PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

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1 ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Cursos: EA, EACI, EEC, EI, EM o Teste o Semestre 007/008 Data: Sábado, 3 de Maio de 008 Duração: 5h às 7h Instruções:. Leia atentamente o teste antes de começar.. Justifique convenientemente todas as respostas. 3. Não deverá responder a diferentes questões numa mesma folha de resposta. 4. Somente poderá consultar as tabelas que lhe tenham sido fornecidas na ocasião pelos docentes. 5. É permitida a utilização individual de máquina de calcular. 6. Oabandonodasalapordesistênciasódeveráocorrerdepoisdedecorridaumahoraapartirdoinícioda prova. O abandono da sala implica a entrega definitiva do teste/exame. Questões: [.5]. O circuito eléctrico da figura é constituído pelos relés A, B, C e D. A probabilidade de cada relé fechar é dada por p. C A B L S Se todos os relés funcionarem independentemente, qual será a probabilidade de que passe corrente entre os terminais L e S?. Seja X uma variável aleatória (v.a.) discreta com a seguinte função de probabilidade: ( 3c)/3, x ( + c)/3, x P (X x) ( + c)/3, x 3 0, x 6,, 3 [.7] (a) Determine c. (b) Considerando c /4, calcule: [.3] i. O valor esperado e a variância de X. [.0] ii. P (X > <X 4). 3. Seja f a função densidade de probabilidade da v.a. X: ½ cos(x) f (x), x, 0, x /, [.6] (a) Determine a função distribuição de X. [.4] (b) Determine a,, tal que P (X <a)p (X >a). 4. O conteúdo de certo tipo de embalagens de sumos tem distribuição normal de média litro e desvio padrão 0.00 litro. D [.] (a) Calcule a probabilidade da embalagem de sumo conter entre 0.95 litro e.03 litro (inclusive).

2 [.3] (b) Se 3 embalagens forem despejadas para um recipiente, qual a probabilidade de este ficar com um volume de líquido superior a 3. litros? [.0] (c) Determine, através de um método de aproximação adequado, a probabilidade de que pelo menos 5 das embalagens de um lote de 00, tenham um conteúdo de sumo inferior a 0.99 litro. 5. O número de navios que diariamente (4 horas) entram em cada um dos cais de um grande estaleiro oceânico, segue uma distribuição de Poisson de média 6. [.5] (a) Determine a probabilidade de que o tempo entre chegadas consecutivas de navios num dos cais, seja superior a 3 horas. (b) Sabendo que o estaleiro é constituído por cais com a mesma dimensão, que operam em simultâneo, e que a capacidade de reparação no estaleiro é de 3 navios por hora, calcule: [.5] i. A probabilidade de entrarem no estaleiro, pelo menos dois navios nos últimos 0 minutos de um dia. [.0] ii. O valor esperado e a variância do número de navios que entram por hora no estaleiro. [.0] iii. O número médio de navios reparados por hora no estaleiro. [.0] 6. Considere as v.a. independentes X i (i, ) em que X i B (n i,p). Determine, justificando, o valor médioeavariânciadex + X. Fim

3 ESTSetúbal - DMat PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Teste A - 03/05/008 Tópicos de Resolução [.5]. O circuito eléctico da figura é constituído pelos relés A, B, C e D. A probabilidade de cada relé fechar é dada por p. C A B L S Se todos os relés funcionarem independentemente, qual será a probabilidade de que passe corrente entre os terminais L e S? Acontecimentos: S - Passar corrente entre os terminais L e S; A-ReléAfechar; B-ReléBfechar; C-ReléCfechar; D-ReléDfechar; P (S) P ((A B) (C D)) P (A B) P (C D) D P (A B)(P (C)+P (D) P (C D)) P (A) P (B)(P (C)+P (D) P (C) P (D)) p p + p p p 3 ( p). Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade: ( 3c)/3, x ( + c)/3, x P (X x) ( + c)/3, x 3 0, x 6,, 3 [.7] (a) Determine c.. f (x) 0 3

4 P. f (x) x D X 0 3c 3 0 f (x) 0 +c 3 c 3 3 c 0 +c 3 c c 3 X f (x) 3c + +c + +c 0c 0 c R x D X logo tem-se µ c (c R) 3 c 3 (b) Considerando c /4, calcule: [.3] i. o valor esperado e a variância de X. Com c /4 tem-se f (x), x 5, x, x 3 0, x 6,, 3 E (X) '.4 E X V (X) 75 µ 9 ' 0.4 [.0] ii. P (X > <X 4). P (X > <X 4) P ({X >} { <X 4}) P ( <X 4) P (X 3) P (X )+P (X 3) 3. Seja f a função densidade de probabilidade da v.a. X: f (x) [.6] (a) Determine a função distribuição de X. ½ cos(x) 5 +, x, 0, x /, F (x) x< : F (x) Z x Z x f (t) dt 0dt 0 6 '

