Preparatório CEA. Módulo 6 Fundamentos de Estatística
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- Osvaldo Vilarinho Mendonça
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1 Preparatório CEA Módulo 6 Fundamentos de Estatística
2 Medidas de posição central
3 Média As medidas de posição central buscam representar uma série de dados. Por exemplo: em média na Suiça cada pessoa come 9Kg de chocolate por ano. Sabe quanto no Brasil? 1,6Kg. Isso não quer dizer que todo suiço se joga no chocolate. Com certeza têm caras que comem uns 20Kg e outros menos de 1Kg, mas na média o consumo, lá é de 9Kg.
4 Cafezinhos por dia Pessoa Wladimir 1 Laura 2 Lívia 3 Germano 4 Fábio 5 Média X = Moda = Inexistente = 3 Quantos cafezinhos Pessoa Wladimir 1 Laura 2 Lívia 3 Germano 4 Bino 19 Média Quantos cafezinhos X = Moda = Inexistente Mediana = 3 Mediana = 3 = 5,8
5 Trazendo isso pro Mundo Financeiro... Podemos calcular o retorno médio de um índice de ações (IBOVESPA) nos últimos 5 anos. Vamos usar a HP para isso: Empresa Retorno Ano 1 7,4% Ano 2-15,5% Ano 3-2,9% Ano 4-13,3% Ano 5 38,9% Média = 2,9% aa Mediana = -2,9% aa
6 Variância A variância, também chamada de erro médio, mostra a dispersão dos valores da amostra ou população em relação a média Pessoa Quantos cafezinhos Wladimir 1 Laura 2 Lívia 3 Germano 4 Eduardo 5 Pessoa Quantos Média = 3 Mediana = 3 cafezinhos Wladimir 1 Laura 2 Lívia 3 Média = 5,8 Mediana = 3 Germano 4 Pulga 19 Cafezinhos Cafezinhos
7 Variância A variância, também chamada de erro médio, mostra a dispersão dos valores da amostra ou população em relação a média Pessoa Quantos cafezinhos Wladimir 1 Laura 2 Lívia 3 Germano 4 Eduardo 5 Cafezinhos Pessoa Quantos cafezinhos Wladimir 1 Média = 3 Média = 5,8 Laura 2 Lívia 3 Variância = 2,50 Variância = 55,70 Germano 4 Desvio padrão = 1,58 Pulga 19 Desvio padrão = 7,46 Cafezinhos
8 Calculando a variância VARIÂNCIA POPULACIONAL = 10,00 5 = 2 Homem ou mulher Cafezinhos Dif da média (Dif da média)^2 Wlad 1-2,00 4,00 Laura 2-1,00 1,00 Lívia 3 0,00 0,00 Germano 4 1,00 1,00 Eduardo 5 2,00 4,00 VARIÂNCIA AMOSTRAL 10,00 4 = 2,5 VARIÂNCIA POPULACIONAL σ x i x 2 n = Total = 10,00 VARIÂNCIA AMOSTRAL σ x i x 2 n 1
9 Desvio padrão DP = VARIANCIA DP POPULACIONAL 2 = 1,41 DP AMOSTRAL 2,5 = 1,58
10 Calculando a variância Homem ou mulher Cafezinhos Dif da média (Dif da média)^2 Wlad 1-4,80 23,04 Laura 2-3,80 14,44 Lívia 3-2,80 7,84 Germano 4-1,80 3,24 Pulga 19 13,20 174,24 Total = 222,80 VARIÂNCIA POPULACIONAL 228, ,80 4 = 44,56 VARIÂNCIA AMOSTRAL = 55,70
11 Desvio padrão DP = VARIANCIA DP POPULACIONAL 44,56 = 6,68 DP AMOSTRAL 55,70 = 7,46
12 De volta ao Mundo Financeiro Dá um olhada no retorno mensal do Ibovespa nos últimos 6 meses. Vamos calcular a média e o desvio padrão desse retorno: Mês Retorno IBOVESPA 1 7,38% 2 3,08% 7,38 3,08-2,52 aparece 1.00 aparece 2.00 aparece 3.00 aparece A média é igual a 0,4683% 3-2,52% 0,64 aparece ,64% 5-4,12% 6-1,65% -4,12-1,65 aparece 5.00 aparece 6.00 aparece O desvio padrão é igual a 4,2212%
13 Amostra x População Nesse exercício buscamos a média e o desvio padrão da amostra, pois os últimos 6 meses são somente uma amostra da média histórica do Ibovespa. Então o que a HP tá fazendo é calculando a variância amostral Como você calcularia a média se esses dados fossem de um fundo de investimento com 6 meses de existência?
