EXAME DE ESTATÍSTICA / ESTATÍSTICA I

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE SAÚDE EAME DE ESTATÍSTICA / ESTATÍSTICA I Cursos: Licenciatura em Enfermagem e Licenciaturas Bi-etápicas em Fisioterapia e em Terapia da Fala Época de Recurso o Ano/3 o Semestre 007/08 Data: 3 a feira, 9 de Setembro de 008 Duração: 10h às 1h30m Instruções: 1. Leia atentamente o teste antes de começar.. Justifique convenientemente todas as respostas. 3. É permitida a utilização individual de tabelas e de máquina de calcular. 4. O abandono da sala por desistência só deverá ocorrer depois de decorridos 45 minutos a partir do início da prova. O abandono da sala implica a entrega definitiva do teste/exame. Questões: 1. A distribuição do número de consultas anuais de medicina familiar, numa amostra de 140 utentes de um dado centro de saúde, é a seguinte: Número de Consultas [0; 4[ [4; 8[ [8; 1[ [1; 16[ [16; 0] Frequência Absoluta [1.0] (a) Complete a tabela através das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas; [1.5] (b) Determine os valores aproximados da média e da mediana, para o número de consultas anuais de medicina familiar dos utentes da amostra. Com base nestes resultados e sabendo que a moda é aproximadamente 4, interprete a simetria dos dados; [1.5] (c) Determine um intervalo de confiança a 95%, para a proporção de utentes do centro de saúde com pelo menos 1 consultas anuais.. Para avaliar a relação entre a massa muscular e a idade de um grupo de mulheres, um investigador selecionou aleatoriamente 3 mulheres de cada subgrupo etário em faixas de idade de 10 anos, com início nos 40 anos e terminando nos 80 anos. Os resultados são apresentados abaixo, sendo a idade e Y uma medida da massa muscular: M assa muscular Idade xi 78 yi 105 xi y i 6108 x i y i [1.0] (a) Determine o coeficiente de correlação linear empírico e comente o resultado; [.0] (b) Determine a massa muscular previsível numa mulher de 60 anos; [1.0] (c) Mostre que o desvio padrão amostral da massa muscular é aproximadamente 15.09; [.0] (d) Considere o intervalo de confiança (IC) obtido para a média da massa muscular, com uma amplitude l 3.7. Determine o grau de confiança do IC; [1.5] (e) Qual deve ser a dimensão da amostra para que possa obter um intervalo com 1 4 da amplitude do intervalo anterior? (Obs.: Considere que o grau de confiança e a variância se mantiveram e que t (n 1);1 α.36).

2 [.5] (f) A bibliografia de referência consultada pelo investigador aponta para um valor médio da massa muscular de 90. Pressupondo a normalidade dos dados, poder-se-á concluir para um nível de significância de 1%, que a amostra recolhida provém de uma população com um valor médio semelhante? Justifique. (Obs.:Use o valor p). 3. O teste de Stanford-Binet para o QI está concebido para fornecer uma pontuação média de 100 e um desvio padrão de 16. Considerando que a distribuição da pontuação é uma variável aleatória normal: [1.5] (a) Qual a probabilidade de uma criança ter um QI inferior a 80? E um QI superior a 145? [1.5] (b) Sabendo que as crianças com QI inferior a 80 ou com QI superior a 145 necessitam um acompanhamento especializado, determine num grupo de 000 crianças, o número esperado das que requerem este tipo de acompanhamento. [3.0] 4. Uma equipa de investigadores consultou os ficheiros de 10 pacientes de ambos os sexos, sujeitos a exames ultrasónicos das carótidas, tendo verificado que alguns tinham doenças relacionadas com a arterioesclerose cerebral (AC). Com os dados obtidos elaboraram a seguinte tabela: Homens Mulheres com AC 6 38 sem AC 5 31 Teste, ao nível de significância de 5%, se existe independência entre as doenças relacionadas com a arterioesclerose cerebral e o sexo dos indivíduos. Fim.

3 TÓPICOS DE RESOLUÇÃO 1. A distribuição do número de consultas anuais de medicina familiar, numa amostra de 140 utentes de um dado centro de saúde, é a seguinte: Número de Consultas [0; 4[ [4; 8[ [8; 1[ [1; 16[ [16; 0] Frequência Absoluta [1.0] (a) Complete a tabela através das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas; Classe [0; 4[ [4; 8[ [8; 1[ [1; 16[ [16; 0] x I i f a f r F r [1.5] (b) Determine os valores aproximados da média e da mediana, para o número de consultas anuais de medicina familiar dos utentes da amostra. Com base nestes resultados e sabendo que a moda é aproximadamente 4, interprete a simetria dos dados; Média: x ' f ri x I i Mediana: Classe Mediana - l [4 8[ ex ' x min l + l 0.5 F rl 1 f rl ' Sendo Mo 4tem-se Mo 4< ex ' 4.67 < x ' 5.8 pelo que os dados apresentam uma distribuição enviesada à esquerda ou assimétrica positiva. [.0] (c) Determine um intervalo de confiança a 95%, para a proporção de utentes do centro de saúde com pelo menos 1 consultas anuais. IC para p : # r " p p q z 1 α/ n com p e z 1 α/ z # r " ]0.05; 0.15[ 140. Para avaliar a relação entre a massa muscular e a idade de um grupo de mulheres, um investigador selecionou aleatoriamente 3 mulheres de cada subgrupo etário em faixas de idade de 10 anos, com início nos 40 anos e terminando nos 80 anos. Os resultados são apresentados abaixo, sendo a idade e Y uma medida da massa muscular: M assa muscular Idade xi 78 yi 105 xi y i 6108 x i y i

