TÓPICOS DE RESOLUÇÃO - Exame de Época de Recurso (Diurno) 2009/2010. Primeira Parte. F (b) F (a) =P (a <X<b) P (a <X<b)=

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1 TÓPICOS DE RESOLUÇÃO - Exame de Época de Recurso (Diurno) 009/010 [,0] 1. Considere as seguintes afirmações: Primeira Parte I. Sendo F a função de distribuição da variável aleatória (v.a.) discreta X, para quaisquer a<btem-se F (b) F (a) =P (a <X<b) II. Se X é uma v.a. contínua com função densidade f, então para quaisquer a<b tem-se P (a <X<b)= Z b f(x)dx. III. Se a<be F (b) > 0, tem-se P (X a X b) = a F (b) F (a). F (b) IV. Se X for uma v.a. discreta com função probabilidade f(x), então para qualquer a. tem-se F (a) f(a). A lista completa das afirmações CORRECTAS é: D). A) I e III. B) I e II. C) II e III. D) II e IV. [,0]. Considere X 1,X e X 3, três observações independentes de uma v.a. X com comportamento normal, e os seguintes estimadores de μ X : T 1 = 1 3 3X X i e T = X 1 +3X + X 3. 3 Qual das seguintes afirmações é INCORRECTA: A. Os estimadores são ambos não enviesados. B. T 1 é um estimador mais eficiente que T. C. T é um estimador consistente de μ X.

2 ³ D. T N μ X, 11 σ 3 X C). Segunda Parte 3. Considere uma v.a. contínua X com a seguinte função densidade de probabilidade: a, x<b f (x) = a 1, b x<4 0, caso contrário [1,5] (a) Sendo E (X) =.5, determine o valor das contantes a e b. f deve verificar ½ R + f (x) dx =1 f (x) 0. Por outro lado E (X) = Sendo assim tem-se ( R b adx + R 4 (a 1) dx =1 R b b axdx + R 4 (a 1) xdx =.5 b Z + xf (x) dx ( a (b ) + (a 1) (4 b) =1 h i b h i 4 x a x +(a 1) =.5 b ½ a + b =5 6a + b =10.5 ½ a = 5 b b 6b +9=0 ½ a = 5 b b 6b +9=0 ½ a =1 b =3 Na alínea (b) considere a =1e b =3. [1,5] (b) Determine a função de distribuição de X ecalculep 1 <X< 5. Com a =1e b =3tem-se: ½ 1, x 3 f (x) = 0, caso contrário. Sendo a função de distribuição de X :

3 Para x<: Para x 3: F (x) = f (t) dt = 0dt =0 F (x) = f (t) dt = Z 0dt + dt = x Para x>3: F (x) = f (t) dt = Z 0dt + Z 3 dt + 3 0dt =1. Em resumo: 0, x < F (x) = x, x 3 1, x > 3 Cálculo de P 1 <X< 5 : P µ 1 <X< 5 = F µ 5 F (1) = = 5 0=1 4. Numa dado troço de uma auto-estrada os veículos estão sujeitos a portagem. [1,0] (a) O número de veículos que, num período de 0 minutos, passa na portagem de uma dada auto-estrada, pode ser representado por uma v.a. com distribuição de Poisson. Sabendo que em 99.86% dosperíodosde0 minutos passam pelo menos 6 veículos na portagem, determine o desvio padrão da referida v.a.. X -n o de veículos que, num período de 0minutos, passa na portagem de uma dada auto-estra X P (λ),sendoλ = E (X) =V (X) P (X 6) = P (X 5) = P (X 5) = λ =16 V (X) =16 σ X =4 (b) [1,5] Considerando que a v.a. definida em (a) tem distribuição P (16), determine justificando, a probabilidade de se aguardarem pelo menos minutos desde a passagem do último veículo na portagem, sabendo que já decorreram pelo menos 30 segundos.

4 A - Tempo, em minutos, entre a passagem consecutiva de veículos na portagem µ A Exp θ = 0 16 =1.5 Logo, P (A A 0.5) = P (A 1.5) =1 F (1.5) =1 {z } Pela falta de memória da exponencial ³ 1 e = [1,0] (c) Sabendo que 85% dos veículos pagam uma taxa de portagem correspondente à classe 1, determine a probabilidade de, em 15 veículos, pelo menos 1 paguem portagem de classe 1. Y -n o de veículos, em 15, que pagam portagem de classe1 Y B (15; 0.85) Visto que na tabela da distribuição Binomial se tem p 0.5, vamos definir uma nova variável, na perspectiva do insucesso: W -n o de veículos, em 15, que não pagam portagem de classe1 W B (15; 0.15) P (Y 1) = P (W 3) = A facturação, em unidades monetárias (u.m.), com a venda de casacos compridos numa dada loja da baixa de Setúbal durante as estações de outono e inverno tem um comportamento normal. Sabe-se que nessa loja, a probabilidade de se facturarem menos de 36 u.m. com a venda de casacos compridos é e a probabilidadade de se facturarem até 39 u.m com a venda de casacos compridos é [1,0] (a) Calcule a média e a variância da distribuição. X - facturação em u.m. com a venda de casacos compridos numa dada loja. X N (μ; σ) Z = X μ N (0, 1) σ ½ P (X <36) = P (X <39) = ½ P Z< 36 μ σ = P Z< 39 μ σ =0.977 ½ Φ 36 μ σ = =0.977 Φ 39 μ σ ½ 36 μ = z σ = z μ = z σ ½ 36 μ σ 39 μ = 1 = σ ½ μ =37 σ =1

