Capítulo 3: Elementos de Estatística e Probabilidades aplicados à Hidrologia
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- Benedicta Rijo Vilalobos
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1 Departamento de Engenharia Civil Prof. Dr. Doalcey Antunes Ramos Capítulo 3: Elementos de Estatística e Probabilidades aplicados à Hidrologia
2 3.1 - Objetivos Séries de variáveis hidrológicas como precipitações, vazões, evaporação e outras, quando observadas ao longo do tempo, apresentam variações sazonais. Estas variações não são entretanto absolutamente regulares. A observação de séries longas de dados hidrológicos revelará a ocorrência de extremos (máximos e mínimos) e diferentes seqüências de valores, que caracterizam as variáveis hidrológicas como ALEATÓRIAS.
3 Portanto, variáveis hidrológicas sempre estarão associadas a uma probabilidade de excedência. Conseqüentemente, obras hidráulicas devem sempre ser dimensionadas para um determinado risco de falha. O objetivo da estatística é o de extrair informações significativas de uma dada massa de dados. As técnicas utilizadas em Estatística, aplicadas à Hidrologia, permitem avaliar a probabilidade de excedência de um fenômeno hidrológico em determinada magnitude.
4 As variáveis aleatórias podem ser classificadas em: Discretas: só podem assumir valores inteiros Ex.: nº de dias chuvosos em um ano Contínuas: podem assumir qualquer valor numérico real em um intervalo. Ex.: vazões médias diárias de um rio em uma determinada seção fluvial
5 Ano Vazão (m³/s) Tratamento Estatístico de Variáveis Hidrológicas Q (m³/s) HIDROGRAMA DE VAZÕES MÁIMAS ANUAIS
6 Ano Vazão (m³/s) m to 270 Vazões (m³/s) Freq. Absoluta 200 to to to to to to to to to to Histograma de Frequências Absolutas Simples to to to to to to 690 Intervalos de Vazões (m³/s) to to to 900
7 Ano Vazão (m³/s) Vazões (m³/s) Freq. Absoluta Freq. Relativa 200 to , to , to , to , to , to , to , to , to , to ,033 n 30 0,25 0,20 0,15 m/n 0,10 0,05 0,00 Histograma de Frequências Relativas Simples 200 to to to to to to to 690 Intervalos de Vazões (m³/s) 690 to to to 900
8 A freqüência relativa simples representa a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória esteja entre os valores limites de um certo intervalo de classe. P P [ x x ] m n i j [ ] Q 550 m s 0,13 13 % 0,25 0,20 0,15 m/n 0,10 0,05 Histograma de Frequências Relativas Simples 0, to to to to to to to to to to 900 Intervalos de Vazões (m³/s)
9 Vazões (m³/s) Freq. Absoluta Freq. Relativa Freq. Rel. Acum Cresc. 200 to ,067 0, to ,000 0, to ,033 0, to ,100 0, to ,133 0, to ,233 0, to ,200 0, to ,167 0, to ,033 0, to ,033 1,000 n 30 Histograma de Frequências Relativas Acumuladas Crescente m/n 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0, to to to to to to to to to to 900 Intervalo de Vazões (m³/s)
10 A freqüência relativa acumulada crescente representa a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória seja menor do que o limite superior do intervalo de classe considerado. P [ x ] ( m n ) j P [ ] 3 Q 550 m s 0,333 33,3% Histograma de Frequências Relativas Acumuladas Crescente m/n 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0, to to to to to to to to to to 900 Intervalo de Vazões (m³/s)
11 Vazões (m³/s) Freq. Absoluta Freq. Relativa Freq. Rel. Acum Decresc. 200 to ,067 1, to ,000 0, to ,033 0, to ,100 0, to ,133 0, to ,233 0, to ,200 0, to ,167 0, to ,033 0, to ,033 0,033 n 30 Histograma de Frequências Relativas Acumuladas Decrescente m/n 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0, to to to to to to to to to to 900 Intervalo de Vazões (m³/s)
12 A freqüência relativa acumulada decrescente representa a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória seja maior do que o limite inferior do intervalo de classe considerado. [ x ] ( m n) P i 1 [ ] m s 0,667 66,7% P Q Histograma de Frequências Relativas Acumuladas Decrescente m/n 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0, to to to to to to to 690 Intervalo de Vazões (m³/s) 690 to to to 900
13 PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA: P [ ] x x m n i j P [ ] Q 550 m s 0,13 13 % PROBABILIDADE DE ECEDÊNCIA: P [ x ] 1 ( m n ) i [ ] 550 m 3 s 0,667 66,7% P Q
14 Função Densidade de Probabilidade P ( a x b) f ( x) b a x dx Propriedades: f x ( x ) f x 0 ( x ) dx 1 A função densidade de probabilidade fornece a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória esteja entre os valores limites de um certo intervalo de classe, por exemplo, entre a e b.