14 De volta ao Mundo Financeiro Dá um olhada no retorno mensal do Ibovespa nos últimos 6 meses. Vamos calcular a média e o desvio padrão desse retorno: Mês Retorno Fundo 1 7,38% 2 3,08% 3-2,52% 4 0,64% 5-4,12% 6-1,65% 7,38 3,08-2,52 0,64-4,12-1,65 aparece A média é igual a 0,4683%. Agora vamos adicionar a média como o sétimo termo. Isso não altera a média aparece O desvio padrão é igual a 3,8534%
15 Desvio padrão como medida de risco Rentabilidade observada é a rentabilidade histórica e normalmente se calcula a média e o desvio padrão dessa rentabilidade Rentabilidade esperada é o que se espera para o futuro. É comum se utilizar o que aconteceu no passado como base de previsão para o futuro Mês Retorno Fundo 1 Retorno Fundo 2 1 1,00% 2,00% 2-1,50% -3,00% 3 2,50% 5,00% 4 3,20% 6,40% 5-2,00% -4,00% 6 1,00% 2,00% média 0,70% 1,40% desvio 2,09% 4,18%
16 Valores esperados Uma forma de se estimar a média e o desvio padrão de um investimento é projetar cenários com probabilidades. Imagine a seguinte estimativa para o retorno de uma ação: Evolução do PIB Probabilidade do cenário Retorno (R i - R e ) 2 P. (Ri - Re) 2 Queda 50% 5% 0,20% 0,10% Manutenção 40% 10% 0,00% 0,00% Crescimento 10% 30% 4,20% 0,42%
17 Valores esperados E R = R 1. p 1 + R 2. p 2 + R 3. p 3 E R = 5%. 50% + 10%. 40% + 30%. 10% = 9,50% Evolução do PIB Probabilidade do cenário Retorno (R i - R e ) 2 P. (Ri - Re) 2 Queda 50% 5% 0,20% 0,10% Manutenção 40% 10% 0,00% 0,00% Crescimento 10% 30% 4,20% 0,42%
18 Desvio padrão S 2 = R 1 E R 2. p 1 + R 2 E R 2. p 2 + R 3 E R 2. p 3 S 2 = 5% 9,50% 2. 50% + 10% 9,50% 2. 40% + 30% 9,50% 2. 10% = 0,52% S = S 2 S = 0,52% = 7,23% Evolução do PIB Probabilidade do cenário Retorno (R i E(R)) 2 P. (Ri - Re) 2 Queda 50% 5% 0,20% 0,10% Manutenção 40% 10% 0,00% 0,00% Crescimento 10% 30% 4,20% 0,42%
19 Medidas de associação entre 2 variáveis Covariância mês Fundo A Fundo B 0-1% -4% 1 0% 0% 2 1% 4% 0% 0% DP 1,0% 4,0% COVAR 0,040% CORREL +1
20 Medidas de associação entre 2 variáveis Covariância mês Fundo A Fundo B 0-1% 2% 1 0% 0% 2 1% -2% 0% 0% DP 1,0% 2,0% COVAR -0,020% CORREL -1
21 Medidas de associação entre 2 variáveis mês Fundo A Fundo B 0-1,00% 1,00% 1 1,50% 1,00% 2 2,00% 1,00% 3-0,30% 1,02% 4 1,50% 0,99% 5 2,00% 0,97% 6 1,50% 1,00% 7-1,40% 1,00% 8 1,00% 0,98% MÉDIA 0,8% 1,0% DP 1,3% 0,01% COV 0,000% CORREL 0
22 Cálculo da Covariância Cov (X, Y) = σ n k=0 Xi X. (Yi Y) n 1 mês Fundo A Fundo B X i -X Y i -Y (X i -X). (Y i -Y) 0-1,00% 2,00% -1,00% 2,00% -0,02% 1 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 2 1,00% -2,00% 1,00% -2,00% -0,02% MÉDIA 0,0% 0,0% DP 1,0% 2,0% COV -0,020% CORREL -1 SOMA -0,040%