5 Na alínea (b) considere μ =37e σ =1. [1,0] (b) Sabendo que na baixa Setubalense existem 4 lojas do mesmo tipo, calcule a probabilidade de durante as estações de outono e inverno se venderem na totalidade pelo menos 153 u.m.. W - facturação em u.m. com a venda de casacos compridos em 4 lojas 4X W = X i N ³4 37; 4 1 Z = W 148 N (0, 1) P (W 153) = 1 P µ Z =1 Φ (.5) = = Para avaliar a viabilidade de instalação de uma central de energia eólica numa dada localização, efectuou-se um estudo sobre o comportamento do vento, tendo-se recolhido aleatoriamente 19 medições da velocidade do vento em diferentes alturas do ano. Concluiu-se dessa amostra que a velocidade média do vento é 4 nós e o desvio padrão é11nós. Admite-se que a velocidade do vento tem um comportamento normal. [1,5] (a) Deduza um intervalo de confiança a (1 α)100% para o desvio padrão da velocidade do vento. Como μ é desconhecido, vamos usar a seguinte variável fulcral na dedução do IC para a variância da velocidade do vento: X =(n 1) S σ χ (n 1) µ P χ (n 1); α P ³ P χ (n 1); α <X <χ (n 1);1 α < (n 1) S σ <χ (n 1);1 α Ã! (n 1) S <σ (n 1) S < χ (n 1);1 χ α (n 1); α = 1 α = 1 α = 1 α Logo o intervalo de confiança a (1 α)100% para σ com μ desconhecido é dado por: #s s " (n 1) S (n 1) S ; χ (n 1);1 α χ (n 1); α

6 [1,0] (b) Obteve-se o seguinte intervalo de confiança paraodesviopadrãodavelocidadedo vento: ] ; [. Determine o grau de confiança associado a esse intervalo. s (n 1) s χ (n 1);1 α = χ (18);1 α = χ (18);1 α = =8.9 1 α = α = Considere os dados da questão 6. [1,5] (a) A instalação da central eólica considera-se viável se a velocidade média do vento for superior a 40 nós. Verifique se existe evidência estatística para instalar a central naquela localização, para um nivel de significância de Teste unilateral direito para a média: ½ H0 : μ 40 H 1 : μ>40 Como o desvio padrão é desconhecido e n =19< 30 a distribuição a utilizar será: T = X μ S n t (n 1) Aregiãocrítíca,paraα =0.05, será: RC = t (n 1);1 α ;+ =[t 18;0.95 ;+ [ =[1.73; + [ pelo que T = = / RC, concluindo-se pela não rejeição de H 0 (μ 40), isto é, segundo os dados do problema a central não deve ser instalada naquela localização. [1,5] (b) Determine a potência do teste efectuado em (a), sabendo que μ =43nós. Mudando a escala da região crítica, vamos ter: k = t 18;0.95 k = k =

7 Logo a potência do teste, π = P (T RC H 0 F ), é dado por: Ã! Ã! π (μ=43) = P T k μ μ =43 =1 P T< S 11 = n 19 = 1 F (0.541 ) ' 1 F (0.53 ) = =0.3. Temos uma potência do teste reduzida, π = 0.3, o que indica um teste de má qualidade. [,0] 8. Foi medida a várias profundidades (entre 1 e 5 metros), a percentagem de dióxido de urânio numa dada zona geológica, tendo-se obtido os seguintes dados: x i =3; y i =39.1; x i =81.5; yi =47.05; x i y i =139.8 Verifique se a profundidade explica a percentagem de dióxido de urânio e determine, comentando o resultado, a percentagem de dióxido de urânio, previsível a 0 metros de profundidade. Para verificar se a profundidade explica a percentagem de dióxido de urânio, vamos calcular o coeficiente de correlação linear (empírico): r X,Y = = np x i y i nxy s µ P n µ n x i P = nx yi ny r ³ ³ = Conclui-se que existe uma forte relação linear positiva entre X e Y, pelo que faz sentido considerar que a profundidade explica a percentagem de dióxido de urânio. Deste modo justifica-se ajustar um modelo de regressão linear aos dados (by = a + bx): b = np x i y i nxy np = x i n x = a = y bx = obtém-se então a recta de regressão linear: by = x. =

8 Percentagem de dióxido de urânio, previsível a 0 metros de profundidade: by = = Aprevisãonãoéfiável, pois x =0é um valor que não se enquadra na amostra que originou o modelo linear