Escola de Engenharia de Lorena EEL/USP Curso de Engenharia de Produção. Teoria da Filas. Prof. Fabrício Maciel Gomes

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1 Escola de Engenharia de Lorena EEL/USP Curso de Engenharia de Produção Teoria da Filas Prof. Fabrício Maciel Gomes

2 Teoria das Filas Por quê das Filas? Procura por um serviço maior do que a capacidade do sistema de atender ao serviço Inviabilidade econômica Limitação de espaço

3 Teoria das Filas A Teoria das Filas tenta através de análises matemáticas detalhadas encontrar um ponto de equilíbrio que satisfaça o cliente e seja viável economicamente para o provedor do serviço Exemplos de aplicação: Fluxo de tráfego veículos, aeronaves, pessoas e comunicações Escalonamento Pacientes em hospitais, processos em um computador e jobs em máquinas Projetos de atendimentos a serviços Bancos, correios, restaurantes fast-foods

4 Elementos de uma Fila Clientes Servidor Servidor População Fila Servidor *Obs: Servidores, atendentes ou canais de serviços Cliente, transação ou entidade Atendimento

5 Elementos de uma Fila Clientes e Tamanho da População Um cliente é proveniente da população Quando uma população é muito grande, a chegada de um novo cliente a fila não afeta a taxa de chegada de clientes subseqüentes, taxa de chegada independente Quando a população é reduzida a taxa de chegada pode ser dependente Ex: Uma mineradora que possui apenas 3 caminhões e os 3 estão na fila

6 Processos de Chegada Podemos quantificar o processo de chegada através de sua taxa média de chegadas (λ) e/ou seu intervalo médio entre chegadas (IC) Ex: Um posto de pedágio com 5 atendentes, onde entre 7 e 8 horas da manha chegam 20 automóveis por minuto. λ:20 veículos por minuto IC: 3 segundos λ e IC são valores médios, em um dado instante diferentes valores podem ser observados A fim de caracterizar ainda mais uma fila podemos definir sua distribuição de freqüências Processos com os mesmos valores médios podem apresentar grandes variações de seu valores individuais durante o tempo observado Processos regulares são raros Existe situações onde o ritmo de chegadas sofre variações durante o dia

7 Processos de Atendimento Determina como é feito o atendimento aos clientes da fila Ex: Observando um atendente, podemos constatar que ele atende 6 veículos por minuto ou que gasta 10 segundos para atender um veículo Podemos quantificar o processo de chegada através de sua taxa média de atendimento (μ) e/ou seu tempo ou duração médio de serviços (TA) μ = 6 clientes por minuto TA = 10 clientes por minuto

8 Número de Servidores Uma fila pode possuir um ou mais servidores para atender os clientes A qualidade do serviço pode ser melhorada adicionando convenientemente novos servidores ao sistema Ex: fila de supermecado

9 Disciplina da Fila Descreve como os clientes são escolhidos para entrar em um serviço após a fila ser formada First-Come-First-Served (FCFS) FIFO Filas comuns onde o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido Last-Come-First-Served(LCFS) LIFO Aplicado em sistemas de controle de estoque e em filas de prioridades Filas com Prioridades Preemptivo O cliente com maior prioridade é servido imediatamente Não-preemptivo O cliente com maior prioridade entra na frente da fila, mas deve aguardar se algum cliente já estiver em atendimento Filas Randômicas

10 Tamanho da Fila Tamanho Médio Característica mais visível de uma fila O dimensionamento adequado desta característica possibilita um atendimento satisfatório Tamanho Máximo Área destinada a espera por atendimento Ex: número de cadeiras em uma barbearia, tamanho do buffer, etc Dependendo do tamanho e da demanda um cliente pode ser recusado Ex: central telefônica Deve ser projetada de forma atender a demanda

11 Tempo Médio de Espera Média do tempo gasto por cada cliente desde o momento em que chega na fila ao que ele é atendido Principal causa de irritação dos clientes O ideal é que não exista tempo de espera Ex: Se entrarmos em uma fila com 10 pessoas à frente o tempo de espera será igual ao somatório dos tempos de atendimento cada um dos 10 clientes ou, possivelmente, será igual a 10 vezes a duração média de atendimento