15 Fonte: Naghettini e Pinto, 2007.
16 Medidas Descritivas Populacionais Valor Esperado: V.A. discreta: [ ] E µ x p x ) i ( i V.A. contínua: E [ ] µ x f ( x) dx O Valor Esperado é uma medida de tendência central
17 Medidas de dispersão em torno da medida central Var [ ] 2 σ µ E ( µ ) 2 Variância: [ ] [( [ ]) 2 ] 2 E E [ ] 2 2 σ µ E[ ] ( E[ ]) 2 Var 2
18 Desvio-padrão: σ Var ( ) 2 [ ] 2 E [ ] ( E [ ]) σ Var [ ] 2 x f x) dx ( x f ( x) dx 2 Coeficiente de Variação CV σ µ
19 Coeficiente de Assimetria: γ µ 3 ( σ ) 3 E [( ) ] 3 µ ( σ ) 3 Coeficiente de Curtose κ µ 4 ( σ ) 4 E [( ) ] 4 µ ( σ ) 4
20 Fonte: Naghettini e Pinto, 2007.
21 Medidas Descritivas Amostrais Medidas Descritivas Amostrais N i x i N 1 1 Média Aritmética Simples: Média Aritmética Simples: Média Aritmética Ponderada: Média Aritmética Ponderada: k i i i k i i i k k x p N x N N x N x N x N
22 Mediana : valor de x para o qual as probabilidades de ocorrência de valores superiores e inferiores são as mesmas e iguais a 50% Moda : valor de x que possui a máxima probabilidade, ou em outras palavras, é o mais frequente.
23 Desvio-Padrão Amostral: Desvio-Padrão Amostral: ( ) ( ) N x N N N x s i N σ N Coeficiente de Variação Amostral Coeficiente de Variação Amostral s C N V 1
24 Coeficiente de Assimetria Amostral: 2 N x³ x² g ( N 1)( N 2) N N Fonte: Naghettini e Pinto, 2007.
25 REGRESSÃO E CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS A correlação entre duas variáveis aleatórias é uma técnica muito utilizada em Hidrologia. Muitas análises se baseiam nesta estatística. A teoria da regressão e da correlação visa determinar a melhor relação de dependência entre as variáveis e estabelecer qual é o grau dessa dependência estocástica.
26 Utilização das técnicas de regressão e correlação em hidrologia: Extensão de séries Previsão hidrológica Regionalização hidrológica Curva-chave Q a a? ( h h ) 0 n? n
27 Problema Estatístico ou de CORRELAÇÃO: Qual é o grau de dependência estocástica entre x e y? Qual é o coeficiente de correlação R entre x e y? Problema Geométrico ou de REGRESSÃO: Qual é a melhor relação entre x e y? Qual é o lugar geométrico dos pontos (x i, y i ) que tornam mínimos os desvios entre os pontos observados e estimados? 1º Problema: R? 2º Problema: a? Fonte: Naghettini, b?
28 -1 R 1 R 0 não existe correlação R 1 relação funcional R -1relação funcional Fonte: Naghettini, 1999.
29 Modelos de Regressão: Simples : Linear: y a + b Não linear: y a b Múltipla : Linear: y a + b Z + c T +... Não linear: y a m. Z n. T p
30 Seqüência para a regressão simples: Agrupar as 2 amostras convenientemente Verificar o sentido físico Plotar os pontos (x, y) Escolher o modelo de regressão, ou seja, a forma da equação Resolver matematicamente o problema Verificar se os resultados estão de acordo com os princípios físicos
31 Covariância cov(, Y ) 1 i i Y N ( x )( y ) Coeficiente de Correlação ρ 2, Y R cov( σ, Y. σ Y )
32 Linearização de Funções: anamorfose logaritmica Função Y A B Transf. Y Transf. log( Y ) log( ) Forma linearizada ( Y ) log( A) B log( ) log +
33 3.3 Determinação da Probabilidade de um Evento Hidrológico ser Excedido Problema: Qual é a probabilidade P de uma variável hidrológica ser igualada ou excedida em um ano qualquer? Exemplo: Vazão em uma seção: P [ Q 40 m³/s ]? Altura de chuva: P [ h 120 mm]? Nível d água: P [ y 4,0 m ]?
34 Período de Retorno ( ou Tempo de Recorrência): Intervalo de tempo, em anos, em que uma variável hidrológica é igualada ou excedida, em médiam dia. T ( em anos) 1/P É calculado como o inverso da probabilidade de excedência da variável aleatória hidrológica
35 Se uma vazão Q tem um período de retorno de 50 anos isto significa que, em média(!), esta vazão é igualada ou excedida a cada 50 anos. Em outros termos: A vazão Q tem uma probabilidade P 1/T 1/ (ou 2%) de ser igualada ou excedida, em um ano qualquer. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: Período de Retorno é um conceito probabilístico (não significa periodicidade!) O período de retorno, T, é o inverso da probabilidade de excedência de um certo valor da variável aleatória.
