Exame 1ª Época I (30%) Histograma de Área 1

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1 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 04 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Fernando Brito Soares Graça Silva Pedro Chaves Exame ª Época Data: de Junho de 007, 8:0 Duração: :0 horas Nota: A utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset Atenção: Responda a cada grupo numa folha separada Apresente todos os cálculos e/ou justificações para as suas respostas I (0%) Foi realizado um estudo sobre os minutos em que os golos são marcados num jogo de futebol (contando com os descontos) em Portugal Para isso, recolheu se uma amostra de golos e dos minutos de jogo em que ocorreram As observações foram divididas em 4 classes, compreendidas entre 0 e 00 minutos e tratadas estatisticamente Conhece se o seguinte histograma de área incompleto: 0,0 f j /h j Histograma de Área 0,0 0,008 0,006 0,004?? 0, x j Pelo histograma, podemos ver que todas as classes têm a mesma densidade de frequência Sabe se que as duas primeiras classes estão compreendidas entre 0 e 60 minutos e outras duas entre 60 e 00 minutos No entanto, não se conhece o limite superior da ª e ª classes (conforme demonstrado pelos pontos de interrogação)

2 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Exame ª Época a) (5%) Comente a seguinte informação: Dado que todas as classes têm a mesma densidade de frequência, estamos perante uma distribuição igualitária e, portanto, o índice de Gini é 0 b) (0%) Sabe se ainda que a frequência relativa da ª classe é 0, e que o ponto médio da ª classe é 75 Construa a tabela de frequências relativas, indicando, para cada classe, o intervalo, o ponto médio, a amplitude e a frequência relativa simples e acumulada c) (5%) (Se não resolveu a alínea b, ignore o seu enunciado e considere x =]0,0], x =]60,80], f =0,, f =0,5 e f =0,) Calcule a média da subamostra que inclui as duas primeiras classes e a média da subamostra que inclui as restantes A partir destas duas medidas, calcule a média da amostra total d) (0%) O mesmo estudo foi feito em Espanha Recolheram se informações sobre 50 golos e a amostra resultante apresentou uma média igual à da amostra dos golos portugueses e uma variância de 500 minutos As informações dos dois países foram reunidas e a amostra geral que daqui resultou apresentou uma variância de 700 minutos Indique o número de observações da amostra portuguesa Quantos golos foram marcados antes de uma hora de jogo, em Portugal? II (0%) Um assistente de Análise de Dados e Probabilidade, que se encosta ao quadro durante as aulas, decidiu passar a comprar todos os anos o seu próprio giz, apagador e detergente Como sabia que o seu irmão ia começar a vender estes produtos, comprometeu se a comprar lhos e este, por sua vez, a não vender a mais ninguém Acordaram que, no primeiro ano (t=0), os três produtos teriam o mesmo preço unitário, p Depois, todos os anos, o preço do giz cresceria a uma taxa c, o preço do apagador decresceria à mesma taxa e o preço do detergente não se alteraria Sabe se que o assistente reserva um montante (constante) todos os anos para a despesa total com os bens Sabe se ainda que a sua procura, para cada um dos bens, é dada por q i = p i, pelo que, todos os anos, é despendido na sua totalidade a) (0%) Qual o índice elo de preços para cada um dos bens, em qualquer ano? E o índice elo de quantidades? Que relação existe entre eles? b) (5%) Assuma os seguintes valores: p=, =0 e c=0,5 Calcule os índices de Laspeyres de preços e de quantidades do ano, com base no ano 0 Sem os calcular directamente, indique o valor dos índices de despesa, Paasche de preços e Paasche de quantidades referentes ao mesmo período c) (5%) Agora, para valores gerais de p, e c, encontre o valor do índice de Laspeyres de preços e uma expressão para o índice de Laspeyres de quantidades que dependa apenas de c, ambos para um ano t, com base no ano anterior (sugestão: pense no que este tipo de procura implica sobre a percentagem de despesa em cada um dos bens)

