Colectânea de Exercícios

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1 LMAC INTRODUÇÃO AOS PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 2006/07 Colectânea de Exercícios Mestrado em Matemática e Aplicações Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação 1

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3 Capítulo 0 Revisões Exercício 01 Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes Mostre que: (a) Se X Poisson(λ) e Y Poisson(µ), então X + Y Poisson(λ + µ) (b) Se X Binomial(n, p) e Y Binomial(m, p), então (X + Y ) Binomial(n + m, p) (c) Se X Geométrica(p) e Y Geométrica(p), então (X + Y ) Binomial Negativa(2, p) Exercício 02 Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição geométrica de parâmetro p, 0 < p < 1 (a) Determine P(X = Y ) (b) Calcule a função de probabilidade condicional de X dado X + Y = n Identifique a distribuição em causa (c) Calcule P(X + Y = Z) Exercício 03 (Falta de memória e seu uso na caracterização das distribuições geométrica e exponencial) Diz-se que uma variável positiva X, com valores em S, S = IN ou S = IR +, não tem memória se para x, y S: P(X > x + y X > x) = P(X > y) (a) Mostre que se X tem distribuição geométrica, então X não tem memória (b) Mostre que se X é uma variável aleatória discreta com valores em IN e sem memória, então X tem distribuição geométrica (c) Mostre que se X tem distribuição exponencial, então X não tem memória (d) Mostre que se X é uma variável aleatória positiva (absolutamente) contínua e sem memória, então X tem distribuição exponencial Exercício 04 O número de frutos produzidos por uma árvore é uma varável aleatória X Alguns destes frutos, em número de Y, são atacados por uma larva, o que os torna impróprios para consumo Supondo que X possui distribuição de Poisson de parâmetro λ e ainda que cada fruto é atacado pela larva com probabilidade p, independentemente dos outros frutos, determine: 3

4 (a) A função de probabilidade de Y condicional a X = n, com n IN (b) A função de probabilidade de Y (c) Conclua que o número de frutos da árvore que são atacados por larvas (Y ) é independente do número de frutos que não são atacados por larvas (X Y ) e que estas variáveis aleatórias possuem distribuições de Poisson de parâmetros λp e λ(1 p), respectivamente (d) Suponha que Z e W são variáveis aleatórias independentes com distribuições de Poisson de parâmetros α e β, respectivamente Com base nos resultados das alíneas anteriores, adivinhe a distribuição de Z condicional a Z + W = n, n IN, e averigue da validade da proposta de distribuição que tenha sugerido Exercício 05 Suponha que X Exponencial(λ), Y Exponencial(µ) e X e Y são independentes Devido a censura, é impossível observar X e Y directamente; em sua substituição observam-se Z e W, Z = min(x, Y ) e W = (a) Caracterize a distribuição conjunta de Z e W (b) Prove que Z e W são independentes { 1 Z = X 0 Z = Y Exercício 06 Mostre que se (X 1, X 2,,X n ) é uma amostra aleatória de X Exponencial(λ), então (com X 0:n = 0): (a) X 1:n X 0:n, X 2:n X 1:n,,X n:n X n 1:n são variáveis aleatórias independentes e (X i:n X i 1:n ) Exponencial((n i + 1)λ) (b) Calcule, para 0 a b, P(X 1:n a, X n:n b) Exercício 07 O número de entrevistas marcadas por um vendedor em qualquer dia é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro µ A probabilidade de uma entrevista resultar numa venda é de 05 Determine (se os seus cálculos levarem a uma série, ela deve ser somada): (a) A probabilidade de o vendedor conseguir exactamente uma venda num dia arbitrário (b) O valor esperado do número de entrevistas efectuadas em dias em que o vendedor consegue apenas uma venda Exercício 08 Um homem tem n chaves e quer abrir uma porta O homem experimenta as chaves duma forma aleatória Seja N o número de tentativas necessárias para abrir a porta (a) Calcule E(N) e Var(N), se as chaves anteriormente experimentadas e que não abrem a porta: (i) forem eliminadas; e (ii) não forem eliminadas (b) Comente os resultados obtidos na alínea anterior Exercício 09 Sabendo que Λ Exponencial(µ) e (X Λ = λ) Poisson(λ), para λ > 0, determine a distribuição de X 4

5 Exercício 010 Seja N a variável aleatória que representa o número de clientes diários numa loja Suponha que as quantias gastas pelos clientes são independentes e têm valor médio µ e variância σ 2 Determine o valor médio e a variância da quantia total gasta diariamente na loja Exercício 011 Suponha que N pessoas vão a uma festa e colocam os seu chapéus no centro de uma sala onde se misturam completamente; no final da festa, cada pessoa retira ao acaso um chapéu Calcule o valor esperado e a variância do número de pessoas que, no final da festa, retiram o seu chapéu Exercício 012 Uma urna contém n bolas vermelhas e m azuis, com n > m, as quais são removidas uma de cada vez Mostre que a probabilidade de que haja sempre mais bolas vermelhas na urna que bolas azuis (até a última ser removida) é (n m)/(n + m) Exercício 013 A polícia sabe que um perigoso criminoso se encontra na cidade A com probabilidade 03, na cidade B com probabilidade 06 ou então fugiu do país Se ele estiver na cidade i e N i (i = A,B) polícias forem destacados para o capturar ele é apanhado com probabilidade 1 p N i (0 < p < 1), se tiver saído do país não é apanhado Admita que as variáveis aleatórias N i são independentes e com funções de probabilidade: P(N A = n) = 2n e 2, n IN 0 e P(N B = n) = 2 n, n IN n! (a) Qual é a probabilidade de um total de 3 polícias serem envolvidos na captura? (b) Qual é a probabilidade do criminoso ser capturado? (c) Sabendo que o criminoso foi capturado numa cidade em que k polícias o procuraram, qual é a probabilidade de ele ter sido capturado em B? Exercício 014 Componentes electrónicas para exportação são embaladas em caixas que por sua vez são metidas em contentores O peso, em gramas, de cada componente é uma variável aleatória X com distribuição exponencial de parâmetro λ, o número de componentes por caixa é uma variável aleatória N com distribuição de Poisson de parâmetro µ e o número de caixas por contentor é uma variável aleatória K com distribuição geométrica de parâmetro p Supondo que X, N e K são mutuamente independentes, determine: (a) A probabilidade de um contentor seleccionado ao acaso conter apenas uma componente (b) O valor esperado do peso total das componentes contidas num contentor Exercício 015 Sejam X 1, X 2, variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição uniforme em (0, 1) e definam-se: N x = [min {n IN : X n < X n 1 } X 0 = x] e h(x) = E (N x ), com 0 x 1 (a) Obtenha uma equação integral para h(x) por condicionamento em X 1 e conclua dessa equação que h(x) é decrescente em [0, 1] (b) Diferencie ambos os membros da equação obtida em (a) (c) Resolva a equação obtida em (b) 5

6 (d) Para uma segunda abordagem de cálculo de h(x) argumente que P(N x k) = (1 x)k 1, 0 x 1 (k 1)! (e) Indique o intervalo em que h(x), 0 x 1, assume valores Exercício 016 Um grande número de pessoas, N = mk, são submetidas a um teste de sangue O teste pode ser administrado de dois modos: (i) Cada pessoa é testada individualmente (ii) As amostras de sangue de k pessoas são juntas e testadas simultaneamente Se o resultado do teste for negativo, não é necessário fazer mais testes para este grupo de pessoas Se o resultado for positivo, cada uma dessas k pessoas é testada individualmente, em seguida Assuma que a probabilidade, p, de que o resultado de um teste individual seja positivo é a mesma para todas as pessoas e que os resultados para pessoas diferentes são independentes (a) Calcule a probabilidade de que o teste para k pessoas em simultâneo dê resultado positivo (b) Calcule E(X j ), onde X j é o número de testes efectuados segundo o plano (j), para j = i, ii (c) Se p fôr próximo de zero e se pretender escolher o plano de teste com menor número esperado de testes, que plano que deve ser escolhido? Justifique Exercício 017 Sejam Z 1, Z 2,,Z N variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com valores em {1, 2,, k} e seja X N = número de valores distintos em Z 1, Z 2,,Z N (a) Calcule E(X N ), com N IN (b) Calcule E(X N ) no caso em que N Poisson(λ) e Z i Uniforme({1, 2,,k}) Exercício 018 Sejam {X k, k 1} variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Bernoulli(p) e defina-se n S n = X i, n 1 Mostre que S n tem distribuição binomial usando o seguinte método: (a) Prove que para n 1 e 1 k n + 1, P(S n+1 = k) = p P(S n = k 1) + (1 p)p(s n = k) i=1 (b) Resolva a equação recursiva anterior usando funções geradoras de probabilidades Exercício 019 Sejam {X k, k 1} e N variáveis aleatórias com variância finita e assumindo valores em IN 0, tais que {X k, k 1} são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e são independentes de N Use funções geradoras de probabilidades para mostrar que: ( N Var i=1 X i ) = E(N)Var (X 1 ) + E 2 (X 1 )Var(N) 6

7 Exercício 020 Suponha que X é uma variável aleatória inteira e não negativa com função massa de probabilidade {p k } (a) Admita que se observam X componentes e cada uma delas é, independentemente das restantes, defeituosa com probabilidade s(0 < s < 1) Qual é a probabilidade de todas as componentes observadas serem defeituosas? (b) Suponha que T é uma variável aleatória geométrica, independente de X, tal que para n IN 0 : P(T n) = s n, 0 < s < 1 Calcule P(T X) e compare esse valor com o valor obtido em (a) Exercício 021 Um mineiro está preso numa mina com três portas A primeira porta dá acesso a um túnel que o conduz à liberdade ao fim de duas horas A segunda porta dá acesso a um túnel que o conduz ao mesmo local ao fim de três horas E a terceira dá acesso a um túnel que o conduz ao mesmo local ao fim de cinco horas Supondo que o mineiro tem sempre a mesma probabilidade de escolher qualquer uma das portas, calcule a função geradora de momentos da variável aleatória X que representa o tempo necessário para alcançar a liberdade Qual é o número esperado de horas que o mineiro leva até alcançar a liberdade? Exercício 022 Seja X 1, X 2, uma sucessão de variáveis aleatórias tais que X n possui função de distribuição F n (x) = 0 x < n x+n 2n n x < n 1 x n Será que F n converge para uma função de distribuição? Exercício 023 Seja X 1, X 2, uma sucessão de variáveis aleatórias independentes tais que para k = 1, 2, P (X k = 1) = 1 P ( X k = k 2) = 1 1 k 2 Verifique que: [ n ] E X k k=1 k=1 1 k 2 = π2 6 mas n k=1 X k qc Exercício 024 Admita que para n = 1, 2,, X n tem distribuição uniforme em {0, 1,,n} Mostre que X n n d Uniforme[0, 1] Nota: Este resultado é muito importante para a geração de números pseudo-aleatórios da distribuição uniforme em computador, uma vez que estes utilizam matemática discreta Exercício 025 Mostre que se X n Bernoulli(p n ), n = 1, 2, e X Bernoulli(p), então: X n d X p n p 7

