PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

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1 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Definições, Principais Tipos, Aplicações em Confiabilidade de Sistemas CLARKE, A. B., DISNEY, R. L. Probabilidade e Processos Estocásticos, Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, CAMARGO, C. C. de, Confiabilidade Aplicada à Sistemas de Potência, Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, Santa Catarina: FEESC,

2 PROCESSO ESTOCÁSTICO Fenômeno que varia em algum grau, de forma imprevisível, à medida que o tempo passa. Variação do tráfego em um cruzamento; Variação diária no tamanho do estoque de uma empresa; Variação minuto a minuto do índice IBOVESPA; Variação no estado de um sistema de potência; Variação no número de chamadas feitas a uma central telefônica. 2

3 Imprevisibilidade? A observação de uma seqüência de tempo inteira do processo, em ocasiões diferentes, sob condições presumivelmente diferentes: Seqüências resultantes diferentes. Comportamento de um sistema para uma seqüência ou intervalo de tempo inteiro: O resultado será uma função (ou seqüência de valores) e não apenas um número. 3

4 Parâmetros do Processo Para analisar o processo estocástico é preciso especificar o período de tempo T envolvido: quando ele será observado. Se T é contínuo, T = {t : 0 t < ): Trata-se de um Processo Estocástico de Parâmetros Contínuos: Poisson. Se T é discreto, T = {0, 1, 2,...}: Trata-se de um Processo Estocástico de Parâmetros Discretos: Séries Temporais em geral. 4

5 Realizações do Processo A cada ponto t do conjunto T observa-se uma medida ou variável aleatória X t. Se o ponto amostral for indicado por s: X t (s) para t T. Tal função de t é chamada de processo estocástico ou aleatório. Uma única função X t, que corresponde a um único ponto amostral s é chamada de realização do processo estocástico. 5

6 Estados do Processo O conjunto de valores que X t pode assumir é chamada de Espaço de Estados, e os valores específicos de X t em dado momento são os Estados do Processo. Se X t representa alguma contagem: Espaço de Estados poderia ser uma seqüência finita ou infinita de inteiros. Processo de Estado Discreto ou Cadeia Aleatória. Se X t representa uma medida: Espaço de Estados poderia ser um intervalo de números reais. Processo de Estado Contínuo. 6

7 Quantidade Parâmetros x Estados Processo de Parâmetros Discretos e Estados Discretos Estoque de peças em uma loja ao fim da semana Semana 7

8 Parâmetros x Estados Processo de Parâmetros Discretos e Estados Contínuos Médias amostrais dos diâmetros de pistões. X-bar: 74,001 (74,001); Sigma:,00979 (,00979); n: 5, 74,014 74,001 73,

9 Chamadas Parâmetros x Estados Processo de Parâmetros Contínuos e Estados Discretos No. de chamadas recebidas por um call-center em 6 horas Tempo 9

10 Parâmetros x Estados Processo de Parâmetros Contínuos e Estados Contínuos Eletroencefalograma 10

11 Análise de um Processo Estocástico Para um valor t, X t será uma variável aleatória que descreve o estado do processo no tempo t. Dada qualquer coleção finita t 1, t 2,..., t n de tempos, então X t1, X t2,..., X tn constituem um conjunto de n variáveis aleatórias com distribuição conjunta. A estrutura de probabilidades do processo X t determinada desde que: é totalmente Distribuição conjunta de cada conjunto de variáveis aleatórias é determinada. Função de densidade de cada conjunto de variáveis aleatórias é determinada. 11

12 Análise de um Processo Estocástico Consiste em determinar as distribuições conjuntas e usá-las para prever comportamento futuro, dado o comportamento passado. 12

13 Seqüências Independentes Seqüências de variáveis aleatórias independentes com distribuições idênticas como resultante de repetições independentes da mesma experiência aleatória, onde a cada realização um valor ou medida é associado. Exemplo: equipamento eletrônico tem um capacitor que é reposto toda vez que ele falha. Tempo de vida X: X 1, X 2,... Cada valor será positivo: processo de Renovação 13

14 Processos de Nascimento e Morte Modelam as alterações em uma população. Estado do processo no instante t (X t ) representa o tamanho da população no instante t. Exemplos: pacotes presentes em uma rede local, fila com servidor único. Assume-se que nascimentos e/ou mortes múltiplos ocorrem ao mesmo tempo com probabilidade zero. As transições ocorrem apenas entre estados vizinhos. 14

15 Processos de Nascimento e Morte 1 nascimento 1 nascimento K - 1 K K morte 1 morte 15

16 Processos de Nascimento e Morte k : taxa de mortes quando a população é k. k : taxa de nascimentos quando a população é k. 0 =0: não há mortes quando a população é zero. 0 0: podem ocorrer nascimentos quando a população é zero. k P k = k-1 P k-1 k0 P 1, 0 k 16

17 Processo de Poisson Processo de nascimento puro pois a taxa de nascimento é constante:. P k (t) = [(t) k e - t ]/k! Para k 0 e t 0. Probabilidade de haver k nascimentos no intervalo (0,t). Número médio de nascimentos no intervalo (0,t) = t. Processo de Parâmetros Contínuos e Estados Discretos. 17

18 Processo de Poisson Evento: nenhuma chegada nos primeiros t minutos P o (t) 0 ( t) e 0! t t Equivalente à primeira chegada após o tempo t. Seja t uma variável aleatória que represente o tempo de 0 até a 1ª chegada: P(T > t) = e - t P(T t) = 1 - e - t = F(T) f(t) = F(T)/t = e - t T tem distribuição exponencial: E(T)=1/ V(T)=1/ 2 e 18

19 Processos de Markov Processos sem memória : probabilidade de X t assumir um valor futuro depende apenas do estado atual (desconsidera estados passados). P(X n =x n X 1 =x 1,X 2 =x 2,...,X n-1 =x n-1 ) = P(X n =x n X n-1 =x n-1 ) para n = 0, 1, 2,... Seja X t um processo de Markov, i e j estados, e t tempos: P ij = P[X( + t) = j X() = i] 0 e t 0 Se P ij independe do tempo então o processo de Markov é dito ESTACIONÁRIO ou homogêneo. 19

20 Processos de Markov Parâmetros Estados Discretos Contínuos Discretos Cadeias de Markov com tempo discreto Cadeias de Markov com tempo contínuo Contínuos Processos de Markov com tempo discreto Processos de Markov com tempo contínuo 20

21 Cadeias de Markov Processo de Markov de parâmetros contínuos e estados discretos. Propriedades: O sistema observado pode ser descrito como estando em um estado de um conjunto de estados Si, discretos e exaustivos e mutuamente exclusivos; Trocas de estado são possíveis em qualquer intervalo de tempo; A probabilidade de mais do que uma troca durante um intervalo infinitesimal de tempo é desprezível. 21

22 Matriz de transição O conjunto P(X n X n-1 ) para n = 1, 2,... constitui as probabilidades de transição de um passo: probabilidades iniciais. Matriz N+1 por N+1 de elementos p ij que satisfaz: p ij 0 ij = 0, 1, 2,..., N p ij = 1 para j=1,...,n e i. P p ij p p... p N0 p p p N p p p 0N 1N... NN 22