardando. Tempo (a) Alunos atendidos. (acumulado) (b) Alunos que chegam. (acumulado) Alunos remanescente na fila (5+b-a)

9 Tempo (a) Alunos atendidos. (acumulado) (b) Alunos que chegam. (acumulado) Alunos remanescente na fila (5+b-a)

10 ADMINISTRANDO FILAS DE ESPERA Dez Proposições sobre a Psicologia das Filas de Espera 1. O tempo desocupado parece mais longo 2. A espera pré-processo/pós-processo parece maior que a no processo 3. A ansiedade faz a espera parecer mais longa 4. A espera incerta é mais longa do que a conhecida, finita 5. A espera não explicada parece mais longa 6. A espera injusta é mais longa do que a eqüitativa 7. As pessoas esperarão mais por serviços mais valiosos 8. A espera sozinho parece mais longa do que a em grupos 9. A espera fisicamente incômoda parece mais longa 10.A espera parece mais longa para usuários recentes ou ocasionais 10

11 OS CUSTOS DA FILA DE ESPERA Os custos de atender ou não atender: um balanço Questionamentos gerenciais: 1. As áreas destinadas às filas são adequadas? 2. Será conveniente introduzir certas prioridades para certos tipos de clientes? 3. Quantos postos de atendimento devem ser criados? 4. Vale a pena empreender esforços par reduzir o tempo de atendimento? 11

12 OS CUSTOS DA FILA DE ESPERA O melhor atendimento leva quase sempre a custos maiores, que surgem por causa de treinamento melhor para as pessoas, pelo uso maior da tecnologia da informação, pela multiplicação de postos de trabalho ou ainda pela compra de máquinas e equipamentos mais sofisticados e,. Eventualmente, de melhor qualidade. Vale a pena incorrer nestes custo? (talvez sim, se estiver ocorrendo uma grande perda de clientes por causa do não-atendimento e da presença de fila) 12

13 OS CUSTOS DA FILA DE ESPERA Custo da Fila são aqueles associados a existência da fila: Receita direta perdida: Clientes que vão embora ou a incapacidade de atender. Receita indireta perdida: desgaste da boa imagem. 13

14 CONFIGURAÇÕES ALTERNATIVAS DE FILAS Fila única, funcionário único, única etapa Fila única, funcionários únicos, etapas seqüenciais Filas paralelas para múltiplos funcionários Filas específicas para funcionários específicos Fila única para múltiplos funcionários ( cobra ) Apanhe um número (funcionários únicos ou múltiplos) 14

15 ESTRUTURA DE UMA FILA DE ESPERA População Saída Fila de espera Serviço (um ou mais postos de atendimento) Sistema 15

16 ESTRUTURA DE UMA FILA DE ESPERA Fonte ou população, que gera os clientes que vão chegar ao sistema. Fila, constituída pelos clientes à espera de ser atendidos (não inclui o(s) cliente(s) em atendimento). Serviço ou atendimento, que pode ser constituído por um ou mais postos de atendimento. Fila + Serviço = Sistema Número de clientes no sistema (em cada instante) = estado do sistema 16 Sistema

17 MEDIDAS DE DESEMPENHO Nº médio de clientes na fila; Nº máximo de clientes na fila; Tempo médio de espera na fila; Tempo máximo de espera na fila; Taxa de ocupação do serviço (ou de cada serviço) Simuladores 17

18 FONTE OU POPULAÇÃO Dimensão da população: a) Finita ou b) infinita Dimensão da chegada: a) Simples ou b) em grupo Controle da chegada: a) Controlável ou b) incontrolável Distribuição da chegada: a) Constante ou b) aleatória Taxa de chegada: a) Dependente do estado do sistema ou b) independente Atitude dos clientes: a) Paciente ou b) impaciente 18

19 DISCIPLINA DA FILA Número de filas: a) Simples ou b) múltipla Comprimento: a) Finito ou b) infinito Disciplina: a) FIFO ou b) prioridades (reservas, idade, emergência ) c) aleatória 19

20 GRANDEZAS E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE NA CHEGADA E NO ATENDIMENTO 20

21 PARA UM SISTEMA DE FILAS DE ESPERA, NO ESTADO ESTACIONÁRIO Os modelos necessitam de informações para quantificar o desempenho do sistema. As medidas de desempenho de um sistema de filas de espera caracterizam o seu funcionamento, quer do ponto de vista do cliente, quer do ponto de vista do serviço. Para um sistema de filas de espera, no estado estacionário, as medidas de desempenho de maior interesse são: 21