8 Exercício 026 Seja X 1, X 2, e Y 1, Y 2, sucessões independentes de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que E(X 1 ) = α, Var(X 1 ) = σ 2, E(Y 1 ) = β( 0) e Var(Y 1 ) = τ 2 Designando, para n IN, determine a distribuição limite de X n = n i=1 X i n n i=1 e Ȳ n = Y i, n Z n = n X n α Ȳ n Exercício 027 Seja X 1, X 2, uma sucessão de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas não-negativas, com função densidade f satisfazendo λ def = lim x 0 f(x) > 0 Mostre que n min(x 1, X 2,,X n ) d Exponencial (λ) 8

9 Capítulo 1 Processos de Poisson Exercício 11 Seja {X k, k 1} uma sucessão de variáveis aleatórias independentes tais que: X k Exponencial (λ k ), k 1 Para n 1, considerem-se as variáveis aleatórias Z n e K n tais que: Z n = min(x 1, X 2,,X n ) e K n = min{1 k n : X k = Z n } (a) Justifique que, para n 1, as variáveis aleatórias Z n e K n são independentes e: ( n ) λ k Z n Exponencial λ k e P(K n = k) = n j=1 λ I {1,2,,n} (k) j k=1 Sugestão: comece por mostrar que para k {1,2,,n} e x 0, P(K n = k,z n > x) = λ k n j=1 λ e (λ1+λ2++λn) x j (b) Conclua que, para n 1 e 1 k n: (X k Z n X k > Z n ) d = X k Exponencial(λ k ) Considere agora que λ k λ; ie que {X k, k 1} é uma sucessão de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Exponencial (λ) (c) Conclua que, para n 1: S n = n X k Erlang (n, λ); k=1 ie, S n possui função densidade de probabilidade dada por: f Sn (x) = λe λx(λx)n 1 (n 1)! I (0,+ )(x) (d) Para n 1, conclua que a variável aleatória S n definida em (c) satisfaz: n 1 P (S n > x) = e λx(λx)k, x > 0; k! k=0 ie, a distribuição Erlang(n, λ) está relacionada com a distribuição de Poisson pela relação: 1 F Erlang(n,λ) (x) = F Poisson(λx) (n 1), x > 0 9

10 (e) Para n 1 e 1 k n, seja X k:n a k-ésima estatística ordinal da amostra aleatória (X 1, X 2,,X n ) ordenada por ordem crescente; ie, X 1:n = min(x 1, X 2,,X n ) X k:n = min{x j, 1 j n : X j > X k 1:n }, 2 k n Conclua, que as variáveis aleatórias X 1:n, X 2:n X 1:n,,X n:n X n 1:n são independentes e que, para 1 k n, com X 0:n = 0, (X k:n X k 1:n ) Exponencial ((n k + 1)λ) (f) Use a alínea anterior para concluir que, para 1 k n: E [X k:n ] = k 1 j=0 1 (n j)λ Exercício 12 O número de sinais emitidos por uma fonte no intervalo (0, t], N(t), tem distribuição Poisson(λt) Cada sinal emitido é registado por um receptor com probabilidade p, independentemente dos restantes sinais emitidos Seja X(t) o número de sinais registados pelo receptor no intervalo (0, t] (a) Calcule a função de probabilidade de X(t) condicional a N(t) = n (b) Determine a distribuição de X(t) Exercício 13 O ministério da saúde de um pequeno país é responsável pelo registo, numa base de dados, de todos os nascimentos que ocorrem nesse país Suponha que os intervalos entre duas notificações consecutivas de nascimentos são independentes e distribuem-se exponencialmente com valor esperado de 2 horas (a) Com o objectivo de gerir o espaço de memória, o responsável pela base de dados pretende saber qual o número esperado de registos anuais Calcule-o (b) Determine a probabilidade do funcionário responsável pela introdução dos registos ficar desocupado durante um dia inteiro (c) Obtenha a probabilidade de serem notificados 100 nascimentos ao fim de 3 dias, sabendo que ao fim dos 2 primeiros desses 3 dias foram notificados 80 Exercício 14 Três clientes A, B e C entram simultaneamente numa estação de correios com dois guichets de atendimento A e B dirigem-se para os guichets, onde são imediatamente atendidos por dois funcionários, ao passo que C só será atendido quando A ou B abandonarem os respectivos guichets Qual é a probabilidade de A ser o último cliente a abandonar a estação de correios, sabendo que a duração do serviço prestado por qualquer dos funcionários é: (a) Exactamente 10 minutos? 10

11 (b) Uma variável aleatória uniforme discreta em {1, 2, 3}? (c) Uma variável aleatória exponencial com parâmetro µ? Exercício 15 É efectuado um número de experiências (idênticas) com distribuição Poisson de valor esperado λ Admita que o conjunto de resultados possíveis das experiências é {1, 2,,n}, que as experiências são independentes e que o resultado de cada experiência é igual a i, 1 i n, com probabilidade p i Para j = 0, 1,, calcule E(X j ) e Var(X j ), onde X j representa o número de resultados possíveis que ocorreram exactamente j vezes no total de experiências efectuadas Exercício 16 Seja {N(t), t 0} um processo com incrementos independentes e estacionários e tal que N(t) tem distribuição de Poisson(λt), designado por Processo de Poisson de taxa λ Determine, para s, t 0: (a) Cov[N(t), N(t + s)] (b) E[N(t)N(t + s)] (c) Mostre que, para n 1, P (N(s) = k N(s + t) = n) = ( ) ( ) n s k ( ) t n k, k = 0, 1,,n k s + t s + t Exercício 17 Um Processo de Poisson Bidimensional (homogéneo) com intensidade λ (> 0) é um processo de ocorrências de eventos no plano real tal que: (i) Para qualquer região do plano de área A, o número de eventos nessa região tem distribuição Poisson(λA); e (ii) Os números de eventos em regiões disjuntas do plano são independentes Suponha que há dois processos de Poisson bidimensionais independentes: 1 e 2, com intensidades λ i (i = 1, 2) e denote-se por X i (i = 1, 2) a distância de um ponto arbitrário do plano ao evento mais próximo do processo i Mostre que: (a) Para i = 1, 2, X i tem função densidade: f Xi (x) = 2λ i πxe λ iπx 2 I (0, ) (x) (b) E[X i ] = (2 λ i ) 1 (c) P(X 1 < X 2 ) = λ 1 /(λ 1 + λ 2 ) (d) A variável aleatória min(x 1, X 2 ) tem função densidade de probabilidade f(x) = 2(λ 1 + λ 2 )πxe (λ 1+λ 2 )πx 2 I (0, ) (x) Que pode concluir com respeito à adição de processos de Poisson bidimensionais independentes? 11

12 Exercício 18 Sejam S 1, S 2 e S 3 os instantes de ocorrência do primeiro, segundo e terceiro eventos de um processo de Poisson de taxa λ Calcule a função densidade de probabilidade conjunta de (S 1, S 2, S 3 ) Exercício 19 Homens e mulheres entram num supermercado de acordo com dois processos de Poisson independentes de taxas λ e µ, respectivamente Começando a contabilização de clientes num instante arbitrário, determine a probabilidade de se registar a entrada de pelo menos n homens antes do registo da entrada de m mulheres, com n, m IN Exercício 110 O Evaristo e o João entram simultaneamente numa barbearia: o Evaristo para lhe fazerem a barba, o João para lhe cortarem o cabelo Supondo que o Evaristo e o João são imediatamente atendidos e que a duração de um corte de cabelo (barba) tem distribuição exponencial de valor esperado 20 (15) minutos, calcule a probabilidade do João se despachar antes do Evaristo Exercício 111 Sejam X 1 e X 2 variáveis aleatórias independentes contínuas e positivas Prove que P (X 1 < X 2 min(x 1, X 2 ) = t) = r 1 (t) r 1 (t) + r 2 (t), t > 0, onde r i (t) = f Xi (t)/[1 F Xi (t)] é a função taxa de falha de X i, i = 1, 2; em adição, verifique que se X 1 e X 2 têm distribuição exponencial a probabilidade anterior não depende de t Exercício 112 Seja {X(t), t 0} um processo de Poisson de taxa λ Suponha que cada chegada é registada com probabilidade p, independentemente das outras chegadas Seja {Y (t), t 0} o processo de contagem das chegadas registadas; ie, para t 0, Y (t) é igual ao número de chegadas registadas no intervalo (0, t] (a) Conclua que se M Geométrica (p), 0 < p 1, for uma variável aleatória independente da sucessão {X k, k 1} de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Exponencial (α), então: M X k Exponencial(αp) k=1 (b) Use o resultado da alínea (a) para concluir que {Y (t), t 0} é um processos de Poisson de taxa λp (c) Mostre que se W Poisson(α) e [(Z 1, Z 2,,Z k ) W = n] Multinomial (n, p 1, p 2,,p k ), então (Z 1, Z 2,,Z k ) é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e: Z j Poisson (αp j ), 1 j k (d) Use agora o resultado da alínea (c) para concluir que {Y (t), t 0} e {X(t) Y (t), t 0} são processos de Poisson independentes, com taxas λp e λ(1 p), respectivamente 12

