Estatística de Extremos Vazões Máximas e Mínimas

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1 Universidade de São Paulo PHA3307 Hidrologia Aplicada Escola Politécnica Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental Estatística de Etremos Vazões Máimas e Mínimas Aula 8 Parte de Prof. Dr. Arisvaldo Méllo Prof. Dr. Joaquin Garcia

2 Objetivos da Aula. Conhecer algumas distribuições de probabilidades de etremos.. Aprender as distribuições Normal, Log Normal, Log Pearson III e Gumbel (máimas) e Weibull (mínimas). 3. Aprender a fazer um papel de probabilidades. 4. Conhecer alternativas de ajustes de distribuições de probabilidades a vazões etremas (máimas e mínimas). 5. Aprender o conceito e fazer uma aplicação prática da determinação da Q 7,0.

3 Revisão Aula6 - Estatística Eventos Hidrológicos: Variáveis Aleatórias Conceitos de Período de Retorno e Risco Determinação de Condições Etremas Seleção da Amostra Cálculo das Estatísticas Básicas Ordenação e Estimação: Distribuição Probabilística Empírica, Posição de Plotagem Ajuste de distribuição probabilística, a opção: Distribuição Normal

4 Distribuições de Probabilidade As distribuições de probabilidades que normalmente se adaptam bem a vazões máimas são: GUMBEL ( parâmetros) LOG GUMBEL ( parâmetros) LOG NORMAL ( parâmetros) LOG PEARSON III (3 parâmetros)

5 f() Distribuição Normal F() f Função de distribuição de probabilidade ep F Função acumulada de probabilidades de não ecedência f d PX % 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0%

6 Distribuição Normal variável normal padronizada B F F F f d PX z z z B para z 0 z B para z z z z

7 Função de probabilidade acumulada de não ecedência F() 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% F = P F = - P = - / ratando de máimas (colocamos os dados em ordem decrescente), se F() é função acumulada de probabilidades de não ecedência, ela é igual a menos a probabilidade de ecedência f d = P X = P X =

8 Fator de Frequência f() A magnitude de um evento hidrológico pode ser representada pela média acrescida de uma variação em torno da média: A variação pode ser considerada igual ao produto do desvio padrão e um fator de frequência K, que está em função do período de retorno e do tipo de distribuição de probabilidade usada na análise: K s + K s P X f d

9 f() Distribuição Log Normal F() f ep y y y Onde y = ln () Etensão: > 0 Admite que os logaritmos das vazões máimas anuais seguem uma distribuição normal ( = ln(q)) Q (m³/s) 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% Q (m³/s)

10 Fator de Frequência para Distribuição Normal K s Variável normal padronizada z O valor de z corresponde a uma probabilidade de ecedência de p (p = /) e pode ser calculada com o auílio de uma variável intermediária w: K z w ln Quando w w w.43788w w w 0 p 0.5 p p 0.5 substituir p por p 3

11 Eemplo Distribuição Normal Qual a vazão máima anual para um período de retorno de 0 anos do rio Jaguari calculada usando o fator de freqüência para a distribuição Normal? = 0 anos, p = /0 = 0. w ln 0. K K s m /s 3.88

12 Usando a distribuição Log Normal Calcular os logaritmos das Q máimas anuais: = ln(q) Calcular a média: Calcular o desvio padrão: S Obter os valores de para probabilidades de 50, 0, 0, 4,, %, etc, que correspondem aos de, 5, 0, 5, 50, 00 anos, etc. Calcular as vazões correspondentes (Q=e ) para cada Dica: no Ecel podem ser utilizadas as funções DIS.NORM(;média;desv_padrão;cumulativo) e a inversa INV.NORM(probabilidade;média;desv_padrão) ou diretamente a DIS.LOGNORMAL e INVLOG Retorna o inverso da distribuição log-normal cumulativa de, onde ln() é normalmente distribuída.

