Modelos Probabilísticos

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1 Modelos Probabilísticos

2 Somente para lembrar... Modelos são extremamente importantes para o estudo do desempenho de um sistema antes de implementá-lo na prática! Foguete proposto tem confiabilidade? Devemos utilizar 2,3,4 ou 5 replicações de um banco de dados para que a disponibilidade seja a maior possível? O que acontece se utilizarmos uma determinada 'droga' para a cura de uma doença? Como reage o coração?

3 Até agora... Equações diferenciais, equações diferenciais, equações diferenciais Modelagem de sistemas biológicos

4 Modelagem e Análise de Sistemas O que é desempenho? de Computação Medida da capacidade de resposta de um sistema Como analisar o desempenho de um sistema? Medições, análise quantitativa Métricas de desempenho Por quê? Aspecto chave no projeto, compra e uso de um sistema de computação

5 Modelagem e Análise de Sistemas Para que? de Computação Identificar pontos de contenção e/ou desperdício no sistema Avaliar múltiplas alternativas de projeto Determinar configuração ótima dos parâmetros de um sistema Planejamento de carga Onde? Redes de Computadores, Arquitetura, Sistemas operacionais, aplicações

6 Modelos Probabilísticos Processos Estocásticos Processos de Poisson Filas M/M/1, M/G/1... Mais genericamente: modelos markovianos Qual a probabilidade de um sistema estar em um determinado estado? Quantos e quais são os estados? Quais as probabilidades de transição entre pares de estados?

7 Modelos Probabilísticos Exemplo: Como modelar sistemas P2P com mútliplos canais? Peers recebem o conteúdo na mesma taxa em que este está sendo gerado? Qual o número médio de canais que estão fornecendo o serviço com qualidade satisfatória? Modelos de fila são usados para modelar algumas características destes sistemas! Queueing Network Models for Multi-channel P2P live streaming systems Wu et al.

8 Modelos Markovianos Exemplo : Servidor de Banco de Dados Computador com uma CPU e dois discos rodando um servidor de banco de dados. Para manter QoS, apenas 2 usuários no banco de dados por vez Um disco é 2x mais rápido que o outro Transação típica: 10 seg. de CPU 15 seg. no disco rápido (caso arquivo neste disco) 30 seg no disco lento) Transações têm igual probabilidade de encontrar os arquivos requisitados em qualquer um dos discos

9 Modelos Markovianos Exemplo : Servidor de Banco de Dados Perguntas: Usuário: Qual o tempo de resposta típico? Administrador do sistema: Qual a utilização de cada recurso do sistema? Presidente da companhia: Qual desempenho do sistema se eu dobrar o número de usuários ativos no sistema Qual o tempo de resposta se eu tiver que migrar todos os arquivos do disco mais rápido para o mais lento?

10 Modelos Markovianos Exemplo : Dimensionamento de redes de comunicação Um provedor de serviços deve reestruturar a capacidade dos links da sua rede de computação Solução 'rápida': multiplique a capacidade por 10! No entanto, não existe nada que garanta a QoS - Ou então: caracterizar o tráfego que atravessa o link e obter resultados de como um roteador se comporta ao receber este tráfego Fontes de vídeo, A histogram-based Model for Video Traffic Behavior in an ATM Multiplexer Skelly et al Tráfego backbone', Metodologia de Dimensionamento com QoS usando cadeias de Markov ocultas Souza e Silva et al

11 Modelos Markovianos Exemplo : Como calcular o retardo médio em redes? - Retardo influencia enormemente na escolha e desempenho de algoritmos de roteamento e controle de fluxo. - Importante compreender a natureza e o mecanismo do retardo, e a maneira como este depende das características da rede. - Uma grande ferramenta matemática: Teoria de Filas! Muitos resultados são baseados em modelos markovianos... M/M/1, M/M/m, etc...

12 Modelos Markovianos Exemplo : Como prever perdas em redes? - Para aplicações de voz, a qualidade é essencial - Diversos métodos podem ser usados para minimizar perdas - Mas quando saber que perdas estão ocorrendo na rede? E como adaptar a minha aplicação multimídea para 'lidar' com as perdas? Modeling the shortterm dynamics of packet losses Silveira et al Exemplo: Como avaliar e modelar dependência das perdas na Internet? "Measurement and Modeling of the Temporal Dependence in Packet Loss" Yajnik et al

13 Solução de Modelos Markovianos Objetivo: achar as probabilidades a longo prazo de estar em cada estado particular Estado estacionário independe do estado inicial do sistema Como fazer? Utilizar conjunto de equações de equilíbrio lineares N estados -> N incógnitas (probabilidades) -> N equações Equações derivadas a partir dos fluxos entrando e saindo de cada estado fluxo entrando = fluxo saindo (para cada estado Equação da conservação da probabilidade total Soma das probabilidades a longo prazo = 1

14 Premissas e Limitações Premissa de memoryless / sem memória: Cada estado captura todas as infos importantes do sistema. Próximo estado só depende do estado corrente (e não dos estados anteriores) Limitação resultante: Possível explosão do espaço de estados Se ordem é importante, se jobs são distintos (múltiplas classes) estado tem que capturar isto: Ex: 10 classes de clientes na CPU, FIFO (ordem importa): número de estados = 10! = 3.6 milhões. Se jobs estatisticamente iguais: estado pode ser identificado por um número (# clientes na CPU)

15 Premissa exponencial: Premissas e Limitações Tempo gasto entre eventos relevantes (tempo gasto em um estado) segue distribuição exponencial : modelos de markov com tempo contínuo (servidor de banco de dados) Prob (T > s + t T > s] = Prob (T > t) Limitação resultante: Exponencial pode não ser uma boa aproximação Possível solução: estágios

16 Ferramentas Tangram II: Ferramenta de código aberto Desenvolvida para fins de pesquisa (LAND-UFRJ) Modelos Analíticos Cadeias de Markov Diversos Métodos Numéricos para solução de medidas de interesse Simulação

17 Nestas 6 Aulas... Somente uma breve introdução dos Modelos Markovianos! Revisão dos principais conceitos de Probabilidade Definição de Processos Estocásticos Cadeias de Markov Discretas e Contínuas Métodos Numéricos para resolver cadeias de Markov

18 BASIC ELEMENTS OF QUEUEING THEORY - Application to the Modelling of Computer Systems (Lecture Notes) Philippe Nain Livros... Probability and Statistics with Reliability, Queueing and Computer Science Applications Kishor S. Trivedi Queueing Systems: Volume1 Leonard Kleinrock Stochastic Processes Sheldon Ross