13 Exercício 113 Sejam {X(t), t 0} e {Y (t), t 0} processos de Poisson independentes de parâmetros λ 1 e λ 2, respectivamente Defina, para t 0, Z 1 (t) = X(t) + Y (t), Z 2 (t) = X(t) Y (t) e Z 3 (t) = X(t) + k, com k IN Diga quais dos processos anteriores são processos de Poisson e em caso afirmativo determine a respectiva taxa Exercício 114 O número de mensagens que chegam a um telégrafo é um processo de Poisson de taxa igual a 3 mensagens por hora (a) Qual é a probabilidade de não chegar nenhuma mensagem no período da manhã (8h às 12h)? (b) Qual é a distribuição da hora a que chega a primeira mensagem da tarde? Exercício 115 Admita que automóveis passam por determinado troço de uma auto-estrada de acordo com um processo de Poisson com taxa λ = 3 carros por minuto (a) Suponha que o Evaristo decide atravessar esse mesmo troço com os olhos vendados Qual é a probabilidade de ele conseguir escapar ileso se a referida travessia demorar s segundos? Responda à questão considerando s = 2, 5, 10, 20 (b) Suponha agora que o Evaristo é suficientemente ágil para conseguir escapar ileso de um automóvel, não acontecendo o mesmo se durante a travessia surgirem dois ou mais automóveis Calcule a probabilidade de o Evaristo não ser ferido, caso a travessia demore s = 5, 10, 20, 30 segundos Exercício 116 Em cada domingo, 15 unidades de um determinado produto são postas em stock para venda nos restantes dias da semana As encomendas desse produto são regidas por um processo de Poisson de taxa igual a 3 unidades por dia Note-se que uma encomenda não resulta numa venda caso não haja unidades em stock Admita ainda que devido à natureza do produto são destruídas em cada domingo todas as unidades que não tenham sido vendidas na semana anterior (a) Calcule a probabilidade de não haver unidades para venda a partir das 0 horas de terçafeira (b) Determine a probabilidade de terem sido vendidas todas as unidades em stock até às 24 horas de sábado (c) Obtenha a expressão do número esperado de unidades destruídas em cada semana Exercício 117 Considere uma via principal (via 1) com um só sentido de tráfego onde, no seu início, surgem veículos segundo um processo de Poisson de taxa λ por minuto Cada veículo que circula na via principal efectua, independentemente dos restantes veículos, um desvio para uma via secundária (via 2) com probabilidade p A via 2 possui um semáforo L metros após o cruzamento da via 1 para essa via Obtenha a expressão que lhe permita calcular o tempo máximo que o semáforo pode estar fechado (x) de modo a garantir que a probabilidade de haver um engarrafamento na via principal provocado por veículos que pretendem virar para a via 2 seja de aproximadamente

14 (a) Suponha que em L metros cabem exactamente k veículos (b) Suponha que os veículos têm comprimento (em metros) variável com distribuição uniforme no intervalo (a, b), com b << L Exercício 118 Considere uma via principal com um único sentido que sofre a incorporação (total) de uma via secundária Carros seguindo na via principal passam no ponto de incorporação da via secundária segundo um processo de Poisson de taxa 10 carros por minuto O Evaristo circula na via secundária e necessita de 10 segundos para entrar na via principal Suponha desprezável o tempo que os carros que circulam na via principal demoram a atravessar a secção de incorporação da via secundária na via principal Sejam: N o número de carros que passam na secção de incorporação da via secundária na via principal enquanto o Evaristo aguarda entrada na via principal; e Y n o instante (em segundos) de passagem do n-ésimo carro que o Evaristo vê passar enquanto espera para entrar na via principal (n = 1, 2,, N) (a) Determine a distribuição de N e calcule o valor do seu terceiro quartil (b) Justifique que caso N 1, então, para n = 1, 2,,N, E[Y n ] = 2n 3 8e 5/3 1 e 5/3 (c) Calcule o valor esperado do tempo que o Evaristo aguarda até iniciar a manobra de incorporação na via principal Considere agora que os carros que seguem na via principal passam no ponto de incorporação da via secundária segundo um processo de Poisson de taxa λ carros por minuto e que o Evaristo necessita de y segundos para entrar na via principal (d) Qual é a probabilidade de passarem n carros, n IN 0, na secção de incorporação da via secundária na via principal enquanto o Evaristo aguarda entrada na via principal? (e) Calcule o valor esperado do tempo que o Evaristo espera até iniciar a incorporação na via principal Exercício 119 Seja {N(t), t 0} um processo de Poisson de taxa λ e Y uma variável aleatória positiva independente de {N(t), t 0} Calcule E(N(Y )) e Var(N(Y )) Exercício 120 Um certo produto é distribuído diariamente, mas a hora da sua chegada é uma variável aleatória com distribuição uniforme entre -1h e 2h (sendo zero a hora de abertura do supermercado) O processo de chegadas dos clientes ao supermercado é um processo de Poisson de taxa 20 (a unidade de tempo é a hora) (a) Sabendo que em cada 100 clientes 60 pretendem adquirir o referido produto, calcule o número esperado de clientes não servidos diariamente devido ao produto não ter sido ainda distribuído 14

15 Ainda no mesmo supermercado vai realizar-se, num determinado dia, uma campanha que consiste em atribuir um prémio a cada 20 o cliente que chegar (b) Qual é a distribuição do intervalo de tempo entre chegadas de clientes premiados? (c) Sabendo que o supermercado está aberto entre as 9h e as 19h indique a expressão que lhe permitiria calcular a probabilidade de ter-se que atribuir exactamente 10 prémios (d) Considere o processo {Y (t), t 0} em que Y (t) representa o número de clientes premiados no intervalo (0, t] Será que {Y (t), t 0} é um processo de Poisson? Justifique Exercício 121 Considere dois processos de Poisson independentes, {X(t), t 0} e {Y (t), t 0}, tais que E(X(t)) = λt e E(Y (t)) = µt Sejam T e T instantes de ocorrência de eventos consecutivos no processo {X(t), t 0} Seja N = Y (T ) Y (T) a variável aleatória que representa o número de ocorrências de eventos do processo {Y (t), t 0} entre T e T Determine a função de probabilidade de N Exercício 122 Um sistema tem duas componentes: 1 e 2, as quais podem avariar em instantes de chegadas de três tipos de choques: I, II e III A componente 1 avaria quando chegam choques dos tipos I e III e a componente 2 avaria quando chegam choques dos tipos II e III Os choques dos tipos I, II e III chegam segundo processos de Poisson independentes de taxas λ 1, λ 2 e λ 3, respectivamente Para j = 1, 2, seja: X j = tempo que decorre até a componente j avariar (a) Mostre que (X 1, X 2 ) tem distribuição tal que para s, t 0: P(X 1 > s, X 2 > t) = e [λ 1s+λ 2 t+λ 3 max(s,t)] (b) Mostre que X 1 e X 2 têm distribuição exponencial e calcule os respectivos parâmetros Exercício 123 Seja (X 1, X 2,,X n ) uma amostra aleatória de uma população exponencial e (a) Calcule P (X 1 > n i=2 X i) M n = max(x 1, X 2,,X n ) (b) Use (a) para mostrar que o máximo da amostra é maior que a soma dos resultantes valores com probabilidade n/2 n 1 ; ie ( P M n > ) n X i M n i=1 = n 2 n 1 (c) Calcule o tempo esperado que decorre até observar eventos em todos os processos de um conjunto de três processos de Poisson independentes de taxa 1 por hora Exercício 124 Impulsos chegam a um contador Geiger segundo um processo de Poisson de taxa 3/minuto Cada impulso tem, independentemente dos restantes, probabilidade 1/3 de ser registado Sejam N(t) e X(t) o número de impulsos que chegam ao contador e o número de impulsos que são registados nos t minutos iniciais, respectivamente 15

16 (a) Mostre que, para n IN 0 e k = 0, 1,,n: P (X(t) = k N(t) = n) = ( ) n 2 n k k 3 n (b) Mostre que, para t 0, X(t) tem distribuição de Poisson e indique o respectivo parâmetro (c) Mostre que para 0 s < t, n IN 0 e k = 0, 1,, n: ( ) n (s ) k ( P (N(s) = k N(t) = n) = 1 s n k k t t) (d) Dado que em 10 minutos foram registados 16 impulsos, qual é o número esperado de impulsos que chegaram ao contador nesse período? (e) Dado que no minuto inicial foram registados 2 impulsos, qual é a probabilidade de que ambos os impulsos registados tenham chegado nos 20 segundos iniciais? Exercício 125 Suponha que {N 1 (t), t 0} e {N 2 (t), t 0} são processos de Poisson independentes com taxas λ 1 e λ 2, respectivamente (a) Mostre que {N 1 (t) + N 2 (t), t 0} é um processo de Poisson com taxa (λ 1 + λ 2 ) (b) Mostre que a probabilidade do primeiro evento do processo {N 1 (t) + N 2 (t), t 0} provir de {N 1 (t), t 0} é igual a λ 1 /(λ 1 +λ 2 ), independentemente do instante da sua ocorrência Exercício 126 Automóveis passam em determinado ponto de uma estrada de acordo com um processo de Poisson de taxa λ = 1 automóvel por minuto Considerando que a percentagem de Porsches que circulam nessa estrada é de 5%, calcule: (a) A probabilidade de passar pelo menos um Porsche no período de uma hora (b) O número esperado de automóveis que passaram no período de uma hora, sabendo que 10 deles eram da marca Porsche (c) A probabilidade de terem passado 5 Porsches ao fim de uma hora, sabendo que nesse mesmo período passaram 50 carros pelo referido ponto da estrada Exercício 127 Seja S r o instante de ocorrência da r-ésima chegada no processo de Poisson {N(t), t 0} de taxa λ (a) Mostre que, para 1 r n e 0 < u < t: P(S r u, N(t) = n) = n k=r λt (λu)k e k! [λ(t u)] n k (n k)! (b) Use o resultado anterior para concluir que a função densidade de probabilidade do instante de ocorrência da r-ésima chegada, condicional à ocorrência de n, 1 r n, chegadas até ao instante t é: f(u) = n! u r 1 (1 (r 1)! (n r)! t r u ) n r I[0,t] (u) t 16