3 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Exame ª Época III (0%) Sabe se que, entre os habitantes de uma dada cidade, que têm um animal de estimação, 50% têm um cão, 0% têm um gato e os restantes têm outro animal A probabilidade de um animal de estimação ser abandonado durante as férias de Verão é 60% para os cães, 40% para os gatos e 0% para os restantes animais a) (0%) Escolhendo um animal ao acaso, qual a probabilidade de este ser abandonado durante as férias de Verão? b) (0%) Sabendo que um animal foi abandonado, qual a probabilidade de este não ser um cão? IV (0%) Um estudo efectuado pelo Ministério das Finanças permitiu concluir que o tempo que os contribuintes demoram a preencher uma declaração do tipo A via Internet segue uma distribuição Normal com média 00 minutos e desvio padrão 0 minutos a) (5%) Qual a probabilidade de um contribuinte, que preenche uma declaração tipo A via Internet, demorar mais do que horas a preencher a sua declaração? b) (0%) Qual a probabilidade de em, 0 contribuintes que preenchem declarações do tipo A via Internet, no máximo demorarem menos do que 00 minutos a preencher a sua declaração? Considere a variável aleatória R que designa o número de reclamações, relativas a acidentes de viação, que chegam por hora à seguradora TOTALSEGUR Sabe se que R segue uma distribuição de Poisson com variância igual a 5 a) (5%) Qual a probabilidade de, numa hora, chegarem menos do que 7 reclamações? b) (5%) Qual a probabilidade de, numa hora e meia, serem recebidas mais do que 8 reclamações? c) (5%) Sabendo que chegaram 5 reclamações na primeira hora, qual a probabilidade de chegarem exactamente 0 nas três horas seguintes?

4 Distribuições de probabilidade de v a discretas Distribuição Função de probabilidade Função de distribuição X ~ DU( i, j) j i + { i, i +,, j j} x x 0 i + j i + x < i i x j 0 { i, i +,, j j} x, x > j q = p x = 0 0 x < 0 X ~ Bernoulli( p) p x = q = p 0 x < 0 outros casos x X ~ Bin( n, p) n x n x ( ) p ( p) x 0 x { 0,,,, n} { 0,, n} x,, 0 x < 0 x i p i= 0 n i ( p) 0 x < n x n λ x e λ 0 x < 0 x {,, } X ~ Poisson( λ) x! x i λ λ e x 0 x,, i 0 { } i= 0! Análise de Dados e Probabilidade Fernando Brito Soares

5 Distribuições de probabilidade de v a contínuas Distribuição Função densidade de probabilidade Função de distribuição X ~ U ( a, b) b a [ a b] x, 0 x [ a, b] 0 x < a x a x a, b b a x > b [ ] X ~ N( µ, σ ) Z ~ N(0,) x µ σ t µ x σ e e πσ πσ z e π π z t e dt dt 0 x < 0 0 x < 0 X ~ Exp( β ) β β e x x 0 x β e x 0 0 x 0 0 x 0 X ~ Gama( α, β ) α β Γ ( α ) x α e x β x > 0 x α β i= 0 i! x e x > 0 β i 0 x 0 0 x 0 X ~ χ ( ν ) ν x ν Γ ν e x x > 0 e ν x i= 0 x i! i x > 0 ν ν + ν + Γ X ~ T ( ν ) + x ν ν πν Γ Análise de Dados e Probabilidade x R Não existe expressão Fernando Brito Soares

6 TABELA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (Continuação) A Função probabilidade B Função de distribuição θ θ n x n x

7 TABELA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON (Continuação) A Função probabilidade B Função de distribuição x x x x x x

8 TABELA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON (Continuação) A Função probabilidade B Função de distribuição x x x x