4 [1.0] (a) Determine o coeficiente de correlação linear empírico e comente o resultado; r P xi y i nxy q P x i nx P y i ny r r h i h i ' 0.87 [.0] (b) Determine a massa muscular previsível numa mulher de 60 anos; Determinação da recta de regressão linear y a + bx, sendo ½ b n x i y i x i yi n x i ( x i) a y bx logo pelo que sendo x 60se tem ½ b a y x y [1.0] (c) Mostre que o desvio padrão amostral da massa muscular é aproximadamente 15.09; s s s P y i ny n 1 s ' [.0] (d) Considere o intervalo de confiança (IC) obtido para a média da massa muscular, com uma amplitude l 3.7. Determine o grau de confiança do IC; Amplitude de um IC para μ com σ desconhecido e n 30 : s l t n 1;1 α/ n 3.7 t 11;1 α/ t 11;1 α/.7 1 α α 0.98 [1.5] (e) Qual deve ser a dimensão da amostra para que possa obter um intervalo com 1 4 intervalo anterior? da amplitude do 4

5 (Obs.: Considere que o grau de confiança e a variância se mantiveram e que t (n 1);1 α.36) n n ' 144 [.5] (f) A bibliografia de referência consultada pelo investigador aponta para um valor médio da massa muscular de 90. Pressupondo a normalidade dos dados, poder-se-á concluir para um nível de significância de 1%, que a amostra recolhida provém de uma população com um valor médio semelhante? Justifique. (Obs.:Use o valor p). Vamos efectuar um teste de hipóteses, para μ : n H0 : μ 90 H 1 : μ 6 90 Estatística teste: T Y μ t n 1 S n T ' Valor-p : p v P (T 0.535) + P (T 0.535) P (T 0.535) (1 P (T 0.535)) P (T 0.535) F (0.535) Como se tem para t < < F (0.60) <F(0.535) <F(0.540) 0.6 <F(0.535) < < F (0.535) < <p v < 0.8 p v > 0.01 Logo não se rejeita H 0 : μ O teste de Stanford-Binet para o QI está concebido para fornecer uma pontuação média de 100 e um desvio padrão de 16. Considerando que a distribuição da pontuação é uma variável aleatória normal: [1.5] (a) Qual a probabilidade de uma criança ter um QI inferior a 80? E um QI superior a 145? Pontuação no teste de Stanford-Binet para o QI. N (μ 100; σ 16) P ( <80) P µ Z< Φ ( 1.5) 1 Φ (1.5)

6 µ P ( >145) 1 P Z Φ (.81) [1.5] (b) Sabendo que as crianças com QI inferior a 80 ou com QI superior a 145 necessitam um acompanhamento especializado, determine num grupo de 000 crianças, o número esperado das que requerem este tipo de acompanhamento. P ({ <80} { >145}) Acontecimentos incompatíveis P ( <80) + P ( >145) Y n o de crianças, em 000, que necessitam de um acompanhamento especializado. Y B (n 000; p ) E (Y ) np ' ' 16 [.5] 4. Uma equipa de investigadores consultou os ficheiros de 10 pacientes de ambos os sexos, sujeitos a exames ultrasónicos das carótidas, tendo verificado que alguns tinham doenças relacionadas com a arterioesclerose cerebral (AC). Com os dados obtidos elaboraram a seguinte tabela: com AC Homens 6 Mulheres 38 sem AC 5 31 Teste, ao nível de significância de 5%, se existe independência entre as doenças relacionadas com a arterioesclerose cerebral e o sexo dos indivíduos. Formulação do teste: ½ H0 : p ij p i. p.j H 1 : p ij 6 p i. p.j (as doenças relacionadas com a AC são independentes do sexo dos indivíduos ) (as doenças relacionadas com a AC não são independentes do sexo dos indivíduos ) Estatística teste: Q i1 j1 (O ij E ij ) E ij χ (r 1)(c 1) χ (1) Sujeitos examinados Género M F Total com AC sem AC Total frequências observadas Sujeitos examinados Género M F Total com AC sem AC Total frequências esperadas Q (6 7.) (31 3.)

7 Regra de decisão: Como Q <χ (1;0.95) 3.84, nãoserejeitah 0, isto é, de acordo com os dados da amostra, as doenças relacionadas com a AC são independentes do sexo dos indivíduos. Fim da resolução do teste 7