13 Distribuição Log Pearson ipo III Utiliza, além da média e do desvio padrão, um terceiro parâmetro estimado a partir dos dados, que é o coeficiente de assimetria. f s g s e função gama Para não inteiro pode -se usar a seguinte Com a propriedade : e 88 Karl Pearson, aproimação :

14 Fator de Frequência para Log Pearson III Os valores de K podem ser calculados ou tabelados para diferentes valores do coeficiente de assimetria. S K O fator de frequência depende do período de retorno e do coeficiente de assimetria g. Quando g = 0; K = z (variável normal padronizada) Quando g 0; K é calculado por: g g z g z g z z g z z K

15 Eemplo K Log Pearson III Qual a vazão máima anual para um período de retorno de 0 anos do rio Jaguari calculada usando o fator de freqüência para a distribuição Pearson ipo III? 34.7 m /s s K ln ln p w w w w w w w z z z z z z z K g =.367

16 Distribuição Gumbel Emil Gumbel (89 966) densidade f() acumulada F()

17 Distribuição Gumbel u s s e F u e u y y e e F probabilidade de F ) ( F y e F e e F y y e y ln ln ln ln ln F - ln ln ln ln ln F F P P ln ln y Na distribuição Gumbel o cálculo é direto, não depende de integração numérica ou consulta a tabelas!

18 Relação de com y na distribuição Gumbel y y u u 0,7797s y 0,45s 0,5770,7797s 0,7797s Desenvolva um modelo de análise de frequência de vazões máimas anuais para o Rio Jaguari, usando a distribuição de Gumbel e calcule a vazão para um período de retorno de 0 anos s 95,4604 F 6s 74,43 u 0, e e 45 74,43 0 y anos 0 lnln 0, ,43,5 3,5 3 m /s

19 K para Distribuição Gumbel y lnln K s y K 0,45s 0,7797s 0,7797y 0,45 K s 0,45s 0,7797s Qual a vazão máima anual para um período de retorno de 0 anos do rio Jaguari calculada usando o fator de freqüência para a distribuição Gumbel? y K 0 anos 0 lnln.5 0 0,7797,5 0,45, ,97,30495,46 3,5 m /s

20 Correção de K Ano Vazão máima Ordem P Y Kt Qt (m 3 /s) , , , , , , , , , , , , , , K não corrigido K y 0.45 K K corrigido K y y S K lnln yn média de y Sn desvio padrão populacional de y (no Ecel, DESVPAD.P) n n Correção de K y S n y S n n Q = = Q Q K S Q m / s

21 Usando a distribuição Gumbel Calcular a média (X) e o desvio padrão (S) (estimadores de e ) para obter os parâmetros a e b da distribuição Gumbel: Obter os valores de para probabilidades de 50, 0, 0, 4,, %, etc, que correspondem aos de, 5, 0, 5, 50, 00 anos, etc

22 Comparação de resultados Rio Guaporé Normal Log Normal Log Pearson III Gumbel

23 este de Aderência este de ajuste entre frequências observadas em uma amostra (o i ) e frequências esperadas (e i ) para uma variável aleatória de uma população. k i e o O valor crítico de ² pode ser obtido em tabelas para um nível de significância () e graus de liberdade (k-p), em que p é o número de parâmetros da distribuição. i e i i Se ² < c ² não há diferença estatística entre os dados observados e calculados

24 Distribuição GL 0, 0,05 0,0 5,307 4,996 8,59 0 8,4 3,40 35, ,38 37,65 4, ,56 43,773 47, ,059 49,80 54, ,805 55,758 60, ,505 6,656 66, ,67 67,505 7,63 Dica: No Ecel: =INV.QUIQUA.CD(, GL)

25 Papel de Probabilidade Ajuste gráfico que lineariza a função de probabilidade. Os dados plotados são ajustados a uma reta para propósito de interpolação e etrapolação Papel de Probabilidades de Gumbel (anos) variável reduzida (y) Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto

26 Procedimento Ordenar as vazões em ordem decrescente e atribuir a cada uma delas uma frequência amostral: P(q>Q) = m/(n+) Número de Vazão Probabilidade Período de Ordem m Q P(q>=Q) Retorno =/P Q /(N+) (N+) Q /(N+) (N+)/ 3 Q 3 3/(N+) (N+)/3 N Q N N/(N+) (N+)/N

27 Qma Ano Pacum Qma Ano N. de Ordem N+ m/n+ m Vazão média: Q m = Desvio padrão: S Q = 9.70 Aplicação do procedimento gráfico

28 Definição da Reta eórica = Papel de yprobabilidades de Gumbel para = 000 anos: y 000 = QQ 000 = para = 00 anos: y 00 = 4.60 Q 00 = (anos) Reta teórica variável reduzida (y) Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto

29 Aplicativo de Ajuste de Distribuição

30 Aplicativo de Ajuste de Distribuição

31 Análise Crítica da Metodologia Estatística Definição da série de valores etremos incertezas da curva-chave Hipótese: os valores etremos são variáveis aleatórias com população infinita. desvinculação da hidrometeorologia e da física, passando para estatística Ajuste de alguns modelos matemáticos de distribuição probabilística Escolha da Distribuição distribuições não tem limite superior ajustadas combase em poucos e, relativamente, baios valores critérios subjetivos Etrapolação da Distribuição Probabilística escolhida não permite verificar se valores etremos inferidos são factíveis

32 Vazões mínimas

33 Importância do Estudo das Vazões Mínimas Abastecimento de Água, Pesca e Agropecuária 38

34 Importância do Estudo das Vazões Mínimas Geração de Energia Elétrica, Lazer e urismo 39

35 Importância do Estudo das Vazões Mínimas Navegação, Poluição de Córregos e Represas 40

36 Importância do Estudo das Vazões Mínimas odas as Regiões do Brasil Amazonas Rio Grande do Sul 4

37 Causas Antrópicas e Aleatoriedade Eiste influência das atividades do homem, mas o fenômeno também é aleatório, como as ocorrências das grandes vazões 4

38 Vazões Mínimas A análise de vazões mínimas é semelhante à análise de vazões máimas, eceto pelo fato que no caso das vazões mínimas o interesse é pela probabilidade de ocorrência de vazões iguais ou menores do que um determinado limite. Na análise utilizando probabilidades empíricas, esta diferença implica em que os valores de vazão devem ser organizados em ordem crescente, ao contrário da ordem decrescente utilizada no caso das vazões máimas.

39 Vazões Mínimas Usos Disponibilidade hídrica em períodos críticos Legislação de qualidade de água Outorgas Normalmente, as vazões mínimas que interessam têm a duração de vários dias Q 7,0 é a menor média das vazões em sete dias consecutivos com recorrência de 0 anos

40 Vazões mínimas de cada ano

41 Q (m³/s) Série de Vazões Mínimas ano

42 Procedimentos Seleção da Amostra ano Q(m³/s) média 6. devio padrão 6.9 assimetria 0.46 Ordenação e Distribuição Probabilística Empírica i ano Q(m³/s) P (anos) % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %.0 i P N P

43 Distribuição Weibull e podem ser obtidos com o solver ( >0 e >0) no Ecel, ()=EXP(LNGAMA()) no Ecel, F()=WEIBULL(,,,verdadeiro) z 0 n n! z e d Waloddi Weibull ( )

44 Distribuição Weibull Obtenção de e com o solver,² calculados com base na amostra =*(+/) ²=²*((+/) ²(+/)) no Ecel, ()=EXP(LNGAMA()) encontrar e para igualar e ² com as restrições >0 e >0

45 Distribuição Weibull - obtenção de e com o solver,² calculados com base na amostra =*(+/) Eq. ²=²*((+/) ²(+/)) Eq. no Ecel, G()=EXP(LNGAMA()) encontrar e para igualar m e s² com as restrições > 0 e > 0 5