17 Exercício 128 Autocarros chegam a uma estação de serviço de acordo com um processo de Poisson de taxa λ Após a chegada de qualquer autocarro o respectivo depósito começa a ser imediatamente enchido, operação esta que demora um tempo aleatório S com função de distribuição G Uma vez enchido o depósito o autocarro abandona de imediato a referida estação Determine a distribuição do número de autocarros com depósito por encher no instante t Exercício 129 Admita que clientes chegam a um estabelecimento comercial de acordo com um processo de Poisson não homogéneo Entre as 8h e as 17h (período de funcionamento do estabelecimento) os clientes chegam de acordo com as seguintes taxas: Das 8h às 10h à taxa de 4 clientes por hora; Das 10h às 12h à taxa de 8 clientes por hora; Do meio-dia às 14h a taxa aumenta linearmente de 8 clientes para 10 clientes por hora; e Das 14h até ao fecho do estabelecimento a taxa diminui linearmente de 10 para 4 clientes por hora (a) Identifique a função de intensidade do processo e obtenha o número esperado de clientes que visitam o estabelecimento num dia (b) Qual é a probabilidade do número de chegadas entre as 13h e as 15h ser superior a 5? E a de não ocorrerem chegadas nesse mesmo intervalo de tempo? Exercício 130 Sejam T 1, T 2, os tempos entre chegadas consecutivas de um processo de Poisson não homogéneo com função de intensidade {λ(t), t 0} (a) Serão as variáveis aleatórias T 1 e T 2 identicamente distribuídas? (b) Determine a distribuição de T 1 e T 2 Exercício 131 Considere um processo de Poisson não homogéneo caracterizado pela função valor médio Λ(t) = t 2 + 2t, t 0 (a) Qual é a probabilidade de ocorrerem exactamente n eventos entre os instantes 4 e 5? (b) Obtenha a função de intensidade do processo Exercício 132 Considere um processo de Poisson não-homogéneo {N(t), t 0} com (função) valor médio {Λ(t) = t(t + 1), t 0} (a) Calcule a probabilidade de ocorrerem exactamente 2 eventos entre os instantes 1 e 3 (b) Sabendo que ocorrerem exactamente 2 eventos entre os instantes 1 e 3, calcule a probabilidade de ambos os eventos terem ocorrido após o instante 2 (c) Determine a distribuição do tempo de vida residual no instante 2: S N(2)+1 2, com S n sendo o instante do n-ésimo evento do processo de contagem {N(t), t 0} (d) Determine a distribuição da idade do processo no instante 3: 3 S N(3) 17

18 (e) Se um evento que ocorre no instante t, t 0, gera dividendos com valor esperado (em euros) de e 01t, calcule o valor esperado dos dividendos recebidos até ao instante 10 Sugestão: considere o valor esperado da variável aleatória D que representa os dividendos gerados por um evento escolhido ao acaso de entre os eventos que ocorrem até ao instante 10 (f) Justifique, recorrendo à definição, que {N (t), t 0} dado por: ([ ]) 1 + 4t 1 N (t) = N, t 0, 2 é um processo de Poisson e calcule a respectiva taxa (g) Com as definições da alínea anterior, diga se o processo {N + (t) = N ( t), t 0} é um processo de renovamento, se possui incrementos independentes e se possui incrementos estacionários Exercício 133 Seja, para t 0, X(t) o valor total dos prémios pagos por uma companhia de seguros de vida no intervalo (0, t] Pagamentos de prémios de seguros de vida são reclamados à companhia segundo um processo de Poisson de taxa 5 pagamentos por semana Se os prémios forem independentes e possuírem distribuição exponencial com valor esperado dólares, determine: (a) O valor esperado e a variância do valor total de prémios pagos pela companhia num período de 4 semanas (b) Cov(X(s), X(t)), com 0 s t (c) Cov(Y (s), Y (t)), com 0 s t, sendo {Y (t), t 0} um processo de Poisson composto geral Exercício 134 Considere um processo de Poisson condicional em que a intensidade é uma variável aleatória Λ com função densidade de probabilidade f Λ (λ) = αm λ m 1 e αλ (m 1)! isto é, Λ Erlang (m, α), com m IN e α > 0 (a) Mostre que, para n IN 0, I (0,+ ) (λ); e ( m + n 1 P(N(t) = n) = m 1 )( t α + t ) n ( ) α m α + t (Λ N(t) = n) Erlang (m + n, α + t) (b) Calcule P(N(t + h) N(t) = 1 N(t) = n) lim h 0 + h Exercício 135 O aeroporto da cidade natal do Evaristo dispõe de um centro de reservas que funciona 24 horas por dia Após um estudo minucioso do processo de chegadas ao referido centro, considerou-se razoável que: 18

19 Condicionalmente ao conhecimento da taxa de chegadas, as chegadas se regiam por um processo de Poisson; e Em cada dia, a taxa de chegadas de clientes por hora é uma variável aleatória com distribuição exponencial de taxa 4 (a) Qual é a probabilidade de não chegarem clientes ao centro de reservas num período de t horas de um dia? (b) Prove que a probabilidade da referida taxa não exceder os 6 clientes por hora num dia em que no período entre as 0 e as 12 horas chegaram 49 clientes, é igual a F χ 2 (192) (100) Sugestão: use o facto de X Gama(α,δ) 2δX χ 2 (2α) 19

20 Capítulo 2 Movimento Browniano Exercício 21 Seja X = {X(t), t 0} um movimento browniano padrão (a) Determine a distribuição de X(s) + X(t), com 0 s t (b) Determine a distribuição de X(s) condicional a {X(t 1 ) = A, X(t 2 ) = B}, com t 1 < s < t 2 (c) Calcule E[X(t 1 )X(t 2 )X(t 3 )], com 0 < t 1 < t 2 < t 3 Exercício 22 Seja X = {X(t), t 0} um movimento browniano padrão e e defina-se Y = {Y (t) = µt + σx(t), t 0}, com µ IR e σ IR + Y é chamado movimento browniano com tendência µ e coeficiente de difusão σ 2 (a) Calcule a função densidade de probabilidade conjunta de Y (s) e Y (t), 0 s t (b) Assumindo µ = 0, calcule o valor esperado e a variância de Y (t) e diga, justificando, se { Y (t), t 0} possui incrementos independentes (c) Compare a função de covariância de Y com a de um processo de Poisson homogéneo de taxa λ Em que situações são iguais? Exercício 23 Seja {X(t), t 0} um Processo Gaussiano; ie um processo cujas distribuições multidimensionais finitas são (sempre) gaussianas (a) Mostre que {X(t), t 0} é estacionário se e só se {X(t), t 0} for estacionário em covariância (b) Suponha agora que {X(t), t 0} é um movimento browniano padrão e considere o Processo de Ornstein-Uhlenbeck: V (t) = e αt 2 X ( e αt ), t 0 Mostre que {V t), t 0} é um processo gaussiano (c) Obtenha a função valor médio e a função de covariância do processo de Ornstein-Uhlenbeck da alínea anterior Exercício 24 Considere um movimento browniano padrão {X(t), t 0} e defina-se ( ) 1 Y (0) = 0 e Y (t) = t X, t > 0 t 20

21 (a) Determine a distribuição de Y (t), t > 0 (b) A que é igual Cov [Y (s), Y (t)], para 0 < s < t? (c) Prove que {Y (t), t 0} é um movimento browniano padrão (d) Seja T = inf{t > 0 : X(t) = 0} Use (c) para argumentar que P(T = 0) = 1 Nota: para um movimento browninano padrão, a probabilidade de retorno à origem após qualquer instante fixo é 1 Exercício 25 O Evaristo, como jovem yuppie muito empreendedor, decidiu fazer-se sócio de uma empresa portuense ligada à indústria têxtil a partir do dia 1 de Janeiro de 1987 Numa reunião com os restantes sócios da empresa o nosso amigo colheu informações preciosas Ficou a saber que era muito provável que os seus lucros na empresa (em milhares de contos) se comportassem como um movimento browniano padrão, sendo a unidade de tempo o ano E para além disso um dos sócios da empresa, Hans Hotter, adiantou que os lucros do Evaristo - ao fim da primeira quinzena de Junho de 1987 e exactamente cinco anos depois desta data - ainda eram correlacionados entre si (a) O Evaristo ficou muito surpreendido com a observação do Sr Hotter Demonstre que não há razões para qualquer surpresa Devido a um incêndio no gabinete do contabilista do Evaristo, foram perdidos os registos dos lucros respeitantes aos anos No entanto aquele adiantou que sabia de cor os lucros no final de 1987 e de 1990: foram de 12 e 9 milhares de euros, respectivamente Face a esta informação: (b) Esboce a dedução da função densidade de probabilidade do lucro às 24 horas de 31/12/1988 (c) Determine a probabilidade do lucro às 24 horas de 31/12/1988 ter excedido euros Sugestão: Se {X(t), t 0} é um movimento browniano padrão, então, para 0 < t 1 < s < t 2 e A,B IR: E(X(s) X(t 1 ) = A,X(t 2 ) = B) = A + (B A) s t 1 t 2 t 1 e Var(X(s) X(t 1 ) = A,X(t 2 ) = B) = (s t 1)(t 2 s) t 2 t 1 Exercício 26 Mostre que se {A n, n 1} for uma sucessão crescente (ou decrescente) de acontecimentos, então ( ) lim P(A n) = P lim A n n n Nota: lim n A n = k=1 A k se A 1 A 2 ; e lim n A n = k=1 A k se A 1 A 2 Exercício 27 Seja X um movimento browniano padrão e recorde-se que P (X(u) 0, u (t, tx)) = 2 π arcsin ( 1/x ) para t > 0 e x > 1 (a) Conclua que, qualquer que seja a > 0, quase certamente X possui zeros no intervalo (0, a), para o que poderá fazer uso do Exercício 26 21