22 MEDIDAS DE DESEMPENHO λ taxa média de chegada; (Lambida) μ taxa média de atendimento; (Mi) ρ utilização do sistema; (Rô) L número médio de clientes no sistema; L q número médio de clientes na fila; W tempo médio que um cliente permanece no sistema; W q tempo médio que um cliente espera na fila; 22

23 MEDIDAS DE DESEMPENHO probabilidade de haver n clientes no sistema; P n P [W > t] probabilidade de um cliente permanecer mais do que t unidades de tempo no sistema; P [W q > t] probabilidade de um cliente esperar mais do que t unidades de tempo na fila. 23

24 MEDIDAS DE DESEMPENHO L = λ W (número médio de clientes no sistema) L q = λ W q (número médio de clientes na fila) W = W q + 1 / μ (tempo médio que um cliente permanece no sistema) Ρ = λ / μ (probabilidade de haver n clientes no sistema) L = L q + λ / μ (número médio de clientes no sistema) 24

25 MEDIDAS DE DESEMPENHO Condição de equilíbrio: λ / µ = ρ < 1 Taxa de ocupação ρ = λ / µ; Taxa de desocupação = 1 ρ L = λ / (µ - λ) = ρ / (1 - ρ) = L q + (λ / µ) = L q + ρ L q = λ 2 / µ (µ - λ) W = 1 / (µ - λ) = L / λ = W q + (1 / µ) W q = λ / µ (µ - λ) = L q / λ P 0 = 1 - ρ (taxa de desocupação) P n = (ρ) n P 0, = (λ / µ) n P 0... para n = 1, 2, 3,. P {n=k} = 1 - ρ k + 1 (não tenha mais que k clientes) P {W > t} = e -(µ - λ) t = e -µ (1 - ρ) t, t = 0 P {W q > t} = ρ e -(µ - λ) t = ρ e -µ (1 - ρ) t, t = 0 P {W q = 0} = P 0 25

26 ESTUDO DO MODELO DE CANAL ÚNICO Hipóteses: Os clientes chegam de uma população infinita; A disciplina da fila é a Peps (primeiro a entrar, primeiro a sair) ou seja, o atendimento é feito pela ordem de chegada; Não há abandono da fila, nem antes nem depois que o cliente se junta a ela; A taxa média de atendimento é maior que a taxa média de chegada, ou seja, μ > λ. 26

27 EXERCÍCIO. Trampolândia, a capital da Conchinchina, mantém um serviço de ponte aérea com algumas das maiores cidade do pais. O principal aeroporto da cidade é o Pouso Seguro, que concentra todo o serviço de ponte aérea. Isto faz com que o tráfego aéreo é função da hora do dia, mas o momento mais crítico está entre 17 e 18 horas dos dias úteis, exatamente durante o retorno das pessoas que deixaram a capital pela ponte aérea para trabalhar fora. Os aviões que chegam ficam em uma fila aguardando a vez de aterrissar. Eles ficam sobrevoando em grandes círculos nas proximidade do aeroporto, até que a torre de controle libere alguma pista para pouso. Para este horário (entre 17 e 18 horas), a taxa média de chegada de aviões é de uma a cada 3 minutos. A torre de controle, por sua vez, consegue aterrissar, em média, um avião por minuto. Supondo que tanto a taxa de chegada como a taxa de pouso dos aviões obedeçam à distribuição de Poisson, determinar: 27

28 EXERCÍCIO A. A taxa de aeroporto; utilização do sistema de aterrissagem do B. A probabilidade de que nenhum avião esteja pousando ou aguardando liberação da pista; C. A probabilidade de que haja apenas um avião aterrissando ou aguardando ordem para isso; D. A probabilidade de que não haja mais que três aviões sobrevoando as cercanias do aeroporto, aguardando instruções para pouso; E. O numero médio de aviões aguardando ordem de pouso; F. O numero médio de aviões pousando ou aguardando ordem de pouso; G. O tempo médio que um avião fica sobrevoando as cercanias do aeroporto, aguardando ordem para pousar; H. O tempo médio que um avião demora a aterrissar, incluindo o tempo de aterrissagem em si, mais o tempo que fica sobrevoando perto do aeroporto aguardando ordem de pousar. 28

29 RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS Pag. 24 A= 0,135 B= 0,27 C= 0,855 Pag. 28 A= 0,736 B= 0,487 C= 0,283 Pag. 36 A= 1/3 - ρ B= 2/3 - P 0 C= 2/9 - P n D= 80/81 E= 1/6 F= ½ G= 1/6 H= 1/2 29