5 x : F (x) Z Z x 0dt + cos (t) dt [sen (t)]x (sen (x)+) x> : F (x) F (x) Z Z 0dt + cos (t) dt + Z x ( 0, x < (sen (x)+), x, x > 0dt [.4] (b) Determine o número a,, tal que P (X <a)p (X >a). visto que X éumav.a.contínua: P (X <a) P (X >a) P (X <a) P (X a) F (a) F (a) F (a) visto que a, (sen (a)+) sen (a) 0 a 0 4. O conteúdo de certo tipo de embalagens de sumos tem distribuição normal de média litro e desvio padrão 0.00 litro. [.] (a) Calcule a probabilidade da embalagem de sumo conter entre 0.95 litro e.03 litro (inclusive). X Conteúdo de uma embalagem de certo tipo de sumo. X N (μ,σ 0.00) µ µ P (0.95 X.03) Φ Φ Φ (.49) Φ (.48) Φ (.49) + Φ (.48) [.3] (b) Se 3 embalagens forem despejadas para um recipiente, qual a probabilidade de este ficar com um volume de líquido superior a 3. litros? Y X + X + X 3 Conteúdo de 3 embalagens de certo tipo de sumo. Atendendo a que as v.a. X i (i,, 3) são identicamente distribuídas e à aditividade da distribuição Normal, tem-se: 5

6 Y N μ 3 3,σ ' P (Y >3.) P (Y 3.) Φ µ Φ (.87) [.0] (c) Determine, através de um método de aproximação adequado, a probabilidade de que pelo menos 5 das embalagens de um lote de 00, tenham um conteúdo de sumo inferior a 0.99 litro. W - Número de embalagens, num lote de 00, com menos de 0.99 litro. W B (n 00,p P (X <0.99) ) visto que µ 0.99 p P (X <0.99) Φ 0.00 Φ ( 0.5) Φ (0.5) Sendo np > 5 e nq 69.5 > 5 justifica-se a aproximação da distribuição Binomial à distribuição Normal. Deste modo W N μ np 30.85,σ npq.33 ' 4.6, pelo que se tem: µ ' P N W Aprox. à Normal c/ correcção p/ continuidade P B (W 5) P B (W 4) ' , 4.6 Φ (.37) Φ (.37) O número de navios que diariamente (4 horas) entram em cada um dos cais de um grande estaleiro oceânico, segue uma distribuição de Poisson de média 6. [.5] (a) Determine a probabilidade de que o tempo entre chegadas consecutivas de navios a um cais, seja superior a 3 horas. X - tempo entre chegadas consecutivas de navios a um cais do estaleiro. θ - tempo médio entre chegadas. X E(θ 4 6 4) Atendendo a que então F (x) P (X x) ½ e x θ, x 0 0, x < 0 P (X >3) P (X 3) ³ e 3 4 e 3 4 '

7 (b) Sabendo que o estaleiro é constituído por cais com a mesma dimensão, que operam em simultâneo, e que a capacidade de reparação no estaleiro é de 3 navios por hora, calcule: [.5] i. A probabilidade de entrarem no estaleiro, pelo menos dois navios nos últimos 0 minutos de um dia. Y -n o de navios que entram nos cais do estaleiro em 0 minutos Em 4 60 minutos registam-se em média 6 entradas Em 0 minutos registam-se em média λ entradas Y Po(λ ) λ P (Y ) P (Y <) [po (0; ) + po (; )] [.0] ii. O valor esperado e a variância do número de navios que entram por hora no estaleiro. Y 0 -n o de navios que entram nos cais do estaleiro por hora. Em 0 minutos regista-se em média entrada Em 60 minutos registam-se em média λ 0 3entradas. Y 0 Po(λ 0 3) logo E (Y 0 )V (Y 0 )λ 0 3 [.0] iii. O número médio de navios reparados por hora no estaleiro. Y 00 -n o de navios reparados por hora no estaleiro. Atendendo à existência de uma capacidade de reparação de 3 navios por hora, pode estabelecer-se o seguinte relacionamento entre os domínios das v.a. s Y 0 e Y 00 : deste modo tem-se Y Y E (Y 00 ) 0 P (Y 00 0)+ P (Y 00 )+ P (Y 00 )+3 P (Y 00 3) 0 P (Y 0 0)+ P (Y 0 )+ P (Y 0 )+3 P (Y 0 3) {z } P (Y 0 ) po (; 3) + po (; 3) + 3 [ po (0; 3) po (; 3) po (; 3)] [ ] '.33 [.0] 6. Considere as v.a. independentes X i (i, ) em que X i B (n i,p). Determine, justificando, o valor médioeavariânciadex + X. Nas condições em que as v.a. X i estão definidas tem-se, dada a aditividade da Binomial: X + X B (n + n,p) 7

8 logo E (X + X ) (n + n ) p V (X + X ) (n + n ) pq 8