23 Correlação A correlação depende da covariância entre dois ativos O legal da correlação é que a magnitude (o tamanho) do seu valor já nos permite interpretar o relacionamento entre duas variáveis Na covariância o sinal nos permitia entender a interação entre as variáveis, mas o número em si nos falava pouca coisa
24 Covariância e correlação Cov (X, Y) = σ n k=0 Xi X. (Yi Y) n 1 ρ a,b = COV a,b σ a. σ b mês Fundo A Fundo B X i -X Y i -Y (X i -X). (Y i -Y) 0-1,00% 2,00% -1,00% 2,00% -0,02% 1 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 2 1,00% -2,00% 1,00% -2,00% -0,02% MÉDIA 0,0% 0,0% DP 1,0% 2,0% COV -0,020% CORREL -1 SOMA -0,040%
25 Calculando a correlação ρ a,b = COV a,b σ a. σ b ρ a,b = 0,02% 1%. 2% = 1
26 Correlação: 1
27 Correlação: 0,88
28 Correlação: -1,00
29 Correlação: - 0,88
30 Correlação: - 0,12
31 Potencial de diversificação Correlação Maior potencial de diversificação Menor potencial de diversificação
32 Entendendo o potencial de diversificação Imagine dois ativos A e B: Eles têm o seguinte desempenho nos últimos 4 meses Mês Retorno A Retorno B 1 1,00% -0,50% 2 2,00% 3,00% 3-1,00% 3,10% 4 3,00% -1,50% média 1,25% 1,03% desvio padrão 1,71% 2,37% Vamos ver que ao montar uma carteira com a combinação desses dois ativos, o retorno médio da carteira será uma média do retorno dos ativos. Mas...o desvio padrão da carteira, ou seja, dos ativos combinados vai ser menor que o desvio padrão de A e menor que o desvio padrão de B também!
33 Entendendo o potencial de diversificação Mês Retorno A Retorno B Wa = 50% Wb = 50% Retorno da carteira 1 1,00% -0,50% 0,50% -0,25% 0,25% 2 2,00% 3,00% 1,00% 1,50% 2,50% 3-1,00% 3,10% -0,50% 1,55% 1,05% 4 3,00% -1,50% 1,50% -0,75% 0,75% média 1,25% 1,03% desvio padrão 1,71% 2,37% covariância -0,02% correlação -0,59 média 1,14% desvio padrão 0,97%
34 Potencial de diversificação Retorno médio Ativo A 1,03% Carteira 1,14% Ativo B 1,25% Risco Carteira 0,97% Ativo A 1,71% Ativo B 2,37%
35 Como se faz essa mágica R p = W A. R A + W B. R B R p = 0,5. 1,25% + 0,5. 1,03% = 1,14%
36 Como se faz essa mágica σ p = W A 2 σ A 2 + W B 2 σ B W A. W B. COV AB σ p = 0,5 2. 0, ,5 2. 0, ,5. 0,5. 0,0002 σ p = 0,97%
37 Como se faz essa mágica ρ a,b = COV a,b σ a. σ b COV a,b = ρ a,b. σ a. σ b σ p = W A 2 σ A 2 + W B 2 σ B W A. W B. COV AB σ p = W A 2 σ A 2 + W B 2 σ B W A. W B. ρ a,b. σ a. σ b
38 Exemplo O fundo A teve retorno médio de 1,8% ao mês nos últimos 6 meses com desvio padrão de 1,5% ao mês. Já o fundo B obteve 2,2% de retorno médio com desvio padrão de 1,8% ao mês. Sabendo que o coeficiente de correlação entre os dois fundos é de 0,2, calcule o retorno e desvio padrão de uma carteira formada por 75% do fundo A e 25% do fundo B.
