Estatística de Extremos

Transcrição

1 Universidade de São Paulo PHD 3307 Hidrologia Aplicada Escola Politécnica Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental Estatística de Extremos Aula 17 Parte 1 de 2 Prof. Dr. Arisvaldo Méllo Prof. Dr. Joaquin Bonnecarrere

2 Objetivos da Aula 1. Aprender os conceitos de período de retorno e risco 2. Conhecer aplicações em eventos extremos de cheias e estiagens. 3. Aprender conceitos de estatística descritiva: parâmetros da amostra e período de retorno amostral 4. Rever os conceitos de histograma, função densidade de probabilidade e função de probabilidades acumuladas. 5. Rever a distribuição normal.

3 Curva de Permanência vazões (m³/s) Curva de Permanência - Vazões Médias Mensais Guarapiranga % 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% freqüência de excedência (%) exemplo: a vazão de 5,4 m 3 /s é igualada ou superada em 90% dos meses

4 Curva de Permanência - Limitação Vazões (m3/s) 25? Frequência Freqüência de excedência de excedência (%) (%) Como se poderia obter a vazão Q 5 neste exemplo? A extrapolação gráfica poderia levar a erros muito grandes... 4

5 NAmax (m) Eventos Hidrológicos como Variáveis Aleatórias Dados hidrológicos apresentam variações sazonais que podem ser irregulares e onde ocorrem extremos e diferentes seqüências de valores variáveis aleatórias. 30 NA máximos anuais do Rio Negro em Manaus Variáveis hidrológicas estarão sempre associadas a uma probabilidade de ocorrência. Técnicas estatísticas podem ser aplicadas para avaliar a ocorrência de fenômenos hidrológicos com determinada magnitude.

6 São Paulo Várzea do Carmo Militão Augusto de Azevedo Várzea do Carmo Fonte: exposição: Inundações em São Paulo

7 São Paulo Autor desconhecido Fonte: exposição: Inundações em São Paulo

8 São Paulo Rua da Cantareira Benedito Junqueira Duarte Fonte: exposição: Inundações em São Paulo

9 São Paulo Iminência de Galgamento da Barragem do Guarapiranga

10 Paranapanema

11 Santa Catarina

12 São Paulo, 2009

13 Aplicações: dimensionamento de vertedores, canais de drenagem, obras de proteção contra cheias, etc... foto com vertedor, pode ser jurumirim ou outra do panema... 13

14 Também pode ser aplicada ao estudo de secas (Amazônia, 2005) 14

15 Conceito de Período de Retorno Período de Retorno (ou Tempo de Recorrência) é definido como o intervalo médio de tempo em que um dado evento é igualado ou ultrapassado. Numericamente é igual ao inverso da probabilidade. T 1 P Quando a ocorrência de um determinado evento está associada a um período de retorno igual a 50 anos, diz-se que tal evento deve ocorrer ou ser superado num tempo médio de 50 anos. Fica intrínseco que sua probabilidade de ocorrência é igual a 2% (em um ano QUALQUER). É um conceito probabilístico (não significa periodicidade!!!)

16 Conceito de Período de Retorno q q E T j q1 1 p n 1 p n j1 p p Probabilidade de não-ocorrência num ano Probabilidade de não-ocorrência em um período n ( n anos) 1 Probabilidade da cheia acontecer pela primeira vez (anos normais, j 1) e o último ano com cheia n X x p x E p 1 i1 i j j1 p p 2 1 j1 x i j 1 2 pp 31 p p 41 p p 31 p 41 p p Valor esperado de uma variável aleatória (X) 3 p 2 1 x n 1 nx nn 1/ 2x nn 1n 2 com x 1 p e n 2 / 6 x 3 T T E x p 1 1 p p p p p = 2 1 p 2

17 Conceito de Risco Associado a um Período de Retorno q 1 T P q 1 P n 1 1 P n Período de retorno igual ao inverso da probabilidade de ocorrência; Probabilidade de não-ocorrência num ano; Probabilidade de não-ocorrência em um período n ( n anos); R T n Probabilidade de ocorrência (uma ou mais vezes) de um determinado evento em um determinado período n chamado de horizonte de planejamento. Risco.