9 Tabela : Probabilidades acumuladas da distribuição Normal estandardizada Z~ N ( µ = 0, σ = ) : φ() z = F() z = P( Z z) = e dt (fd) π z 0,00 0,0 0,0 0,0 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,59 0,579 0,59 0,559 0, 0,598 0,548 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,566 0,5675 0,574 0,575 0, 0,579 0,58 0,587 0,590 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,60 0,64 0, 0,679 0,67 0,655 0,69 0,6 0,668 0,6406 0,644 0,6480 0,657 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,676 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,7 0,757 0,790 0,74 0,6 0,757 0,79 0,74 0,757 0,789 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,767 0,7704 0,774 0,7764 0,7794 0,78 0,785 0,8 0,788 0,790 0,799 0,7967 0,7995 0,80 0,805 0,8078 0,806 0,8 0,9 0,859 0,886 0,8 0,88 0,864 0,889 0,85 0,840 0,865 0,889,0 0,84 0,848 0,846 0,8485 0,8508 0,85 0,8554 0,8577 0,8599 0,86, 0,864 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,880, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,905, 0,90 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,95 0,9 0,947 0,96 0,977,4 0,99 0,907 0,9 0,96 0,95 0,965 0,979 0,99 0,906 0,99,5 0,9 0,945 0,957 0,970 0,98 0,994 0,9406 0,948 0,949 0,944,6 0,945 0,946 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,955 0,955 0,955 0,9545,7 0,9554 0,9564 0,957 0,958 0,959 0,9599 0,9608 0,966 0,965 0,96,8 0,964 0,9649 0,9656 0,9664 0,967 0,9678 0,9686 0,969 0,9699 0,9706,9 0,97 0,979 0,976 0,97 0,978 0,9744 0,9750 0,9756 0,976 0,9767,0 0,977 0,9778 0,978 0,9788 0,979 0,9798 0,980 0,9808 0,98 0,987, 0,98 0,986 0,980 0,984 0,988 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,986 0,9864 0,9868 0,987 0,9875 0,9878 0,988 0,9884 0,9887 0,9890, 0,989 0,9896 0,9898 0,990 0,9904 0,9906 0,9909 0,99 0,99 0,996,4 0,998 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,99 0,99 0,994 0,996,5 0,998 0,9940 0,994 0,994 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,995 0,995,6 0,995 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,996 0,996 0,996 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,997 0,997 0,997 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,998,9 0,998 0,998 0,998 0,998 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990, 0,9990 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999, 0,999 0,999 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995, 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 z t Alguns valores críticos z z,8,645,960,6,576,090,9,89 4,47 φ ( z) 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995 0, , [ φ( z)] 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0,00 0,00 0,000 0,0000 9

10 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 04 Análise de Dados e Probabilidades º Semestre 006/007 Fernando Brito Soares Graça Silva Pedro Chaves Correcção Exame ª Época I (0%) a) (5%) A afirmação é falsa, porque confunde distribuição das observações com distribuição do atributo O facto de todas as classes apresentarem a mesma densidade de frequência apenas nos indica que o número de observações de cada classe é proporcional à sua amplitude O conceito de concentração refere se à forma como o atributo (neste caso, medido em minutos) é distribuído pelas classes com maior e menor número de minutos Através da visualização do histograma de área um, não conseguimos concluir sobre a concentração da amostra b) (0%) x j x j h j f j F j d j f j h j ]0,a] c f 0, 0, 0,0 ]a,60] d g j n 0,0 [60,b] 75 h l o 0,0 ]b,00] e i m 0, , 0,0 f0 f a0f000 c 0a 00 0 d a g60 a j j 0,0 0,0 j0,4 g 40 n0,k0,0,40,6 60b 75 b90 hb l l 0,0 0,0 l0, h 0 onl0,60,0,9 e b i00 b m i 0,0 m 0,0 m0, 0