39 Calculando o retorno da carteira R p = W A. R A + W B. R B R p = 0,75. 1,8% + 0,25. 2,2% = 1,90% Retorno médio Fundo A 1,8% Carteira 1,9% Fundo B 2,2%
40 Como o desvio padrão da carteira σ p = σ p = W A 2 σ A 2 + W B 2 σ B W A. W B. COV AB W A 2 σ A 2 + W B 2 σ B W A. W B. ρ a,b. σ a. σ b σ p = 0, , , , ,75. 0,25. 0,2. 0,015. 0,018 σ p = 1,29% Risco Carteira 1,29% Fundo A 1,5% Fundo B 1,8%
41 E se a correlação entre os fundos fosse igual zero? σ p = W A 2 σ A 2 + W B 2 σ B W A. W B. ρ a,b. σ a. σ b σ p = 0, , , , ,75. 0, ,015. 0,018 0 σ p = 1,21% Risco Carteira 1,21% Fundo A 1,5% Fundo B 1,8%
42 Frequência Inferência estatística mês retorno 1 2,46% 2 2,65% 3-0,87% 4 2,47% 5-2,94% 6 0,09% 7-2,79% 8 2,40% 9 2,72% 10-0,69% 11-2,79% 12 1,74% 13 0,70% 14-0,56% 15-3,13% 16 1,49% 17-0,43% 18 2,36% 19-1,52% 20 1,65% 21 1,06% 22 1,21% 23-2,22% 24-3,06% O passado só é relevante porque nos dá informação para o futuro Como vc contrata um pedreiro? Histograma -3% -2% -1% 0% 1% 2% 3% 4% Mais
43 A curva normal É comum, em finanças, assumirmos que os retornos dos ativos têm distribuição normal. 0,45 Distribuição Normal 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0-4S -3S -2S -1S µ 1S 2S 3S 4S
44 A curva Normal
45 A curva Normal
46 A curva Normal
47 A curva Normal
48 A curva Normal
49 A curva Normal Distribuição Normal 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 99% 0,05 0-4S -3S -2S -1S 1S 2S 3S 4S Entre -2,58 Ϭ e +2,58 Ϭ
50 Impacto do desvio padrão na forma da Normal 0,45 Distribuição Normal 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0-4S -3S -2S -1S µ 1S 2S 3S 4S
51 Exercício Um fundo de investimento teve retorno médio 1,5% ao mês e desvio padrão de 1,0%. Admitindose que os retornos sigam uma distribuição normal e esses parâmetros sejam mantidos, com 95% de confiança, quais serão os limites de retorno desse fundo?
52 Resolução Limite mínimo: μ 1,96. σ =1,5% 1,96. 1% = 0,46% Limite máximo: µ -1,96 S 1,96 S μ + 1,96. σ =1,5% + 1,96. 1% = 3,46%
53 Resolução Limite mínimo: μ 1,96. σ =1,5% 1,96. 1% = 0,46% Limite máximo: μ + 1,96. σ =1,5% + 1,96. 1% = 3,46% μ -1,96 S = -0,46% µ μ +1,96 S = 3,46%
54 Intervalo de Desvios-padrão confiança 68% 1 90% 1,65 95% 1,96 99% 2,58
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