18 Exemplo Uma obra de proteção contra inundações foi projetada com período de retorno de 50 anos. Durante os primeiros 49 anos de operação da obra não se observou nenhuma vazão maior ou igual à vazão de projeto. A probabilidade de que no 50º ano ocorra uma vazão maior ou igual à vazão de projeto será? R ,02 2%

19 Exemplo Qual o risco que a canalização do rio Tamanduateí tem de falhar pelo menos uma vez durante sua vida útil, estimada em 50 anos? A obra foi projetada para T = 500 anos. R ,095 9,5%

20 Exemplo Qual o risco de ocorrência (uma ou mais vezes) de um determinado evento em um período igual ao seu período de retorno (n=t)? 5 anos: 50 anos: 100 anos: 1000 anos: R 1 R 1 R 1 R / 5 0,672 67,2% / 50 0,636 63,6% /100 0,634 63,4% /1000 0,632 63,2% T lim R( T ) T lim 1 1 T 1 T 1 1 e 63,2%

21 Risco x T

22 repetindo: Período de Retorno é um conceito probabilístico, NÃO significa periodicidade!!! 22

23 Riscos Intrínsecos 1E-08 1E-07 1E-06 1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01 1E+00 casamento terminar em divórcio morrer fazendo roleta russa morte por câncer ter o carro roubado/furtado em São Paulo morrer de infarto morrer assasinado morrer em acidente de carro incêndio em casa (de qualquer proporção) ter a casa roubada/furtada morrer atropelado em São Paulo ser assaltado em São Paulo bater carro(dia de chuva) emsão Paulo bater carro(dia sem chuva) em São Paulo acidente doméstico (escada) acidente doméstico (garrafa) acidente doméstico (brinquedo) acidente doméstico (copo) acid.dom. (ferramenta elétrica) escorregar em tapete morte por acidente dom ser atingido por um raio ganhar na lot esportiva morte acid. aéreo acidente aéreo supersena ser atingido por avião RISCO DE VIVER

24 Qual é a vazão de projeto? É um dos problemas mais comuns (e importantes) em hidrologia, uma vez que involve diretamente as dimensões da obra (e portanto, seu custo) e o risco que esta obra tem de falhar durante sua vida útil. Valores usuais de T (anos) Obras de microdrenagem 2 a 10 Obras de macrodrenagem 25 a 100 Barragens 1000 a 10000

25 Determinação de Condições Extremas Em alguns estudos faz-se necessária a determinação de condições extremas, por exemplo a vazão de cheia com período de retorno de anos. Verifica-se também a necessidade de determinação de vazões mínimas, seja para fins de abastecimento, navegação, geração de energia, ambientais, etc.

26 Seleção da Amostra vazão (m³/s) Séries temporais: contínuas, máximos, mínimos, médias Vazões médias mensais do Guarapiranga: tempo (meses)

27 Séries de vazões diárias

28 Séries de Vazões Máximas

29 Séries de Vazões Máximas Séries anuais: valores máximos de cada ano a partir de séries diárias (um ponto por ano => série de valores independentes)

30 Ano Calendário x Ano Hidrológico Máxima 1987 Máxima 1988 as máximas de 1987 e 1988 não são independentes...

31 Ano Hidrológico Ano calendário Ano hidrológico

32 Cálculo das Estatísticas Básicas Estatísticas são números calculados a partir de uma amostra de dados que resume características importantes de um conjunto de dados. Parâmetros estatísticos são características de uma população. média, desvio padrão, mediana, moda, assimetria... São utilizados na estimativa dos parâmetros das distribuições de probabilidades empregadas para o ajuste de dados hidrológicos amostrais, tais com chuvas intensas, níveis d água, vazões máximas e mínimas, etc.

