Processos Estocásticos

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1 Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 2002/03 Colectânea de Exercícios Capítulo 1 Introdução aos Processos Estocásticos Exercício 1.1 O número de sinais emitidos por uma fonte no intervalo (0, t], N(t), tem distribuição Poisson (λt). Cada sinal emitido é registado por um receptor com probabilidade p, independentemente dos restantes sinais emitidos. Seja X(t) o número de sinais registados pelo receptor no intervalo (0, t]. (a) Calcule a função de probabilidade de X(t) condicional a N(t) = n. (b) Determine a distribuição de X(t). Exercício 1.2 O ministério da saúde de um pequeno país é responsável pelo registo, numa base de dados, de todos os nascimentos que ocorrem nesse país. Suponha que os intervalos entre duas notificações consecutivas de nascimentos são independentes e distribuem-se exponencialmente com valor esperado de 2 horas. (a) Com o objectivo de gerir o espaço de memória, o responsável pela base de dados pretende saber qual o número esperado de registos anuais. Calcule-o. (b) Determine a probabilidade do funcionário responsável pela introdução dos registos ficar desocupado durante um dia inteiro. (c) Obtenha a probabilidade de serem notificados 100 nascimentos ao fim de 3 dias, sabendo que ao fim dos 2 primeiros desses 3 dias foram notificados 80. Exercício 1.3 Três clientes A, B e C entram simultaneamente numa estação de correios com dois guichets de atendimento. A e B dirigem-se para os guichets, onde são imediatamente atendidos por dois funcionários, ao passo que C só será atendido quando A ou B abandonarem os respectivos guichets. Qual é a probabilidade de A ser o último cliente a abandonar a estação de correios, sabendo que a duração do serviço prestado por qualquer dos funcionários é: 1

2 (a) Exactamente 10 minutos? (b) Uma variável aleatória uniforme discreta em {1, 2, 3}? (c) Uma variável aleatória exponencial com parâmetro µ? Exercício 1.4 É efectuado um número de experiências (idênticas) com distribuição Poisson de valor esperado λ. Admita que o conjunto de resultados possíveis das experiências é {1, 2,..., n}, que as experiências são independentes e que o resultado de cada experiência é igual a i, 1 i n, com probabilidade p i. Para j = 0, 1,..., calcule E(X j ) e Var(X j ), onde X j representa o número de resultados possíveis que ocorreram exactamente j vezes no total de experiências efectuadas. Exercício 1.5 Seja {N(t), t 0} um processo com incrementos independentes e estacionários e tal que N(t) tem distribuição de Poisson (λt), designado por Processo de Poisson de taxa λ. Determine, para s, t 0: (a) Cov[N(t), N(t + s)]. (b) E[N(t)N(t + s)]. (c) Mostre que, para n 1, P (N(s) = k N(s + t) = n) = ( ) ( ) n s k ( ) t n k, k = 0, 1,..., n. k s + t s + t Exercício 1.6 Um Processo de Poisson Bidimensional (homogéneo) com intensidade λ (> 0) é um processo de ocorrências de eventos no plano real tal que: (i) Para qualquer região do plano de área A, o número de eventos nessa região tem distribuição Poisson (λa); e (ii) Os números de eventos em regiões disjuntas do plano são independentes. Suponha que há dois processos de Poisson bidimensionais independentes: 1 e 2, com intensidades λ i (i = 1, 2) e denote-se por X i (i = 1, 2) a distância de um ponto arbitrário do plano ao evento mais próximo do processo i. Mostre que: (a) Para i = 1, 2, X i tem função densidade: f Xi (x) = 2λ i πxe λ iπx 2 I (0, ) (x). (b) E[X i ] = (2 λ i ) 1. (c) P (X 1 < X 2 ) = λ 1 /(λ 1 + λ 2 ). (d) A variável aleatória min(x 1, X 2 ) tem função densidade de probabilidade f(x) = 2(λ 1 + λ 2 )πxe (λ 1+λ 2 )πx 2 I (0, ) (x). Que pode concluir com respeito à adição de processos de Poisson bidimensionais independentes? 2