12 Variáveis Randômicas São utilizadas para modelar diversos aspectos de uma fila Quando afirmamos que a duração média de atendimento é de 10 segundos não estamos dizendo que todo atendimento é de 10 segundos Diferentes momentos podem registrar diferentes valores Caso fosse coletada uma grande quantidade de dados poderíamos deduzir que existe um padrão de atendimento expresso por uma distribuição de probabilidade É nula a probabilidade de atender um cliente em menos de 5 segundos A probabilidade de atender um cliente em 10 segundos é de 18% A probabilidade de atender um cliente em 25 segundos é de 0,5%

13 Duração do Atendimento

14 Dinâmica de uma Fila Cenário Fila de um banco formada por pessoas que deseja um novo talão de cheques Chegada No período de meia hora chegaram ao sistema 12 pessoas Cliente Intervalo Momento Onde Intervalo tempo entre uma chegada e outra Momento instante de chegada de um novo cliente Definir λ IC 24 clientes por hora 2,5 minutos

15 Dinâmica de uma Fila Atendimento Dados anotados para cada atendimento em minutos Cliente Duração Determinar μ TA 30 clientes por hora 2 minutos

16 Número de Canais de Serviço O número de canais correspondem ao número de estações de serviços paralelos que podem servir os clientes simultaneamente Clientes multi-canais podem ser de: Fila única Fila individual

17 Estágios de Serviço Estágio único O atendimento do cliente acontece de um vez só Barbearia, supermecado, etc Vários estágios O cliente passa por vários estágios de atendimento, antes de finalizar um serviço Durante o atendimento o cliente pode enfrentar diversas filas com características diversas Exame físico, atendimento serviço público

18 Estágios de Serviço

19 Descrição de um Sistema de Filas 1.Padrão de chegada 2.Padrão de serviço 3.Disciplina de filas... 4.Capacidade do sistema n 5. Número de canais de serviço 6. Estágios de serviços

20 Notação de uma Fila Proposta em 1953 por Kendall é descrita por um série de símbolos, tais como, A/B/m/k/M A é a distribuição de inter-chegada de dos clientes B é padrão de serviço de acordo com um distribuição de probabilidade para o tempo de serviço m é o número de canais serviços paralelos (servidores) k é a capacidade do sistema M é a disciplina de filas Em muitas situações só os três primeiros símbolos são utilizados, de maneira que, é assumido que o sistema tem capacidade ilimitada e possui uma disciplina FCFS

21 Notação de uma Fila O símbolo G representa uma distribuição de probabilidade geral, isto é, resultados nestes casos são aplicáveis para qualquer distribuição de probabilidade

22 Notação de uma Fila Exemplo: M/D/2/ /FCFS Processo de filas com: tempos de inter-chegada exponencial tempos de serviço determinístico dois servidores paralelos capacidade ilimitada disciplina de fila FCFS

23 Medidas de Desempenho Geralmente existem 3 tipos de respostas de interesse do sistema: medida do tempo de espera que um cliente típico é obrigado a esperar Tempo gasto na fila X Tempo total no sistema Importância de cada tipo depende do sistema analisado. Ex: Parque de diversão x concerto de um equipamento medida da maneira como os clientes podem ir se acumulando Número de clientes na fila X número de clientes no sistema Auxilia na definição do espaço de espera dos clientes medida do tempo ocioso dos servidores Tempo em que um servidor em particular esta ocioso Tempo em que o sistema está desprovido de clientes

24 Medidas de Desempenho A tarefa do analista de filas é determinar as medidas apropriadas de efetividade de um dado processo, ou projetar um sistema ótimo. Tempo de espera X ociosidade do sistema Tempo de espera X custos Cálculo do tamanho da fila de espera Uso de métodos analíticos como primeira alternativa e simulações onde métodos analíticos não forem suficientes

25 Estrutura do Sistema SISTEMA CLIENTE NA FILA CLIENTE SENDO ATENDIDO chegada fila atendimento saída IC TF NF TA NA sistema TS NS

26 Estrutura do Sistema - taxa de chegada - taxa de atendimento IC tempo médio entre chegadas IC= 1/ TF - tempo médio na fila NF número médio de clientes na fila TA - tempo médio de atendimento TA= 1/ NA número médio de clientes em atendimento TS - tempo médio no sistema NS número médio de clientes no sistema chegada fila atendimento saída IC TF NF c TA NA sistema TS NS 26