36 Risco associado a um Período de Retorno: Risco é a probabilidade de uma obra falhar pelo menos uma vez durante sua vida útil, n, para um certo período de retorno. r T n Exemplo: Qual o risco da canalização de um rio falhar pelo menos uma vez durante sua vida útil, estimada em 30 anos? Suponha que a obra tenha sido projetada para T 100 anos. Resposta: r 1 - (1-1/100) 30 0, ,03%
37 T 5 anos T 10 anos Risco(%) T 50 anos T 100 anos T 500 anos Vida Útil (anos) Fonte: Zahed e Mello, 2010.
38 Função de Distribuição Acumulada F x b ( b) f ( x) dx P( x b) x Fonte: Naghettini e Pinto, A função de distribuição acumulada representa a probabilidade de não-excedência do valor b
39 Probabilidade de Excedência [ ] [ ] ( ) ( )dx x f b F b P b P b x x > Período de Retorno Período de Retorno [ ] [ ] ( ) ( )dx x f b F b P b P T b x x >
40 Exemplo: Qual o período de retorno de uma chuva de 100mm na cidade de Joinville? T 1 1 P[ h > 100] 1 P[ h 100] 1 F ( ) 100 h f 1 h ( h)dh
41 Fator de Frequência: Chow (1964): x µ + x onde x σ K T x T µ + σ K T Usando as estimativas amostrais: x T + σ K T K T é o fator de frequência associado ao modelo probabilístico e ao período de retorno T.
42 Funções de Distribuição Acumuladas mais utilizadas em Hidrologia A função de distribuição acumulada representa a probabilidade de não-excedência do valor b Distribuições: F x b ( b) f ( x) dx P( x b) x Normal: Log-Normal: Gumbel: Log-Pearson III: vazões médias e totais de chuvas anuais vazões médias e totais de chuvas anuais e mensais vazões máximas anuais e vazões máximas mensais vazões máximas anuais e mensais chuvas diárias máximas anuais e mensais vazões máximas e chuvas diárias máximas anuais
43 DISTRIBUIÇÃO NORMAL (ou de GAUSS) É uma distribuição simétrica de 2 parâmetros: µ e σ f ( x) σ e 2π ( xµ ) 1 2σ 2 2 < x < Fonte: Zahed e Mello, 2010.
44 DISTRIBUIÇÃO NORMAL (ou de GAUSS) F ( x) x f x) dx 1 e σ 2π ( xµ ) x 2σ ( 2 2 dx Fonte: Zahed e Mello, 2010.
45 DISTRIBUIÇÃO NORMAL (ou de GAUSS) f ( x) σ ( xµ ) 1 2σ e 2π 2 2 < x < Variável central reduzida: z x µ σ Distribuição Normal Padrão N(0,1) tabelada : f z z 1 2 ( z) e Φ( z) 2π 2 z f Z ( z) dz
46 Fonte: Pinto e outros, 1976.
47
48 Fonte: Naghettini e Pinto, 2007.
49
50 x + T K T σ Nesse caso: K T z x σ
51 DISTRIBUIÇÃO LOG-NORMAL É uma distribuição assimétrica de 2 parâmetros: µ y e σ y É a distribuição normal dos logaritmos de : y ln i x i Variável central reduzida: z y µ Y σ Y Distribuição Normal Padrão N(0,1) tabelada : 2 z 1 2 ( z) e Φ( z) f z fz ( z) dz 2π z
52 Nesse caso: K T z y Y σ Y y Y + T K T σ Y x T e y T
53 DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL Fonte: Zahed e Mello, 2010.
54 DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL É uma distribuição assimétrica de 2 parâmetros: α e β É uma distribuição assimétrica de 2 parâmetros: α e β β x α y σ σ π β σ µ β µ α 0, ,45 0,5772 Variável reduzida: Variável reduzida: b a x e e x P F ) ( ) ( y e Y e y F ) (
55 DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL Variável reduzida: x α x µ + 0,45 σ y β 0,7797 σ F Y ( y) e e y
56 T e y F x P y e Y 1 1 ) ( 1 ) ( T y 1 1 ln ln y e e T 1 1
57 x + K T T σ y T x T + 0,45 0,7797 σ σ y T + K T σ 0, σ 0,45 σ K 0,7797 y + T T 0,45
58 Exemplo de aplicação: Determinação de Q para um certo período de retorno T 1. Com o valor de T desejado calcula-se y T 1 y T ln ln 1 T 2. O valor de K T depende somente de y K 0,7797 y T T 0,45 3. O valor de Q T é então calculado por: Q Q + K T T σ Q
59 DISTRIBUIÇÃO LOG-GUMBEL (ou FRÉCHET) É a distribuição de Gumbel dos logaritmos de : z ln i x i y ln ln 1 1 T K T 0,7797 y 0,45 z Z + K T T σ Z x T e z T
60 DISTRIBUIÇÃO LOG-PEARSON III É uma distribuição assimétrica de 3 parâmetros: a média µ, o desvio-padrão σ, e o coeficiente de assimetria g, aplicados aos logaritmos de : y ( ) ln N yi Y i x i g i 1 N 2 2 i i 1 ( N ) ( y Y ) N Fonte: Zahed e Mello, 2010.