22 (b) Tendo por base o resultado da alínea anterior, conclua que quase certamente X possui uma infinidade de zeros no intervalo [0, 1) (c) Calcule a função de distribuição do instante de ocorrência do último zero antes do instante 1 (d) Calcule a função de sobrevivência do instante de ocorrência do primeiro zero após o instante 1 (e) Calcule a função densidade de probabilidade conjunta do instante de ocorrência do último zero antes do instante 1 e do primeiro zero após o instante 1 Exercício 28 Seja X um movimento browniano padrão Para t > 0, obtenha a distribuição de: (a) X(t) (b) min 0 s t X(s) (c) X(t) min 0 s t X(s) Exercício 29 Seja X um movimento browniano com tendência µ e coeficiente de difusão σ 2 e defina-se para x IR (a) Conclua que T x = inf{t 0 : X(t) = x} X(t) t µ quase certamente (b) Conclua, através da derivação de uma equação diferencial, que para A, B > 0, P(T A < T B ) = 1 e 2µ σ 2 B (c) Tendo por base a alínea anterior, determine e 2µ σ 2 A e 2µ σ 2 B P(T 1 < T 1 < T 2 ) (d) Tendo por base a alínea (b), conclua que se µ < 0, então ( M = sup X(t) Exponencial 2µ ) t 0 σ 2 Exercício 210 Suponha que comprou acções de uma companhia pelo valor unitário de a + b euros, a, b > 0, e que o preço actual dessas acções é a euros, sendo que decidiu vender as acções quando o respectivo preço atingir a + b euros ou assim que passem mais t unidades de tempo Se o preço das accções for regido por um movimento browniano padrão, qual é a probabilidade de não recuperar o valor investido? 22

23 Exercício 211 O valor de uma determinada acção é descrito por um movimento browniano geométrico com tendência µ = 2% e coeficiente de difusão σ 2 = 0, 01%, sendo que o valor actual da acção é 100 euros Determine pela fórmula de Black-Scholes o valor de uma opção de compra no instante 10 de uma acção pelo valor de (a) 100 euros (b) 120 euros (c) 80 euros Exercício 212 Um processo estocástico Y = {Y (t), t 0} é uma martingala se E[Y (t) Y (u), 0 u s] = Y (s) para 0 s t Conclua que: (a) Se Y é uma martingala, então E[Y (t)] = E[Y (0)], t 0 (b) O movimento browniano padrão é uma martingala (c) Se X é um movimento browniano padrão e Z(t) = X 2 (t) t, t 0 então Z = {Z(t), t 0} é uma martingala e calcule E[Z(t)] (d) Se X é um movimento browniano padrão e { } W(t) = exp cx(t) c2 t, t 0 2 com c sendo uma constante arbitrária, então W = {W(t), t 0} é uma martingala e calcule E[W(t)] Exercício 213 Seja Y = {Y (t), t IR} um processo estacionário em covariância com função de covariância σ(t) = Cov(Y (s), Y (s + t)), s, t IR (a) Conclua que Var(Y (s + t) Y (s)) = 2[σ(0) σ(t)] (b) Seja Z(t) = Y (t + 1) Y (t), t IR Conclua que Z é estacionário em covariância e que Cov(Z(s), Z(s + t)) = 2σ(t) σ(t 1) σ(t + 1) 23

24 Capítulo 3 Cadeias de Markov em Tempo Discreto Exercício 31 Considere a cadeia de Markov {X n, n 0} com espaço de estados {0, 1, 2} e matriz de probabilidades de transição P = Calcule P(X 8 = 2 X 0 = 0) e P(X 4 = 2, X 8 = 2 X 0 = 0) Exercício 32 O Evaristo pode encontrar-se num de três estados de espírito: 1- radiante; 2- assim-assim; 3-macambúzio Caso hoje esteja radiante, o seu estado amanhã será 1, 2 ou 3 com probabilidades 05, 04 e 01, respectivamente Se num dia estiver assim-assim, no dia seguinte estará radiante, assim-assim ou macambúzio com probabilidades 03, 04 e 03 Por fim, caso hoje esteja macambúzio, amanhã encontrar-se-á nos estados 1, 2 ou 3 com probabilidades 02, 03 e 05 (a) Considerando que X n representa o estado de espírito do Evaristo no dia n, identifique a matriz de probabilidades de transição da cadeia de Markov {X n, n 0} (b) Obtenha a probabilidade do Evaristo se encontrar radiante dois dias após ter estado macambúzio (c) Qual é a probabilidade do Evaristo não estar radiante daqui a 4 dias, sabendo que hoje se encontra assim-assim? Exercício 33 Considere o modelo de urnas de Ehrenfest em que M moléculas são distribuídas por 2 urnas Em cada instante de tempo uma molécula, escolhida ao acaso, é trocada de urna Seja X n o número de moléculas na urna 1 após n trocas e seja µ n = E[X n ] (a) Será que {X n, n 0} é uma cadeia de Markov? (b) Mostre que, para n IN 0, µ n+1 = 1 + M 2 M µ n e µ n = M 2 + ( M 2 M ) n ( E[X 0 ] M ) M 2 n 2 24

25 p (c) Será que X n M 2? Exercício 34 Sejam X 1, X 2, variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que, para i = 1, 2,, P(X i = j) = α j, j 0 Considere que é efectuado um registo no instante n se X n > max i=0,1,,n 1 X i (assuma-se que X 0 = 0), sendo nesse caso o valor registado igual a X n Considere ainda que R i representa o i-ésimo valor registado (a) Justifique que {R i, i 1} é uma cadeia de Markov e determine a respectiva matriz de probabilidades de transição (a um passo) (b) Seja, para i IN, T i o tempo que decorre entre o (i 1)-ésimo e i-ésimo registos, com o 0-ésimo registo a ocorrer no instante zero Será que {T i, i 1} é uma cadeia de Markov? E {(R i, T i ), i 1}? Em caso afirmativo, calcule as respectivas probabilidades de transição Exercício 35 Especifique as classes comunicantes das cadeias de Markov com as seguintes matrizes de probabilidades de transição e determine se as mesmas são transientes ou recorrentes: P 1 = P 2 = P 3 = P 4 = P 5 = P 6 = P 7 = Exercício 36 Considere uma cadeia de Markov {X n, n 0} genérica com espaço de estados S e matriz de probabilidades de transição P e seja, para k IN, com P i () = P( X 0 = i) f (k) ij = P i (X 1 j, X 2 j,, X k 1 j, X k = j), i, j S (a) Mostre que a recorrência positiva e a recorrência nula são propriedades de classe (b) Prove que se S é finito, então {X n, n 0} não possui estados recorrentes nulos e nem todos os estados são transientes (c) Mostre que se #S = M (< ) e o estado j pode ser alcançado a partir do estado i, então j pode ser alcançado a partir de i em M passos ou menos (d) Conclua que p (n) ij = n k=1 f (k) ij p (n k) jj, n IN 25

26 (e) Use resultado anterior para concluir que se f ii < 1 e f jj < 1, então: n=1 p (n) ij < e f ij = n=1 p(n) ij 1 + n=1 p(n) jj (f) Justifique que se p ii > 0, então o tempo que decorre até à saída do estado i η i = (inf {n 1 : X n i} X 0 = i) possui distribuição gemétrica e identifique o respectivo parâmetro Exercício 37 A Polícia da cidade-natal do Evaristo identificou seis estados associados aos hábitos televisivos dos seus habitantes: 1 habitante que se recusa a ver TV; 2 vê somente a SIQUE; 3 vê TV com alguma frequência; 4 habitante viciado em TV; 5 habitante sofrendo modificações comportamentais; 6 habitante em coma profundo As transições de um estado para outro podem ser modeladas por uma cadeia de Markov com a seguinte matriz de probabilidades de transição: P / /3 1/ (a) Identifique os estados transientes e recorrentes (b) Partindo do estado 2, obtenha uma expressão para a probabilidade de se atingir o estado 6 antes de atingir o estado 1; ie, a probabilidade de um telespectador da SIQUE vir a entrar em estado de coma Exercício 38 Seja X 0 uma variável aleatória assumindo valores inteiros e {Z n, n 1} uma sucessão de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas a Z, com P(Z = 1) = p = 1 P(Z = 1) = q, 0 < p < 1 A cadeia de Markov {X n, n 0} definida por: X n = X 0 + n Z k, n 0, é um passeio aleatório simples de parâmetro p com posição inicial X 0 k=1 (a) Identifique o espaço de estados do passeio aleatório simples e classifique, em termos de recorrência, os estados (b) Seja R n o número de retornos à origem ocorridos até ao instante n: R n = n 1 {Xk =0}, n 1 k=1 26

27 Conclua que se p = 1/2 então E [R 2n ] = 2n n e que E (R n ) é assintoticamente proporcional a n ( ) 2n 1 n Sugestão: Use a aproximação de Stirling (n! 2π e n n n+1/2, quando n ) Assumindo que X 0 assume um valor fixo no conjunto {0, 1,,K}, considere a variável aleatória N definida por: N = inf{n 0 : X n = 0 X n = K} e o processo estocástico {Y n, n 0} definido por X n Y n = X N n N n > N Para efeitos de interpretação considere-se que Z n é o ganho do jogador A (ao jogador B) na n-ésima partida de um jogo que termina assim que um dos jogadores arruina o outro A variável aleatória N representa então a duração do jogo na situação em que as fortunas iniciais dos jogadores A e B são respectivamente X 0 e K X 0, K é a soma das fortunas dos jogadores A e B (fortuna total) e Y n é a fortuna do jogador A após n jogadas (eventuais) (c) Justifique que {Y n, n 0} é uma cadeia de Markov e obtenha a respectiva matriz de probabilidades de transição P (d) Conclua que P(N < Y 0 = i) = 1, para i = 0, 1,,K Seja ρ = q/p e τ i a probabilidade de ruína do jogador A condicional à sua fortuna inicial ser i: τ i = P (Y N = 0 Y 0 = i), i = 0, 1,,K (e) Justifique que τ 0 = 1, τ K = 0 e τ i+1 τ i = ρ (τ i τ i 1 ), 1 i K 1 (f) Use o resultado da alínea anterior para concluir que τ i = ρi ρ K 1 ρ K, 0 i K (g) Conclua que, para i = 1, 2,,K 1, p ( 1 ρ i+1) / ( 1 ρ i) p 1 2 P(Y 1 = i + 1 Y 0 = i, Y N = K) = (i + 1)/(2i) p = 1 2 Exercício 39 Considere uma cadeia de Markov {Y n, n 0} com espaço de estados IN 0 e matriz de probabilidades de transição q 1 0 p P = 0 q 2 0 p q 3 0 p