33 Média vazão (m³/s) Vazões médias mensais do Guarapiranga: x n i 1 n x i / / / / / / / / / /1999 tempo (meses) Mede a tendência central de uma distribuição

34 Médias mensais vazão (m³/s) Média das vazões mensais do Guarapiranga ( ) Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

35 Desvio Padrão f(x) s n i 1 x i x n 1 2 Mede o grau de dispersão em relação à média pequeno S grande S x

36 Mediana e Moda Mediana: corresponde a um percentil 50% (valor acima do qual situam-se metade dos dados) Moda: É o valor mais frequente Moda Moda Mediana Média 50% dos dados 50% dos dados

37 Coeficiente de Assimetria f(x) g n n i 1 x x 3 n 1 n 2s 3 i Mede a diferença entre os dois lados da distribuição em torno da média x g > 0 concentração de valores à direita g < 0 concentração de valores à esquerda

38 Cálculo das Estatísticas Básicas - Exemplo ano hidrológico Qmax Oct/38 Sep/ média Oct/39 Sep/ máximo Oct/40 Sep/ mínimo Oct/41 Sep/ desvio padrão Oct/42 Sep/ mediana Oct/43 Sep/ assimetria 0.59 Oct/44 Sep/ curtose Oct/45 Sep/ Exemplo: Posto Fluviométrico Ponte Nova do Paraopeba ( ) A=5762 Km² Oct/94 Sep/ Oct/95 Sep/ Oct/96 Sep/97 Oct/97 Sep/ Oct/98 Sep/ Oct/99 Sep/ Oct/00 Sep/ Oct/01 Sep/ Oct/02 Sep/ Oct/03 Sep/ Oct/04 Sep/ amostra e estatísticas

39 Histogramas

40 Distribuições de Probabilidade

41 Ordenando... Ordem cronológica Ano Qmáx Ordem decrescente de Qmáx Ano Qmáx ordem

42 Probabilidade de uma vazão ser excedida... P i N i: ordem N: número de anos Ano Qmáx ordem Probabilidade Incoerente!

43 Ordenação e Estimação Posições de Plotagem e Distribuição Probabilística Empírica seja x 1, x 2, x 3,..., x i,..., x n-1, x n uma série em ordem decrescente de N vazões (diária máxima em cada ano) a posição de plotagem do i-ésimo valor da amostra é a probabilidade empírica P(x i ) atribuída a esse valor x i (0 < P(x i ) < 1) Probabilidade de excedência ou posição de plotagem de Weibull (existem outras...): P( x i ) i N (para valores mínimos a série ficaria em ordem crescente...) 1

44 Probabilidade de uma vazão ser excedida... P i N 1 i: ordem N: número de anos Ano Qmáx ordem Probabilidade Tempo de retorno

45 Probabilidade de excedência

46 Probabilidade de excedência

47 Vazões máximas do Rio Cuiabá Ano Q máx

48 Vazões máximas do Rio Cuiabá T = 5 anos => Q entre 2190 e 2218 m³/s Ano Vazão (m3/s) Ordem Probabilidade TR (anos)

49 Problemas com a probabilidade empírica... Se uma cheia de T = 100 anos ocorrer em uma série com 10 anos, será atribuído um período de retorno de 11 anos a esta cheia (!)? Como estimar vazões com T alto, usando séries de relativamente poucos anos? Supor que os dados correspondem a uma distribuição de frequência conhecida.

50 Distribuição Normal f Função de distribuição de probabilidade x 1 exp 2 2 x 2 2 F Função acumulada de probabilidades de não excedência x x f xdx PX x

51 Exemplo: chuvas totais anuais

52 Exemplo: chuvas totais anuais O total de chuva que cai ao longo de um ano pode ser considerado uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal. Esta suposição permite explorar melhor amostras relativamente pequenas, com apenas 20 anos, por exemplo.

53 Usando a distribuição normal: Calcular a média Calcular o desvio padrão Obter os valores de vazões para probabilidades associadas a cada período de retorno

54 Ajuste da Distribuição Normal aos dados do Rio Cuiabá de 1967 a 1999 Subestima!

55 Ajuste da Distribuição Normal aos dados do Rio Guaporé de 1940 a 1995 Subestima!

56 Problema a distribuição de frequência de vazões máximas não é normal...

57 Problema a distribuição de frequência de vazões máximas não é normal...

58 Exercício

59 Exercício

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