61 DISTRIBUIÇÃO LOG-PEARSON III Fonte: Zahed e Mello, y T Y + K T σ T Y x T e y
62 Ano Qmax Exemplo numérico: Calcular a vazão de 10 anos de período de retorno do Rio do Peixe Vazão média: Q m 63,04 m 3 /s Desvio padrão: σ Q 19,70 m 3 /s Q 63, , 70 T K T
63 1 Usando a Distribuição Normal Q Q K T z σ Q QT Q + K T σ Q Q 63, , 70 T K T
64 1 1 T 10 anos P 0,10 T 1 P 1 0, ,90 para ( 1 P 0,90) z K 1, 28 10
65 Q 63, , 70K T T para ( 1 P 0,90) z K 10 1, 28 para K 10 1,28 Q 10 63, ,70.1,28 Q 10 88,256 m 3 s
66 2 Usando a Distribuição de Gumbel 1 ln ln y ,250 K T 0,7797.2,250 0,45 1,304 Q 10 63,04 + 1,304 x 19,70 Q 10 88,74 m 3 /s
67 Calculando y para outros valores de T Para T 10 anos: y 10 2,250 Q m 3 /s Para T 100 anos: y 100 4,601 Q m 3 /s Para T 1000 anos: y ,907 Q m 3 /s
68 Papel de Probabilidade Papel de Probabilidades de Gumbel T(anos) Fonte: Zahed e Mello, variável reduzida (y) Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto
69 Papel de Probabilidades Normal T(anos) Prof. Dr. Kamel Zahed Filho variável reduzida (z) Prof. Dr.Rubem La Laina Porto Fonte: Zahed e Mello, 2010.
70 Papel de Probabilidades Log-Normal T(anos) Prof. Dr. Kamel Zahed Filho variável reduzida (z) Prof. Dr.Rubem La Laina Porto Fonte: Zahed e Mello, 2010.
71 Papel de Probabilidades de Gumbel T(anos) Prof. Dr. Kamel Zahed Filho variável reduzida (y) Prof. Dr.Rubem La Laina Porto Fonte: Zahed e Mello, 2010.
72 DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL Papel de Probabilidades de Gumbel para T T 1000 anos: y 2, m ,907 Q /sm 3 /s T(anos) para T 100 anos: y 100 4,601 Q m 3 /s Reta teórica variável reduzida (y) Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto
73 Processo Gráfico Ordenar as vazões em ordem decrescente e atribuir a cada uma delas uma probabilidade empírica dada pela expressão: P(q > Q) m/(n+1) como na Tabela:
74 Número de Vazão Probabilidade Período de Ordem Retorno m Q P(q > Q) T 1/P 1 Q 1 1/(N+1) (N+1) 2 Q 2 2/(N+1) (N+1)/2 3 Q 3 3/(N+1) (N+1)/ N Q N N/(N+1) (N+1)/N Fonte: Zahed e Mello, 2010.
75 Qmax Ano Aplicação do procedimento gráfico Aplicação do procedimento gráfico T Pacum Qmax Ano N. de Ordem N+1 m/n+1 m Fonte: Zahed e Mello, 2010.
76 Aplicação do procedimento gráfico Papel de Probabilidades de Gumbel T(anos) Q m 3 /s Reta empírica Qmax Pacum m/n T N variável reduzida (y) Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto
77 Aplicação do procedimento gráfico Papel de Probabilidades de Gumbel T(anos) Reta empírica Reta teórica
78 Fontes : Naghettini, M. Engenharia de Recursos Hídricos Notas de Aula, Departamento de Engenharia Hidráulica e Recursos Hídricos, EE-UFMG, Belo Horizonte, Zahed Fº, K & Mello Jr. A. V. Material de Aulas - Disciplina PHD2307 -Hidrologia Aplicada, Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental, Poli-USP, São Paulo, Naghettini, M. e Pinto, E. J. A. Hidrologia Estatística, CPRM, Belo Horizonte, (in: Pinto, N.L.S. e outros. Hidrologia Básica, Edit. Edgard Blucher, São Paulo, 1976.
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