27 Sistema de 1 canal, 1 fila com população infinita

28 Sistema de 1 canal, 1 fila com população infinita Probabilidade de haver n clientes no sistema Pr( n) n Probabilidade de que o número de clientes no sistema seja superior a um valor r Pr( nr) r1

29 Sistema de 1 canal, 1 fila com população infinita Probabilidade do sistema estar ocioso Pr( n 0) Probabilidade do sistema estar ocupado Pr( n 0)

30 Sistema de 1 canal, 1 fila com população infinita Número Médio de Clientes no Sistema NS Número Médio de Clientes na Fila NF 2

31 Sistema de 1 canal, 1 fila com população infinita Número Médio de Clientes na Fila NF( Fila 0) Tempo Médio de Espera na Fila por Clientes 1 TF

32 Sistema de 1 canal, 1 fila com população infinita Tempo Médio Gasto no Sistema por Clientes TS 1

33 Relações Entre TF, TS, NF e NS TF TF 1 TF TS NS TS NF NS

34 Taxa de Serviço para Mínimo Custo Total do Sistema CT CE Unit CAUnit CE CA * Unit Unit CT = Custo total do sistema CE Unit = Custo de permanência unitário médio por período do cliente CA Unit = Custo de atendimento unitário médio por período do cliente * = Taxa de serviço que resulta no menor custo Total no modelo de 1 fila e 1 canal

35 Taxa de Serviço para Mínimo Custo Total do Sistema

36 Sistema de 1 canal, 1 fila com população infinita

37 Sistema de diversos canais, 1 fila com população infinita Probabilidade do sistema estar ocioso Pr( n 0) S 1 j1 1 j S j! S 1! S Sendo: S = número de canais de atendimento

38 Sistema de diversos canais, 1 fila com população infinita Probabilidade do todos os canais estiverem ocupados S Pr Pr( ) Pr 0 Oc. Total n S n ( S1)! S Número Médio de Clientes na Fila NF S Pr Oc. Total

39 Sistema de diversos canais, 1 fila com população infinita Número Médio de Clientes no Sistema NS NF Tempo Médio de Espera na Fila por Clientes TF 1 NF Tempo Médio de gasto no Sistema TS 1 NS

40 Exercício 1 A cabine telefônica: as chegadas ocorrem de acordo com uma distribuição exponencial com taxa de 0,1 pessoas/min; a duração média dos telefonemas é de 3 minutos e também segue uma distribuição exponencial. a) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não precisar esperar? b) Qual o tempo médio na fila? c) Qual ritmo de chegada de pessoas determinaria um tempo médio na fila de 3 minutos?

41 Exercício 2 Os operários da fábrica, para realizarem as atividades diárias, precisam recorrer ao auxílio da ferramentaria. Observou-se que o ritmo de chegada de solicitações à ferramentaria segue uma distribuição exponencial com ritmo de chegada de =1 solicitação/min. O ritmo de atendimento da ferramentaria também segue uma exponencial com =12 atendimentos/min. Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de um operário chegar à ferramentaria e não precisar esperar? b) Qual o tempo médio de espera do operário na fila? c) Qual o tempo médio de atendimento do operário? d) Qual o tempo médio do operário na ferramentaria? e) Quantos operários em média estão na fila? f) Quantos operários em média estão na ferramentaria?

42 Exercício 3 Um lava rápido automático funciona com somente uma baia. Os carros chegam conforme uma distribuição de Poisson com um tempo médio de 8 minutos e podem esperar num estacionamento com cinco vagas disponíveis. Se o estacionamento estiver cheio os clientes que chegam desistem e procuram outro lava rápido. O tempo para lavar e limpar um carro segue uma distribuição exponencial, com uma média de sete minutos e 30 segundos. O proprietário quer determinar o impacto das vagas limitadas sobre a perda de clientes para a concorrência. Considerando essa situação, determine: a) A probabilidade de que um carro que chega passe imediatamente à baia de lavagem. b) Tempo de espera estimado até o início do serviço. c) Número esperado de vagas vazias no estacionamento. d) A probabilidade de todas as vagas estarem ocupadas. e) A taxa de utilização do servidor.