11 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Correcção Exame ª Época x j x j h j f j F j d j f j h j ]0,0] 0 0 0, 0, 0,0 ]0,60] ,4 0,6 0,0 [60,90] , 0,9 0,0 ]90,00] , 0, c) (5%) Designe se a subamostra das primeiras classes por A e a da subamostra das classes restantes por B x A f A x x B f B x B f f x f x f f f f x f f f x f x f f 0, 0,6 00,4 0,6 400 f x f f 0, 0,4 750, ,4 xf x f x f f x A f f x B 0,60 0, A B A d) (0%) Designe se Portugal por P, Espanha por E e Península Ibérica por I N E 50; x E x P 50; s E 500 x P 50; s P f x x 0,0 50 0, , , x I N Px P N E x E N P50N E N P N E 50 N I 50 N I N I N I N I s I 700 N Ps P N E s E N P x P x I N E x E x I N I N P N P N P N P N P 5000 N P N P 5000 N P Número de golos marcados antes de uma hora de jogo, em Portugal S F N P 0,600 0

12 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Correcção Exame ª Época II (0%) a) (0%) Designe se o giz por G, o apagador por A e o detergente por D Preços: G G p p c I G c p p c A A p p c I A c p p c D D p I D p p p Quantidades: G G q I G q A A q I A q D D q I D q p c c c c p c p c p c p p Relação entre índices: i G, A, D,I I c c c P L L V I b) (5%) L P p q 0,5 p q 0,50 0 0,5 0, p q 0,5 0 0,5 0 0,5 0,5 p q q p p q I V P V I 9 L 9 9

13 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Correcção Exame ª Época L P P I V P V P L I c) (5%) No cálculo de cada um dos índices, podemos utilizar o facto de serem o quociente de totais ponderados de preços ou quantidades ou, alternativamente, o facto de serem uma média ponderada de índices de preços ou de quantidades Os índices são calculados segundo as duas perspectivas: L p q p q p c p c p c p c p p p c p c p c p c p p c L c % Despesa p p I cc I p I q I I p p cc I L p q p q p c p c p c p c p p p c p c p c p c p p c c c c c c 4

14 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Correcção Exame ª Época L % Despesa p p I I p I q I I p p c c I III (0%) a) (0%) Designe se cão por C, gato por G, outro animal por OA e abandonado por Ab PC 0,5; PG 0,; POA 0, PAb\C 0,6; PAb\G 0,4; PAb\OA 0, PAb PAb C PAb G PAb OA PAb\CPC PAb\GPG PAb\OAPOA 0,60,5 0,40, 0,0, 0,46 b) (0%) PC\Ab PC\Ab PC Ab PAb 0,50,6 0,46 0,65 0,478 IV (0%) a) (5%) X: Tempo que um contribuinte demora a preencher uma declaração do tipo A via Internet X~Nµ 00; σ 0 PX 0 PZ 0 00 PZ PZ 0,84 0,587 0 b) (0%) PX 00 PZ PZ 0 0,5p 0 5

15 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Correcção Exame ª Época Y: Número de contribuintes, em 0, que demoram menos do que 00 minutos a preencher a sua declaração do tipo A via Internet Y~Binn 0; p 0,5 PY 0,0547 a) (5%) R: Número de reclamações, relativas a acidentes de viação, que chegam durante uma hora à TOTALSEGUR R~Pλ 5 PR 7 PR 6 0,76 b) (5%) T: Número de reclamações, relativas a acidentes de viação, que chegam durante uma hora e meia à TOTALSEGUR T~Pλ 5,5 7,5 PT 8PT 8 0,660 0,80 c) (5%) K: Número de reclamações, relativas a acidentes de viação, que chegam durante três horas à TOTALSEGUR K~Pλ 5 5 A distribuição de Poisson, tal como a Exponencial, à qual está ligada, não tem memória de acontecimentos passados Por isso, a probabilidade de chegarem exactamente 0 reclamações em horas não depende do que aconteceu antes PK 0 e 5 0,0486 0! 6