Modelagem e Análise Aula 9

Transcrição

1 Modelagem e Análise Aula 9 Aula passada Equações de fluxo Tempo contínuo Aula de hoje Parâmetros de uma fila Medidas de desempenho Cálculo do tempo de espera Resultado de Little

2 Parâmetros da Fila chegada na fila fila recurso saída da fila Processo de chegada (como os pedidos chegam ao recurso) Processo de serviço (como os pedidos são servidos) Capacidade de armazenamento da fila Número de recursos (estações de serviço) Política de atendimento (como escolher o próximo da fila)

3 Fila Processo de Chegada chegada na fila fila recurso saída da fila Como definir processo de chegada (demanda)? No banco, como pessoas chegam ao banco Na rede, como pacotes chegam ao roteador No disco, como pedidos de leitura chegam Abstração matemática!

4 Fila Processo de Chegada chegada na fila fila recurso saída da fila Modelo matemático para abstrair processo de chegada Chegada não é determinística Necessidade de representação aleatória Ex. distribuição do tempo entre chegadas Descreve precisamente o processo de chegada

5 Fila Processo de Serviço chegada na fila fila recurso saída da fila Como definir processo de serviço? Quanto tempo leva para atender um pedido? Depende do sistema, geralmente aleatório Modelo matemático para abstrair o processo de serviço Ex. distribuição do tempo de serviço

6 Parâmetros de uma Fila A K... C X A : intervalo de tempo entre chegadas X : tempo de serviço (de 1 pedido) K : capacidade de armazenamento da fila (infinito?) C : número de estações de serviço P : política de atendimento dos elementos em fila A, X geralmente são variáveis aleatórias!

7 A Notação de Filas K X A / X / C / K P... C distribuição do tempo entre chegadas distribuição do tempo de serviço número de estações de serviço capacidade de armazenamento política de atendimento M = exponencial (memoryless) D = determinístico Er = Erlang Exemplo: M/M/1 default: infinito default: FIFO Qual é a fila?

8 Medidas de Desempenho K em Filas Utilização: fração de tempo que o servidor está ocupado Tempo de espera: quantidade de tempo que cada elemento espera na fila Vazão (Throughput): quantidade de elementos servidos pela fila por unidade de tempo Fração de descarte: fração de elementos descartados por falta de espaço na fila

9 Medidas de Desempenho Comportamento típico em Filas K Tempo de espera Vazão Tradeoff entre tempo de resposta e vazão

10 Avaliando o Desempenho de uma Fila Problema Dado uma fila, qual seu desempenho? Como assim? Parâmetros da fila (demanda, capacidade, etc.) Como assim? Medida: Tempo médio de espera no sistema Vamos calcular isto!

11 Tempo de Espera Como calcular o tempo de espera em uma fila? tempo decorrido desde o instante de chegada até o instante de saída IDÉIA: Decompor o tempo de espera em tempos menores 1) Tempo para finalizar o pedido sendo atendido no instante de chegada 2) Tempo para atender cada um dos pedidos da fila 3) Tempo para atender o pedido que acabou de chegar

12 Variáveis Aleatórias de uma Fila A W X N c : número de elementos na fila no instante de chegada (incluindo o que está sendo atendido) R : tempo residual (tempo para finalizar serviço do elemento sendo atendido) X i : tempo necessário para atender o i ésimo pedido da fila (i=1, 2,..., N c 1) W : tempo de espera de um elemento (do instante de chegada até o instante de saída) N c

13 Tempo de A W Espera W: tempo de espera do pedido que chegou N c X Nc elementos na fila 1 em atendimento + Nc 1 na fila Quanto vale W? W = R + X 1 + X X N c 1 + X tempo residual do elemento em atendimento tempo de serviço do i ésimo elemento da fila tempo de serviço do elemento que acabou de chegar

14 Tempo Médio de Espera A W N c X Aplicar valor esperado E[.] Tempo médio de espera: E[W] E[W] = E[R + X 1 + X X N c 1 + X] E[W] = E[R] + E[X ] E[X ]+ E[X] 1 N c 1 E[W] = E[R] + E[N c ]E[X] X i são idênticamente distribuídas

15 Resultado de Little E[W] Caixa Preta E[N] : taxa média de chegada E[W] : tempo médio que cada pedido permanece dentro da caixa preta E[N] : número médio de pedidos dentro da caixa (depois de um tempo muito grande) Qual é a relação entre eles? E[N] = E[W] Vamos provar isto hoje!