28 com 0 < p i < 1 e q i = 1 p i, para i IN, e defina-se N = inf{n 0 : Y n = 0} Se p i p e usando a mesma interpretação que no Exercício 38, o estado 0 pode ser interpretado como o estado de ruína de um jogador que defronta um oponente infinitamente rico e N como o instante em que o jogador atinge o estado de ruína (a) Assumindo p i p, conclua que, para i IN 0, 1 p 1/2 P (N < Y 0 = i) = ρ i p > 1/2 com ρ = (1 p)/p (b) Conclua que, para i IN, p ( 1 ρ i+1) / ( 1 ρ i) p 1 2 P(Y 1 = i + 1 Y 0 = i, N < ) = (i + 1)/(2i) p = 1 2 (c) Como se relacionam os resultados das alíneas (a) e (b) com os resultados obtidos nas alíneas (f) e (g) do Exercício 38? Exercício 310 Dois medicamentos foram desenvolvidos para tratar determinada doença A probabilidade do medicamento i curar um paciente é p i, i = 1, 2, sendo as duas probabilidades de cura desconhecidas mas pertencentes ao intervalo (0, 1) Com o fim de indicar qual é o medicamento que deve ser administrado futuramente no tratamento da referida doença, é importante decidir se p 1 p 2 ou, pelo contrário, p 2 > p 1 Com este objectivo em mente, estuda-se o efeito da administração dos medicamentos 1 e 2 numa série de pacientes com escolha do medicamento a administrar a cada paciente efectuada ao acaso Os resultados dessa experiência são sintetizados em variáveis X i (Y i ) que assumem valor: 1, se o i-ésimo paciente a quem é administrado o medicamento 1 (2) fica curado, e 0, no caso contrário A experiência é terminada assim que haja uma diferença do número de curas obtidas usando os dois medicamentos de valor igual a M, com M IN fixo, para igual número de pacientes tratados por cada um dos medicamentos, e decide-se que: p 1 p 2, se p 2 > p 1, se N (X i Y i ) = M i=1 N (X i Y i ) = M i=1 com 2N sendo o número total de pacientes cujas reacções aos medicamentos 1 ou 2 são usadas para a tomada de decisão: { } n N = inf n 1 : (X i Y i ) = M i=1 Considerando q i = 1 p i, i = 1, 2, e ρ = (p 1 q 2 )/(p 2 q 1 ), conclua (eg, relacionando este problema com o da ruína do jogador e usando a equação de Wald) que: 28

29 (a) A probabilidade de cometer um erro de decisão é igual a 1/(1 + ρ M ) (a) Se p 1 > p 2, o número esperado de pares observados até a tomada de decisão é E(N) = M ρ M 1 (p 1 p 2 )(ρ M + 1) Exercício 311 O Evaristo tem um restaurante onde, nas noites de 6 a feira, se realiza um espectáculo em que participam somente artistas amadores As apresentações são classificadas pela clientela extremamente exigente desse mesmo restaurante numa escala de 1 a 5: a classificação 1 é atribuída a uma apresentação muito boa, enquanto que a classificação 5 é atribuída a qualquer espectáculo de tal modo atroz que pode desencadear distúrbios físicos violentos A probabilidade da actuação de um artista da classe 5 ser seguida por uma cena de pancadaria é igual a 03 Uma vez arrefecidos os ânimos retomam-se as apresentações - the show must go on Considere que a sucessão de estados nas noites de 6 a feira pode ser modelada por uma cadeia de Markov com 6 estados: o estado 6 representa uma cena de pancadaria e o estado i uma actuação de um artista da classe i, para 1 i 5; a respectiva matriz de probabilidades de transição é P = Jogando sempre pelo seguro, o Evaristo inicia o espectáculo com um artista que ele sabe ser da classe 2 (a) Qual é a probabilidade de uma estrela - artista da classe 1 - ser descoberta antes de se iniciar uma cena de pancadaria? (b) Determine o número esperado de actuações que precedem a primeira cena de pancadaria da noite Exercício 312 O Evaristo possui um outro restaurante cujas finanças anuais podem encontrarse num dos seguintes estados: 1 - falência; 2 - quase-falência; 3 - solvência A matriz de probabilidades de transição associada à cadeia de Markov que modela o estado financeiro anual do referido restaurante é P = [ ] (a) Calcule, para n IN, o vector f (n) 13 f (n) 23 f (n) 33 Note-se que, para i = 1, 2, 3, f (n) i3 é a probabilidade de, tendo partido do estado i, o estado de solvência ser atingido (a partir do primeiro ano) pela primeira vez ao fim de n anos (b) Calcule o número esperado de anos que o Evaristo aguentará até à falência assumindo que se encontrava inicialmente no estado de solvência 29

30 Exercício 313 As finanças anuais da Casa do Dámouro podem ser modeladas por uma cadeia de Markov com espaço de estados {0, 1, 2} (0 falência; 1 quase-falência; 2 solvência) com matriz de probabilidades de transição P = sendo que a transição que ocorre após ser atingido o estado de falência se deve à injecção de dinheiro que o Estado efectua na Casa do Dámouro (a) A cadeia de Markov descrita é irredutível? É aperiódica? (b) Determine o número esperado de anos que decorrem entre injecções de dinheiro pelo Estado (c) Calcule o número esperado de anos que decorrem até haver injecção de dinheiro pelo Estado partindo do estado de quase-falência (d) Partindo do estado de solvência, calcule a probabilidade de não demorar mais de três anos a ocorrer a primeira injecção de dinheiro pelo Estado Exercício 314 Uma urna contém bolas azuis e/ou bolas brancas, num total de K bolas Em cada instante, uma bola escolhida ao acaso é retirada da urna Se a bola retirada for azul, é colocada novamente na urna; se for branca, é substituída por uma bola azul retirada de um saco com bolas azuis Seja X n o número de bola azuis na urna depois de a operação anterior ter sido efectuada n vezes, n 0, e µ n = E[X n ] Para 0 i, j K, defina-se: T ij = inf{n 0 : X n = j X 0 = i} (a) Derive a recursão: e conclua que: µ n+1 = (1 1/K) µ n + 1, n 0, µ n = K (1 1/K) n [K µ 0 ] (b) Justifique que, para 0 i < K, E[T i,i+1 ] = (1 i/k) 1 (c) Calcule, para 0 i < K, E[T i,k ] (d) Será que existe uma distribuição limite para X n? Em caso afirmativo, determine-a Exercício 315 O Evaristo Jr, o filho mais problemático do Evaristo, pode encontrar-se em 4 estados de espírito No estado 1 ele manifesta tendências suicidas, enquanto que no estado 4 procura ajuda psiquiátrica Os estados 2 e 3 correspondem a estados depressivos As mudanças 30

31 de estado de espírito do Evaristo Jr são modeladas por uma cadeia de Markov com matriz de probabilidades de transição P = (a) Calcule as probabilidades do Evaristo Jr cometer suicídio partindo dos estados depressivos 2 e 3 (b) Calcule os números esperados de mudanças de estado de espírito, partindo dos estados depressivos 2 e 3, necessárias para que o Evaristo Jr procure ajuda psiquiátrica Exercício 316 O Evaristo tem uma pequena vinha numa região onde as condições atmosféricas diárias podem ser modeladas por uma cadeia de Markov com quatro estados (1 dia soalheiro; 2 dia fresco; 3 dia nublado; e 4 dia chuvoso) e com matriz de probabilidades de transição P = O Evaristo sabe que as uvas ainda não estão prontas para a apanha: um pouco mais de sol tornálas-ia deliciosas, ao passo que um dia chuvoso arruiná-las-ia De forma a ajudá-lo a decidir se deverá ou não iniciar a vindima hoje e sabendo que o dia está nublado: (a) Calcule a probabilidade de a vinha vir a ter um dia soalheiro antes de um dia de chuva (b) Recorrendo eventualmente ao facto de = calcule o número esperado de dias que antecedem um dia chuvoso Exercício 317 Uma aranha caça uma mosca movendo-se do compartimento 1 para o compartimento 2, e vice-versa, de acordo com uma cadeia de Markov com matriz de probabilidades de transição A, enquanto que a mosca, sem se aperceber da presença da aranha, desloca-se de um compartimento para o outro de acordo com uma cadeia de Markov com matriz de probabilidades de transição M, sendo [ ] [ ] A = e M = A aranha apanha imediatamente a mosca desde que os dois insectos se encontrem no mesmo compartimento, terminando assim a caçada (a) Mostre que, ignorando o número do compartimento em que termina a caçada, o progresso da caçada pode ser descrito à custa de uma cadeia de Markov com três estados e obtenha a matriz de probabilidades de transição dessa mesma cadeia 31