3 Exercício 1.7 Mostre que se {A n, n 1} for uma sucessão crescente (ou decrescente) de acontecimentos, então ( ) lim P (A n) = P lim A n. n n Nota: lim n A n = k=1 A k se A 1 A 2...; e lim n A n = k=1 A k se A 1 A 2... Exercício 1.8 (Processos de Ramificação). Num processo de ramificação cada indivíduo duma determinada geração tem, independentemente dos outros indivíduos, k filhos, k = 0, 1, 2,... com probabilidade p k. Suponha que na geração 0 (população inicial) há um único indivíduo e defina-se para n = 0, 1, 2, 3,... e P n (s) = E [ s Zn], 0 s 1. Z n = número de indivíduos na n-ésima geração da população; (a) Mostre que para n = 1, 2,... e 0 s 1, P n (s) = P n 1 (P 1 (s)) = P 1 (P n 1 (s)). (b) Seja µ (σ 2 ) o valor médio (variância) do número de filhos por indivíduo da população. Mostre que para n = 1, 2,... E[Z n ] = µ n e Var[Z n ] = (c) Use o resultado provado no Exercício 1.7 para concluir que { σ 2 µ n 1 µn 1 µ 1 µ 1 nσ 2 µ = 1. P ({extinção da população}) = lim n P (Z n = 0) = lim n P n(0). (d) Mostre que se o número médio de filhos por indivíduo for menor que um (µ < 1), então o valor esperado do número total de indivíduos (em todas as gerações) de uma população iniciada por um único indivíduo é (1 µ) 1. Que consequência tem o resultado descrito em relação à probabilidade de extinção de uma população iniciada por um único indivíduo? (e) Considerando µ < 1, calcule o valor esperado do número total de indivíduos (em todas as gerações) de uma população iniciada por um número de indivíduos Z 0 com função massa de probabilidade: P (Z 0 = n) = 1 { n IN } ( 1 2) n. Exercício 1.9 Considere o modelo de urnas de Ehrenfest em que M moléculas são distribuídas por 2 urnas. Em cada instante de tempo uma molécula, escolhida ao acaso, é trocada de urna. Seja X n o número de moléculas na urna 1 após n trocas e seja µ n = E[X n ]. (a) Será que {X n, n 0} é uma cadeia de Markov? (b) Mostre que, para n IN 0, µ n+1 = 1 + M 2 M µ n e µ n = M 2 + ( M 2 M ) n ( E[X 0 ] M ) M 2 n 2. 3

4 p (c) Será que X n M 2? Exercício 1.10 Sejam X 1, X 2,... variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que, para i = 1, 2,..., P (X i = j) = α j, j 0. Considere que é efectuado um registo no instante n se X n > max i=0,1,...,n 1 X i (assuma-se que X 0 = 0), sendo nesse caso o valor registado igual a X n. Considere ainda que R i representa o i-ésimo valor registado. (a) Justifique que {R i, i 1} é uma cadeia de Markov e determine a respectiva matriz de probabilidades de transição (a um passo). (b) Seja, para i IN, T i o tempo que decorre entre o (i 1)-ésimo e i-ésimo registos, com o 0-ésimo registo a ocorrer no instante zero. Será que {T i, i 1} é uma cadeia de Markov? E {(R i, T i ), i 1}? Em caso afirmativo, calcule as respectivas probabilidades de transição. Exercício 1.11 Considere um processo de renovamento {N(t), t 0} e a correspondente sucessão de renovamento {S n, n 0}, i.e. S n = inf {t 0 : N(t) n}, n = 0, 1,... Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: (a) N(t) < n S n > t, (b) N(t) n S n t e (c) N(t) > n S n < t. Exercício 1.12 Suponha que a distribuição do tempo entre eventos de um processo de renovamento, {N(t), t 0}, é Poisson (λ). (a) Determine a função de distribuição de S n (o instante de observação do n-ésimo renovamento. (b) Calcule P (N(t) = n), para n IN 0. Exercício 1.13 Repita o Exercício 1.12 na situação em que o tempo entre renovamentos sucessivos pode ser interpretado como o número de provas, independentes e com distribuição Bernoulli (p), realizadas para obter um sucesso. Exercício 1.14 Admita que um mineiro se encontra fechado numa sala com três portas. Se ele optar pela porta 1 encontrar-se-á em liberdade após 2 dias de viagem. Caso escolha a porta 2 (3), ele voltará à mesma sala após 4 (8) dias de viagem. Suponha que, em cada instante, o mineiro escolhe uma das três portas de modo aleatório, e que T representa o tempo que o mineiro leva a sair da mina. (a) Defina uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas {X n, n 1} e um tempo de paragem, N, tais que T = N i=1 X i. (b) Utilize a equação de Wald para determinar o valor esperado de T. [ N ] (c) Calcule E i=1 X i N = n e verifique que não é igual a E [ n i=1 X i]. Nota: uma variável aleatória T com valores naturais é um tempo de paragem para a sucessão {X k, k 1} de variáveis aleatórias com valores inteiros se o acontecimento {T = n} for independente de {X k, k n + 1}. 4