16 Resultado de Little E[W] Caixa Preta E[N] Número médio dentro do sistema é igual ao produto da taxa média de chegada pelo tempo médio de permanência no sistema Intuitivo, mas poderoso (não depende de nenhuma distribuição) Exemplo: E[W] = 3.5 minutos =2 E[N] =? clientes por minuto

17 Resolvendo o Tempo Média de Espera Duas equações: E[W] = E[R] + E[N c ]E[X] E[N] = E[W] Suposição (I) : E[N] = E[Nc ] Suposição (II) : E[R] = E[X] Substituindo nas equações acima, temos E[W] = E[X] + E[W]E[X] E[W] = E[X] 1 E[X] equação em função dos parâmetros da fila

18 E[W] = Gráfico do Tempo Médio de Espera E[X] 1 E[X] E[W] 1/E[X] Tempo de espera explode!

19 Suposição I: E[N] = E[N c ] Duas variáveis (medidas) Número de elementos no sistema N em um instante de tempo qualquer Nc no instante de uma chegada Em geral, E[N] é diferente de E[N c ] Exemplo?

20 Exemplo Suponha sistema de fila determinístico tempo entre chegadas 1s, tempo de serviço 0.5s Evolução do sistema no tempo? t Quanto vale E[N] e E[N c ]? E[N] = 0.5 E[N c ] = 0 Diferentes!

21 Suposição I E[N] = E[Nc ] Quando isto é verdade? PASTA Poisson Arrivals See Time Averages pas Quando o processo de chegada é Poisson E[N] = E[Nc ]

22 Suposição II E[R] = E[X] Quando isto é verdade? Memoryless Distribuição não tem memória Quando o tempo de serviço é exponencial

23 Propriedade Memoryless Propriedade de memoryless Distribuição da probabilidade condicional é igual a distribuição da probabilidade original (para o restante do tempo) P [T s t T s ]=P [T t ] s, t 0 Exemplo P [T 40 T 30 ]=P [T 10 ] P [T 4 0 T 3 0 ]=P [T 40 ] Correto Errado! A chance de um evento não ocorrer nos próximos 10 segundos é igual a dos primeiros 10 segundos!

24 Tempo Média de Espera E[W] = E[X] 1 E[X] Verdade para toda fila? Condições necessárias para resultado Chegada Poisson Serviço Exponencial Capacidade Infinita Política FIFO Fila M/M/1 Onde violamos dedução em cada caso?

25 Medindo as Medidas de Interesse de uma Fila N(t) evolução do tamanho da fila no tempo Quanto vale E[N]? tamanho médio da fila (no tempo) Quanto vale E[W]? tempo médio de espera (de um pedido) t

26 Medindo E[N] N(t) E [N T ]= i=0 i T i T T t onde T é um tempo qualquer e Ti (T) é o tempo que a fila permanece com i elementos no intervalo [0, T] Observação: i=0 T i T =T i =0 i T i T = t=0 t=t Nt dt Logo: E [NT ]= t=0 t=t Nt dt T

27 Medindo E[W] N(t) n E [W ]= i=1 n W i t onde n é um númer de saídas do sistema qualquer e e W i é o tempo de espera da i-ésima saída Observação: W i =S i C i onde Ci e S i são os instantes de chegada e saída do i-ésimo elemento Logo: E [W ]= n S i =1 i C i n

28 Outra Evolução da Fila N t t t : número total de chegadas até t fila espera t : número total de saídas até t Quanto vale N(t)? T t t t Quanto vale Wi? Qual é a taxa média de chegada? = T T

29 Medidas de Interesse N t t t : número total de chegadas até t fila espera t : número total de saídas até t T t Quanto vale E[N]? T E[N] = Quanto vale E[W]? T E[W] = t t d t T t t dt T

30 Provando Resultado de Little = T T E[N] = T E[W] = T t t d t T t t dt T T t t d t =E [ N ]T T t t d t =E [W ] T Substituindo, temos: E[N] T = E[W] T T E[N] = E[W] / T E[N] = E[W] Resultado de Little!

31 Lei de Little E[N] = E[W] Verdade para toda fila? Verdade para caixa preta! independente do que tem dentro da caixa preta Caixa preta com capacidade finita? é taxa de chegada a caixa preta Caixa Preta e = - p taxa efetiva de entrada p : taxa de elementos perdidos