Teoria de Filas Aula 15

Transcrição

1 Teoria de Filas Aula 15 Aula de hoje Correção Prova Aula Passada Prova Little, medidas de interesse em filas

2 Medidas de Desempenho em Filas K Utilização: fração de tempo que o servidor está ocupado Tempo de espera: quantidade de tempo que cada elemento espera na fila Vazão (Throughput): quantidade de elementos servidos pela fila por unidade de tempo Fração de descarte: fração de elementos descartados por falta de espaço na fila

3 Utilização N(t) evolução do tamanho da fila no tempo t Sistema ocioso Sistema ocupado Utilização: fração de tempo que sistema está ocupado U =

4 Calculando a Utilização Seja T um intervalo de tempo qualquer (grande) T E[X] T E[X] T E[X] T E[X] Número médio de pedidos que chegam no intervalo Tempo médio para servir cada pedido Tempo médio para servir todos os pedidos Fração de tempo servindo os pedidos Utilização

5 O que é? E[X] E[X] : taxa média de chegada : tempo médio de serviço E[X] : adimensional E[X] > 1 : chegada maior que serviço E[X] < 1 : chegada menor que serviço Fila irá crescer indefinidamente Fila sobre controle E[X] : utilização do sistema Fração de tempo que o sistema passa servindo pedidos

6 Tempo de Espera Como calcular o tempo de espera em uma fila? tempo decorrido desde o instante de chegada até o instante de saída IDÉIA: Decompor o tempo de espera em tempos menores Tempo para finalizar o pedido sendo atendido no instante de chegada Tempo para atender cada um dos pedidos da fila Tempo para atender o pedido que acabou de chegar

7 Variáveis Aleatórias de uma A Fila W N c : número de pedidos na fila quando nosso pedido chega (incluindo o que está sendo atendido) R : tempo residual (tempo para finalizar atendimento do pedido sendo atendido) X i N c : tempo necessário para atender o i-ésimo pedido da fila (i=1, 2,..., N c - 1) W : tempo de espera de um pedido (do instante de chegada até o instante de saída) X

8 Tempo de A W Espera W: tempo de espera do pedido que chegou N c pedidos no sistema N c X 1 em atendimento + N c 1 na fila Quanto vale W? W = R + X 1 + X X N c-1 + X tempo residual do elemento em atendimento tempo de serviço do i-ésimo elemento da fila tempo de serviço do elemento que acabou de chegar

9 Tempo Médio de Espera A W N c Aplicar valor esperado E[.] Tempo médio de espera: E[W] E[W] = E[R + X 1 + X X N c-1 + X] E[W] = E[R] + E[X ] E[X ]+ E[X] 1 N c-1 X E[W] = E[R] + E[N c ]E[X] X i são idênticamente distribuídas

10 Resultado de Little E[W] Caixa Preta E[N] : taxa média de chegada E[W] : tempo médio que cada pedido permanece dentro da caixa preta E[N] : número médio de pedidos dentro da caixa (depois de um tempo muito grande) Qual é a relação entre eles? E[N] = E[W] Vamos provar isto hoje!

11 Resultado de Little E[W] Caixa Preta E[N] Número médio dentro do sistema é igual ao produto da taxa média de chegada pelo tempo médio de permanência no sistema Intuitivo, mas poderoso (não depende de nenhuma distribuição) Exemplo: E[W] = 3.5 minutos =2 E[N] =? clientes por minuto

12 Resolvendo o Tempo Média de Espera Duas equações: E[W] = E[R] + E[N c ]E[X] E[N] = E[W] Suposição (I) : E[N] = E[N c ] Suposição (II) : E[R] = E[X] Substituindo nas equações acima, temos E[W] = E[X] + E[W] = E[X] 1 E[X] E[W]E[X] equação em função dos parâmetros da fila

13 Suposição I: E[N] = E[N c ] Duas variáveis (medidas) Número de elementos no sistema N em um instante de tempo qualquer N c no instante de uma chegada

14 Suposição I E[N] = E[N c ] Quando isto é verdade? PASTA Poisson Arrivals See Time Averages pas Quando o processo de chegada é Poisson E[N] = E[N c ]

15 E[R] = E[X] Suposição II Quando isto é verdade? Memoryless Distribuição não tem memória Quando o tempo de serviço é exponencial

16 Medidas de Desempenho Comportamento típico em Filas K Tempo de espera Vazão Tradeoff entre tempo de resposta e vazão

17 Aplicando a Lei de Little Cálculo do número médio de clientes no SISTEMA (fila + serviço): E[N] = λe[w] Cálculo do número médio de clientes na FILA E[N q ]=λe[w q ]