5 Exercício 1.15 Considere um processo {X(t), t 0} com incrementos independentes e estacionários e tal que X(t) Normal ( 0, t), o qual é chamado Movimento Browniano Padrão. (a) Determine a distribuição de X(s) + X(t), com 0 s t. (b) Determine a distribuição de X(s) condicional a {X(t 1 ) = A, X(t 2 ) = B}, com t 1 < s < t 2. (c) Calcule E[X(t 1 ) X(t 2 ) X(t 3 )], com 0 < t 1 < t 2 < t 3. (d) Calcule a função densidade de probabilidade conjunta de Y (s) e Y (t), s < t, sendo {Y (t) = µt + σx(t), t 0} com µ IR, σ IR + ; {Y (t), t 0} é chamado Movimento Browniano com tendência µ e coeficiente de difusão σ 2. (e) Nas condições da alínea anterior e assumindo µ = 0, calcule o valor esperado e a variância de Y (t) e diga, justificando, se { Y (t), t 0} possui incrementos independentes. Exercício 1.16 Seja {X(t), t 0} um Processo Gaussiano; i.e. um processo cujas distribuições multidimensionais finitas são (sempre) gaussianas. (a) Mostre que {X(t), t 0} é estacionário se e só se {X(t), t 0} for estacionário em covariância. (b) Suponha agora que {X(t), t 0} é um movimento browniano (padrão) e considere o Processo de Ornstein-Uhlenbeck: V (t) = e αt 2 X ( e αt ), t 0. Mostre que {V t), t 0} é um processo gaussiano. Exercício 1.17 Considere um movimento browniano padrão {X(t), t 0} e defina-se ( ) 1 Y (0) = 0 e Y (t) = t X, t > 0. t (a) Determine a distribuição de Y (t), t > 0. (b) A que é igual Cov [Y (s), Y (t)], para 0 < s < t? (c) Prove que {Y (t), t 0} é um movimento browniano padrão. (d) Seja T = inf{t > 0 : X(t) = 0}. Use (c) para argumentar que P (T = 0) = 1. Nota: para um movimento browninano padrão, a probabilidade de retorno à origem após qualquer instante fixo é 1. Exercício 1.18 O Evaristo, como jovem yuppie muito empreendedor, decidiu fazer-se sócio de uma empresa portuense ligada à indústria têxtil a partir do dia 1 de Janeiro de Numa reunião com os restantes sócios da empresa o nosso amigo colheu informações preciosas. Ficou a saber que era muito provável que os seus lucros na empresa (em milhares de contos) se comportassem como um movimento browniano padrão, sendo a unidade de tempo o ano. E para além disso um dos sócios da empresa, Hans Hotter, adiantou que os lucros do Evaristo - ao fim da primeira quinzena de Junho de 1987 e exactamente cinco anos depois desta data - ainda eram correlacionados entre si. 5

6 (a) O Evaristo ficou muito surpreendido com a observação do Sr. Hotter. Demonstre que não há razões para qualquer surpresa. Devido a um incêndio no gabinete do contabilista do Evaristo, foram perdidos os registos dos lucros respeitantes aos anos No entanto aquele adiantou que sabia de cor os lucros no final de 1987 e de 1990: foram de 12 e 9 milhares de contos, respectivamente. Face a esta informação: (b) Esboce a dedução da função densidade de probabilidade do lucro às 24 horas de 31/12/1988. (c) Determine a probabilidade do lucro às 24 horas de 31/12/1988 ter excedido contos. Sugestão: Se {X(t), t 0} é um movimento browniano padrão, então, para 0 < t 1 < s < t 2 e A, B IR: E(X(s) X(t 1 ) = A, X(t 2 ) = B) = A + (B A) s t 1 t 2 t 1 e Var(X(s) X(t 1 ) = A, X(t 2 ) = B) = (s t 1) (t 2 s). t 2 t 1 Exercício 1.19 Na gestão de stocks de um determinada produto, uma loja segue a política de inventário (s, S); se o inventário no final de um dia for x, são encomendadas k x unidades, sendo 0 x s k x =, S x x < s sendo o pedido satisfeito antes do início do dia seguinte. As procuras diárias são independentes e iguais a j, j IN 0, com probabilidade p j ; toda a procura que não puder ser satisfeita imediatamente é perdida. Seja X n o nível de inventário no final do n-ésimo dia e assuma que X 0 {0, 1,..., S}. Argumente que {X n, n 0} é uma cadeia de Markov e calcule as respectivas probabilidades de transição (a um passo). Exercício 1.20 Mostre que todo o processo {X(t), t > 0} com incrementos independentes é um processo de Markov. Exercício 1.21 Uma urna contém bolas azuis e/ou bolas brancas, num total de K bolas. Em cada instante, uma bola escolhida ao acaso é retirada da urna. Se a bola retirada for azul, é colocada novamente na urna; se for branca, é substituída por uma bola azul retirada de um saco com bolas azuis. Seja X n o número de bola azuis na urna depois de a operação anterior ter sido efectuada n vezes, n 0, e µ n = E[X n ]. Para 0 i, j K, defina-se: T ij = inf{n 0 : X n = j X 0 = i}. (a) Derive a recursão: e conclua que: µ n+1 = (1 1/K) µ n + 1, n 0, µ n = K (1 1/K) n [K µ 0 ]. (b) Justifique que, para 0 i < K, (c) Calcule, para 0 i < K, E[T i,k ]. E[T i,i+1 ] = (1 i/k) 1. (d) Será que existe uma distribuição limite para X n? Em caso afirmativo, determine-a. 6