32 (b) Determine a probabilidade de a aranha e a mosca se encontrarem no instante n (assumindo, obviamente, que no instante 0 a aranha e a mosca se encontram em compartimentos opostos) (c) Determine a duração esperada da caçada Exercício 318 Considere uma cadeia de Markov {X n, n 0} com espaço de estado IN 0 e matriz de probabilidades de transição P, sendo que o estado 0 é absorvente e os restantes transientes Seja N = inf{n 0 : X n = 0} e defina-se, para i, n IN 0, m i = E(N X 0 = i) e σ i (n) = P(N > n X 0 = i) (a) Mostre que os valores esperados do tempo que decorre até absorção partindo do estado i (m i ), i 1, satisfazem o seguinte sistema linear de equações: m i = 1 + p ij m j (b) Deduza, para n 0, uma fórmula que lhe permita obter σ i (n + 1), i 1, à custa de {σ j (n), j 1} Exercício 319 Considere um processo de ramificação {X n, n 0} em que o número de descendentes por indivíduo possui valor esperado µ(> 0), variância σ 2 (< ), função massa de probabilidade {p k, k 0} e função geradora de probabilidades P(s), 0 s 1 Para n IN 0, seja P n (s), 0 s 1, a função geradora de probabilidades do tamanho da população iniciada por um único indivíduo na n-ésima geração (X n X 0 = 1) e considerem-se a probabilidade de a população iniciada por um indivíduo estar extinta na n-ésima geração, π n = P (X n = 0 X 0 = 1) = P n (0), e a probabilidade de extinção da população iniciada por um indivíduo, π = P (inf{n 1 : X n = 0} < X 0 = 1) Assuma-se ainda que E[X 0 ] > 0 e Var[X 0 ] < j=1 (a) Mostre que, para n IN 0, E[X n ] = E[X 0 ] µ n e µ 1 E[X k ] = E[X 0 ]/(1 µ) µ < 1 k=0 Que consequência tem o resultado descrito em relação à probabilidade de extinção da população? (b) Mostre que, para n IN 0, Var[X n ] = µ 2n Var[X 0 ] + E[X 0 ] σ 2 µ n 1 µn 1 µ 1 µ 1 nσ 2 µ = 1 32

33 (c) Conclua que {π n, n 0} é uma sucessão não-decrescente de probabilidades e que π = lim n P n(0) = lim n π n (d) Conclua que as funções geradoras de probabilidades P n, n 0, satisfazem a recursão com P 0 (s) = s, 0 s 1 P n+1 (s) = P n (P(s)) = P(P n (s)), 0 s 1 (e) Baseando-se nos resultados das alíneas (c) e (d), conclua que π é a menor solução da equação no intervalo [0, 1] s = P(s) (f) Conclua que se p 0 + p 1 = 1, então: p 0 + p 1 s p 1 < 1 P(s) = s p 1 = 1 1 p 1 < 1 e π = 0 p 1 = 1 (g) Conclua que se p 0 + p 1 < 1, então P(s) é uma função contínua, estritamente crescente e estritamente convexa no intervalo [0, 1] e verifica: µ 1 lim s 1 P (s) 1 (h) A partir dos resultados das 3 alíneas anteriores, conclua que se p 1 1, então π < 1 µ > 1 (i) Calcule o valor de π nos casos em que: p 0 1/2 = 1/4, p 1 p 2 1/4 1/4 1/12, 2/3 1/4 1/2 1/4 (j) Justifique que P(extinção da população) = P ( ) inf X n = 0 = E ( π X ) 0 n 0 Exercício 320 Seja {X n, n 0} um processo de ramificação em que o número de descendentes directos de um indivíduo possui distribuição Binomial (2, p) (a) Calcule a probabilidade de um indivíduo não possuir qualquer descendente ao fim de 3 gerações (b) Conclua que a probabilidade de extinção da população iniciada por um indivíduo é: 1 p 1 2 π = ( ) 2 1 p p p >

34 (c) Conclua que se X 0 Poisson (λ), então a probabilidade de extinção da população é: ( ) P inf X 1 p 1 n = 0 = ( ) 2 n 0 exp λ 2p 1 p > 1 p 2 2 Exercício 321 Uma corrente fraca de electrões pode ser amplificada por utilização de um aparelho constituído por diversas placas Ao embater numa placa, cada electrão dá origem a um número aleatório de outros electrões, que por sua vez, ao embaterem na próxima placa, geram outros electrões, e assim sucessivamente Suponha que o número de electrões a que cada electrão dá origem por embate tem distribuição Poisson (λ) (a) Determine o valor esperado e a variância da amplificação de um único electrão inicial na n-ésima placa (b) Determine uma expressão para a probabilidade de ocorrência de amplificação num número infinito de placas, supondo que λ = 101 Exercício 322 Considere uma cadeia de Markov com dois estados e cuja matriz de probabilidades de transição é, com 0 p 1: [ ] p 1 p P = 1 p p (a) Determine, em função do valor de p, as classes comunicantes da cadeia de Markov (b) Mostre por indução matemática que: [ 1 P n = 2 + (2p 1)n (2p 1)n (2p 1)n (2p 1)n 2 ] Suponha que o Sr Stressado tem dois caminhos, A e B, para ir de casa ao emprego, e vice-versa Sempre que demora mais de 30 minutos em fila usando um dos caminhos, o Sr Stressado utiliza o caminho contrário na viagem seguinte A probabilidade de o Sr Stressado demorar mais de 30 minutos em fila é em cada viagem, independentemente das restantes, 07 Suponha que na 1 a viagem o Sr Stressado utiliza o caminho A (c) Calcule a probabilidade de o Sr Stressado utilizar o caminho A na sua 3 a viagem (d) A longo-prazo, que fração de vezes utiliza o Sr Stressado o caminha A? Exercício 323 Admita que no país-natal do Evaristo a mobilidade entre as classes sociais baixa (1), média (2) e alta (3) de uma geração para outra é descrita por uma cadeia de Markov com matriz de probabilidades de transição P = Qual é a percentagem, a longo-prazo, de habitantes em cada uma das três classes sociais? 34

35 Exercício 324 Uma matriz de probabilidades de transição P é duplamente estocástica se as somas por coluna são iguais a 1; ie p ij = 1, i (a) Conclua que se uma cadeia de Markov {X n, n 0} com espaço de estados finito, S, e matriz de probabilidades de transição duplamente estocástica é irredutível e aperiódica, então possui probabilidades limite j P j = lim n P(X n = j) = 1 #S, j S (b) Seja Y n a soma do número de pontos obtidos em n lançamentos independentes de um dado perfeito Determine, recorrendo eventualmente ao resultado da alínea anterior, lim P(mod(Y n, 4) = j), j = 0, 1, 2, 3 n Exercício 325 Uma partícula desloca-se sobre uma circunferência parando em cinco pontos previamente marcados no sentido dos ponteiros do relógio: 0, 1, 2, 3 e 4 Em cada passo a partícula desloca-se no sentido dos ponteiros do relógio com probabilidade p, e no sentido contrário com probabilidade 1 p, com 0 < p < 1 Seja, para n IN 0, X n a posição da partícula no instante n (a) Justifique que {X n, n 0} é uma cadeia de Markov e determine a respectiva matriz de probabilidades de transição P (b) Será que {X n, n 0} possui uma distribuição limite? Se assim for, determine as probabilidades limite dos estados da cadeia de Markov e interprete-as Exercício 326 Um indivíduo possui r guarda-chuvas que usa nos trajectos entre a casa e o escritório Se ao sair de casa ou do escritório não estiver a chover, ele não transporta nenhum guarda-chuva com ele; mas, se estiver a chover e houver algum guarda-chuva nesse local, ele usa um desses guarda-chuvas no trajecto para o outro local Assuma que, independentemente do passado, chove com probabilidade p, 0 < p < 1, em cada trajecto que o indivíduo efectua (a) Defina uma cadeia de Markov que ajude a determinar a proporção de vezes que o indivíduo se molha nos trajectos casa-escritório e escritório-casa (b) Mostre que as probabilidades estacionárias do indivíduo possuir i, 0 i r, guarda-chuvas em casa (ou no escritório) são dadas por: 1 p r+1 p i = 0 P i = 1 i = 1, 2,,r r+1 p (c) A longo-prazo, qual é a fracção de vezes que o indivíduo se molha? (d) Para r = 3, que valor de p maximiza a fracção de vezes que o indivíduo se molha? 35

36 Exercício 327 O Evaristo faz 30 minutos de jogging todas as manhãs, saindo pela porta da frente ou pela das traseiras com igual probabilidade À saída de casa calça um par de tennis ou, caso não haja nenhum par de tennis à porta que escolheu para a saída, faz jogging descalço Finda a sessão de jogging o Evaristo volta a casa, entrando pela porta da frente ou pela das traseiras com igual probabilidade Caso não tenha corrido descalço, deixa os tennis utilizados à porta que escolheu para a entrada Supondo que o Evaristo possui no total K pares de tennis, qual é, a longo-prazo, a proporção de vezes que o Evaristo corre descalço? Exercício 328 O nosso herói, o Evaristo, é jogador de uma equipa de basquetebol semiprofissional O número de pontos que ele marca em cada jogo flutua entre três estados: 1 - zero ou um ponto; 2 - de dois a quatro pontos; 3 - cinco ou mais pontos Para mal da equipa, quando o Evaristo marca muitos pontos num certo jogo, os seus companheiros de equipa recusam-se a passar-lhe a bola na partida seguinte e, inevitavelmente, o Evaristo não marca pontos A estatística da equipa, Dra M Aliha Cunha, depois de ter observado as transições entre estados, concluiu que essas transições podem ser modeladas por por uma cadeia de Markov com matriz de probabilidades de transição 0 1/3 2/3 P = 1/3 0 2/ Os salários dos jogadores da equipa dependem da pontuação marcada em cada jogo Assim, o Evaristo recebe 40, 30 e 20 euros por jogo, se a pontuação pertencer aos estados 3, 2 e 1, respectivamente (a) Qual é a proporção de jogos, a longo-prazo, em que o número de pontos marcados pelo Evaristo é superior a 4? (b) Qual é, a longo-prazo, o ganho médio do Evaristo por jogo? Exercício 329 O Evaristo, como qualquer paciente que se preze pelos seus dentes, vai ao dentista de seis em seis meses No entanto, por ser extremamente guloso e adorar chocolates, o estado dos dentes do Evaristo varia, de uma visita para a seguinte, de acordo com uma cadeia de Markov com quatro estados que requerem as seguintes intervenções por parte do dentista: 1 - nenhuma; 2 - destartarização; 3 - obturação; 4 - limpeza de um canal A conta do dentista é de 20, 30, 50 e 300 euros se os dentes do Evaristo estiverem nos estados 1, 2, 3 e 4, respectivamente As transições de um estado para outro são regidas pela seguinte matriz de probabilidades de transição P = (a) Qual é, aproximadamente, a percentagem de visitas em que o Evaristo paga pelo menos 50 euros? 36