46 Distribuição Weibull K65 Min I60:I6 > 0 > 0 GRG Não Linear Resolver 5

47 Distribuição Weibull - Desenho da curva teórica Q (m³/s) Famostral = i/(n+) (N=3) 5- Desenho da curva teórica de Weibull (Alternativa) i Ano Q(m³/s) F amostral (anos) Qteor ,0 0,03 33,0 53, ,5 0,06 6,5 68, ,5 0,09,0 79, ,5 0, 8,3 88, , 0,5 6,6 96, ,3 0,8 5,5 03, ,0 0, 4,7 09,9 8 98,4 0,4 4, 5,9 9 99,4 0,7 3,7, , 0,30 3,3 7, 970 8,7 0,33 3,0 3,5 996,6 0,36,8 37, ,6 0,39,5 4, ,4 0,4,4 47, ,0 0,45, 5, , 0,48, 57, ,0 0,5,9 6, ,0 0,55,8 67, ,0 0,58,7 7, ,0 0,6,7 77,6 amostral =(N+)/i (N=3) Qteor= =*(-LN(- F amostral ))^(/) (anos) Dados Distribuição teórica Etrapolação da Curva teórica ,6 0,97,0 8,9 5- Etrapolação da Curvaeórica (anos) Qteor 34,0 5,8 35,0 5,3 40,0 49,9 45,0 47,8 50,0 46, 50,0 46, 75,0 39,9 00,0 36,0 Q teor = *(-LN(-/)^(/) 53

48 Q (m³/s) Distribuição Weibull (anos)

49 Vazão Q 7,0 Média histórica das vazões mínimas de 7 dias consecutivos, com período de retorno de 0 anos. Variável utilizada na avaliação de mananciais para abastecimento público. Usada como vazão de referência para outorga (mas não leva em conta critérios ambientais, nem econômicos).

50 Como calcular a Q 7,0? Vazões diárias do Rio urvo em Olímpia/SP posto 5B-004 5B-004

51 Como calcular a Q 7,0? ) Seleção da amostra Série histórica de vazões diárias de i anos (i 30 anos) ) Formação da série das Q 7 mínimas observadas Cálculo das médias-móveis de 7 dias (Q 7 ) 365 valores de Q 7 para cada um dos i anos Formar uma série de i elementos, composta pela menor Q 7 obtida em cada ano (Q 7m ) 3) A série de i valores de Q 7m deve ser ajustada a uma distribuição de probabilidade 4) Para cada período de retorno desejado tem-se: Média das Q 7m Desvio pad. das Q 7m Fator de frequência

52 Como calcular a Q 7,0? A epressão de K varia conforme a distribuição probabilística utilizada: Normal; Log-Normal Gumbel; Log-Gumbel Pearson; Weibull... Qual é a melhor? Os resultados devem ser coerentes com a realidade física da bacia!

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54 Metodologia Estatística para Determinação de Valores Etremos Escolha do posto fluviométrico e análise de consistência dos dados Seleção da série de valores etremos no ano hidrológico Escolha da Posição de Plotagem Ajuste de distribuições probabilísticas, determinando seus parâmetros cálculo de estatísticas básicas Escolha da Distribuição: ajuste gráfico e testes de aderência testes para verificação da presença de outliers ou valores ecepcionais Etrapolação da Distribuição Probabilística escolhida Hipótese: os valores etremos são variáveis aleatórias e independentes com população infinita Determinação dos valores etremos associados aos períodos de retorno

55 Dica: Livro de Estatística download gratuito do livro: Recursos Hídricos Produtos e Publicações Livro Hidrologia Estatística

56 Eercício: Estatística

57 Chama o Aleandre! Chama! Olha a chuva que chega! É a enchente. Olha o chão que foge com a chuva... Olha a chuva que encharca a gente. Põe a chave na fechadura. Fecha a porta por causa da chuva, olha a rua como se enche!...