37 (b) Determine, aproximadamente, o custo anual médio de manutenção dos dentes do Evaristo Exercício 330 O modelo que se descreve a seguir foi proposto pelos físicos P e T Ehrenfest para descrever a divisão de moléculas de ar em duas câmaras de igual dimensão e forma, ligadas por um pequeno canal de comunicação, e é conhecido por modelo de Ehrenfest Em duas câmaras (1 e 2) de igual dimensão e forma, ligadas por um pequeno canal de comunicação, há, no total, M moléculas de ar Em cada instante, cada uma das M moléculas tem igual probabilidade de ser aquela que passa da câmara em que se encontra para a outra câmara Seja, para n IN, X n o número de moléculas de ar que se encontram na câmara 1 (a) Justifique que o processo {X n, n 0} constitui uma cadeia de Markov em tempo discreto (b) Obtenha a matriz de probabilidades de transição de {X n, n 0} (c) Classifique os estados de {X n, n 0}; nomeadamente, identifique as classes de estados e classifique-os quanto à recorrência/transiência (d) Caso seja possível, determine as probabilidades limite de {X n, n 0} e interprete-as Exercício 331 Suponha que um conjunto de M bolas é distribuído por m urnas, numeradas de 1 a m, sendo inicialmente (instante 0) colocadas todas as bolas na urna 1 Em cada instante n, n = 1, 2,, é escolhida ao acaso uma bola, a qual é retirada da urna em que se encontra e colocada numa urna seleccionada ao acaso Sejam para n IN 0 : X n = número de bolas na urna 1 no instante n Y n = número de urnas com bolas no instante n (a) Mostre que {X n, n 0} é uma cadeia de Markov irredutível e recorrente positiva, e que a respectiva matriz de probabilidades de transição P é, para i = 0, 1,,M, dada por: ( ) 1 i 1 M m j = i + 1 p ij = i m 1 M m j = i 1 1 p i,j 1 p i,j+1 j = i (b) Usando a identidade E[Z] = E[E[Z W]], mostre que: E[X n+1 ] = 1 ( m ) E[X n ], n IN 0 M (c) Use a relação anterior para concluir que o número esperado de bolas na urna 1 no instante n tende para M/m, à medida que n tende para infinito (d) Use (a) para concluir que a distribuição limite de {X n, n 0} é binomial e identifique os respectivos parâmetros (pode começar por esta parte) Que distribuição deve ter X 0 para que {X n, n 0} seja uma sucessão de variáveis aleatórias identicamente distribuídas? (e) Diga, justificando, se {Y n, n 0} é uma cadeia de Markov 37

38 Exercício 332 Considere que M bolas são distribuídas por m urnas Em cada instante uma bola é escolhida ao acaso, retirada da urna em que se encontra e colocada ao acaso numa das outras (m 1) urnas (a) Tente adivinhar a probabilidade estacionária de haver n i bolas na urna i, para i = 1, 2,,m, e confirme o resultado usando a teoria das cadeias de Markov (b) Compare o resultado obtido na alínea anterior no caso de duas urnas (m = 2) com os obtidos na alínea (d) do Exercício 330 (referente ao modelo de Ehrenfest) e na alínea (d) do Exercício 331 Exercício 333 Considere uma cadeia de Markov com espaço de estados {0, 1,,M} e matriz de probabilidades de transição P com α i i < M, j = i + 1 com 0 < α i < 1, 0 i M α M i = j = M p ij = 1 α i i > 0, j = i 1 1 α 0 i = j = 0 0 cc (a) Prove que esta cadeia de Markov é reversível no tempo e determine as suas probabilidades limite (b) Particularize as probabilidades limite calculadas na alínea (a) ao caso em que α i α Exercício 334 Uma urna contém duas bolas vermelhas antes de ser iniciado o processo que se descreve a seguir Em cada instante n, n IN, retira-se uma bola da urna e substitui-se esta por uma bola vermelha, com probabilidade p, ou por uma bola azul, com probabilidade 1 p, sendo 0 < p < 1 Sejam, para n IN, X n o número de bolas vermelhas na urna no instante n (depois de ter sido efectuada a troca de bolas); e 1 se a bola colocada na urna no instante n é vermelha Y n = 0 cc (a) Será que existe uma variável aleatória X tal que X n d X? Em caso afirmativo determine a distribuição de X (b) Será que existe uma constante k verificando n 1 n i=1 Y p i k? Caso ela exista, indique o seu valor Exercício 335 Seja G um grafo conexo arbitrário com custo c ij associado à aresta que liga os vértices i e j Considere que uma partícula se desloca do vértice i para o vértice j com probabilidade p ij = c ij / k c ik 38

39 onde c ik = 0 caso não exista aresta ligando os vértices i e k Defina uma cadeia de Markov que descreva o movimento da partícula e demonstre que a referida cadeia é reversível no tempo Exercício 336 Seja {X n, n 0} uma cadeia de Markov com espaço de estados IN 0, irredutível, aperiódica, recorrente positiva e com probabilidades limites {π n, n 0} Considere um novo processo estocástico {Y k, k 0} onde Y k é o k-ésimo valor da cadeia de Markov {X n, n 0} que pertence ao conjunto {0, 1,,N}; por exemplo, se N = 3 e X 1 = 1, X 2 = 3, X 3 = 5, X 4 = 6 e X 5 = 2, então Y 1 = 1, Y 2 = 3 e Y 3 = 2 (a) Justifique que {Y k, k 0} é uma cadeia de Markov (b) Qual é, a longo-prazo, a proporção de tempo que {Y k, k 0} passa em cada um dos estados? (c) A reversibilidade no tempo da cadeia de Markov original implica a reversibilidade no tempo de {Y n, n 0}? Considere agora a cadeia de Markov {Z n, n 0}, resultante da truncagem de {X n, n 0} a {0, 1,,N}, com espaço de estados {0, 1,,N} e com matriz de probabilidades de transição P p ij / N k=0 p ij = p ik 0 i, j N 0 cc (d) Conclua que se {X n, n 0} é reversível no tempo, então {Z n, n 0} também é reversível no tempo e determine as suas probabilidades limite Exercício 337 O táxi do Evaristo passa alternadamente por três locais Quando chega ao local 1, dirige-se de imediato para os restantes locais com igual probabilidade Ao chegar ao local 2, dirige-se imediatamente para o local 1 com probabilidade 1/3 ou para o local 3 com probabilidade 2/3 Do local 3 dirige-se sempre para o local 1 Os tempos esperados das deslocações do local i para o local j, t ij, são iguais a: t 12 = 20, t 13 = 30, t 23 = 30, (t ij = t ji ) (a) Qual é a probabilidade limite do local de paragem do Evaristo ser o local i, i = 1, 2, 3? (b) Determine a probabilidade limite do táxi estar a dirigir-se para o local 2 lim P (no instante t o táxi estar a dirigir-se para o local 2) t (c) Calcule a fracção de tempo, a longo-prazo, que o Evaristo dispende a viajar do local 2 para o local 3 Exercício 338 Uma máquina da oficina do Evaristo pode encontrar-se num de três estados: 1 em funcionamento perfeito; 2 em condições aceitáveis; e 3 em reparação Suponha que a máquina: permanece no estado 1 durante um tempo com valor esperado µ 1, e desse estado transita para os estados 2 e 3 com probabilidades 3/4 e 1/4, respectivamente; permanece no estado 2 durante um tempo com valor esperado µ 2, necessitando a seguir reparação; e 39

40 permanece no estado 3 durante um tempo com valor esperado µ 3, transitando de seguida para os estados 1 e 2 com probabilidades iguais a 2/3 e 1/3, respectivamente A longo-prazo, que proporção de tempo permanece a máquina em cada um dos estados? Exercício 339 O estado de um sistema de segurança é descrito por um processo semi-markoviano com espaço de estados {1, 2, 3}, tempo esperado de permanência no estado i igual a i, i = 1, 2, 3, e matriz de probabilidades de transição tal que p 12 = 1, p 21 = p 23 = 05 e p 31 = 1 (a) Qual é, a longo-prazo, a proporção de transições que conduzem o sistema ao estado 1? (b) A longo-prazo, que proporção de tempo fica o sistema em cada um dos estados? Exercício 340 Sejam X (i) = {X n (i), n 0}, i = 1, 2, dois processos de ramificação com função de probabilidade do número de descendentes por indivíduo {p (i) j, j 0}, i = 1, 2 Mostre que se X (1) 0 = X (2) 0 = 1 e j=k p (1) j j=k p (2) j, k 0 então X (1) st X (2) e a probabilidade de extinção é maior para X (1) que para X (2) Exercício 341 Sejam X (i) = {X (i) n, n 0}, i = 1, 2, dois passeios aleatórios em IN 0, com probabilidades de transição p (i) 0,0 = 1, p(i) j,j+1 = p(i) j = 1 p (i) j,j 1, i = 1, 2 e j 1 Mostre que se X (1) 0 X (2) 0 e p (1) j p (2) j, para j 1, então X (1) st X (2) Será que podemos ( tirar alguma conclusão se o estado 0 passar a ser reflector ie, p (1) 0,1 = p(2) 0,1 )? = 1 Exercício 342 Uma máquina produz artigos segundo um processo de Poisson {N(t), t 0} de taxa λ Um empregado embala os artigos pela ordem com que são produzidos Os tempos de embalagem dos artigos são independentes e possuem distribuição Exponencial de parâmetro µ Seja, para n 0, X n o número de artigos que estão por embalar imediatamente após a terminação da embalagem do n-ésimo artigo e p 0 p 1 p 2 p 3 p 0 p 1 p 2 p 3 P = 0 p 0 p 1 p p 0 p 1 (a) Justifique que {X n, n 0} é uma cadeia de Markov em {0, 1, } com matriz de probabilidades de transição P e explicite o significado de p k, k 0 (b) Conclua que {p k } GeomMod (µ/(µ + λ)) (c) Mostre que {X n, n 0} cresce estocasticamente com λ e com µ 1 Sugestão: Use o facto de l k p il ser função não decrescente de i (d) Nas condições da alínea anterior e com λ = µ, mostre que {X n, n 0} não possui distribuição limite (e) Conclua que, para λ < µ, a cadeia de Markov {X n, n 0} não é reversível no tempo e determine a respectiva distribuição limite 40