Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430

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1 Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430 Fabrício Simões IFBA 16 de novembro de 2015 Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

2 1 Motivação 2 Conceitos Básicos 3 Processo Estocástico Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

3 Motivação V V a R = V I I a I Leis naturais não são determinísticas, mas uma representação do comportamento médio de um fenômeno. Como as incertezas sobre os resultados obtidos a partir da lei de Ohm são pequenas, pode-se considerá-la determinística. Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

4 Motivação Desvios entre os dados teóricos e experimentais pressupõe a existência de fenômenos que não foram considerados no modelo. Na maioria das vezes, essas manifestações são aleatórias. O modelo deve ser analisado com o uso da teoria de probabilidades. IMPORTANTE: O método probabiĺıstico inclui o resultado determinístico como um caso especial. Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

5 Determinístico x Aleatório Sinal determinístico: Apresenta uma representação matemática exata. Ex.: Sinal senoidal, x(t) = Acos(ω o t + θ) Mais : Degrau, impulso, exponencial complexa. Sinal aleatório: Apresenta alguma quantidade de incerteza. Ex.: sinal de voz, vídeo, número de veículos em um sistema de controle de tráfego, variação de temperatura, sinal de um sensor de pressão. Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

6 Situações Práticas e Sistemas Aleatórios O sistema possui características que variam aleatoriamente, por exemplo : O número de usuários em um sistema telefônico; O consumo de energia em um sistema de distribuição de energia elétrica; O peso em um controle de velocidade de uma esteira; O canal de comunicações de um telefone celular. Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

7 Espaço Amostral - Teoria Básica de Probabilidade 1 Espaço Amostral - S: Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. Por exemplo: Jogar um dado. 2 Evento - A : Subconjunto do espaço amostral. Espaço Amostral - S Evento A Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

8 Conceito de Probabilidade 1 Considere que um experimento seja realizado N vezes e que o resultado A 1 tenha ocorrido N(A 1 ) vezes. A frequência relativa de A 1 é dada por f r (A 1 ) = N(A 1) N 2 Mas, com o aumento do valor de N é possível identificar uma regularidade estatística, um padrão no comportamento do valor de f r. Para n : N(A 1 ) P(A 1 ) = lim n n Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

9 Probabilidade de um Evento 1 Probabilidade de ocorrer o evento A, P(A), é a soma da probabilidade de cada elemento que compõe o subconjunto A. Se os elementos forem mutuamente exclusivos, então P(A) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A N ) 2 Entretanto, se todos os resultados (elementos) ocorrem com a mesma probabilidade (eventos equiprováveis), então: Exemplo 1 P(A) = N(A) N(S) Probabilidade de ocorrer o evento A = {3, 5} é dada por P(A) = 2 6 = 1 3 Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

10 Axiomas de Kolmogorov 1 P(A) 0; 2 0 P(A) 1; 3 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou seja, 4 P(A B) = P(A) + P(B) A B = Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

11 Probabilidade 1 Probabilidade de ocorrer o evento A E o evento B : P(A B) = P(A)P(B), se os eventos forem independentes. 2 Probabilidade de ocorrer o evento A OU o evento B : para P(A B) = Exemplo 2 P(A B) = P(A) + P(B), Considere o lançamento de um dado. Qual a probabilidade de ocorrer o evento B = {1} OU o evento A = {6}? P(A B) = P(A) + P(B) = = 1 3 Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

12 Probabilidade Condicional 1 P(A/B) - Probabilidade de ocorrer A dado que B ocorreu. P(A/B) = P(A B), P(B) 0 P(B) 2 Os eventos são independentes quando a ocorrência do evento A não depende do evento B, então: P(A B) = P(A)P(B) e P(A/B) = P(A). Regra de Bayes P(B/A) = P(A/B)P(B), P(A) 0 P(A) Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

13 Adição e Multiplicação Regras de Adição P( n i=1a i ) = n P(A i ) P(A i A j ) + P(A i A j A k ) i=1 Regras de Multiplicação ( 1) n P(A i... A k ) P(A 1 A 2... A k ) = P(A 1 )P(A 2 /A 1 )P(A 3 /A 1 A 2 ) P(A k /A 1 A 2... A k 1 ) Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

14 Aplicação 1 - Engenharia de Confiabilidade Sabendo que a probablidade dos sistemas A e B funcionarem é p, qual a probabilidade do sistema completo funcionar? A p i(t) L B p R i(t) Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

15 Variável Aleatória 1 É uma variável cujo valor (um número real) depende da ocorrência do evento. Evento X = f(evento) nível baixo 0 Mapeamento nível alto 1 Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

16 Variável Aleatória Discreta f(x) Fonte Digital X 1 1/2 P (X = 0) = 0,5 P (X = 1) = 0,5 0 Espaço Amostral de X 0 1 x Distribuição de Probabilidade 1 O par (x i, P x (x i )) é uma distribuição de probabilidade se c) P x (x i ) é a probabilidade de ocorrer x i. a) P x (x i ) 0; b) i P x(x i ) = 1; Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

17 Variável Aleatória Contínua 1 Exemplo: x(t) variação contínua da amplitude Ruído Térmico x t a b p x(x) x 2 Propriedades: P(a < x < b) = b a p x (x) 0 p x (x)d x Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

18 Momentos de Ordem n Variável Aleatória Contínua E[x n ] = Variável Aleatória Discreta x n p x (x)dx E[x n ] = i x n i P x (x i ) Mais importantes : Ordens 1 e 2. µ x = E[x] = xp x (x)dx E[x 2 ] = x 2 p x (x)dx Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

19 Momento Centrais O n-ésimo momento central da variável aleatória x é dado por E[(x µ x ) n ] = Resultados importantes E[(x µ x )] = 0 (x µ x ) n p x (x)dx E[(x µ x ) 2 ] = σ 2 x σ 2 x é a variância da variável aleatória x. σ 2 x é o desvio padrão. Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

20 Variáveis Aleatórias Conjuntas Em alguns experimentos, o resultado depende de duas ou mais variáveis aleatórias; Vamos considerar as variáveis aleatórias discretas x e y, cuja probabilidade de x = x i e y = y j é representada por P xy (x i, y j ) Se as variáveis aleatórias são independentes, então : P xy (x i, y j ) = P x (x i )P y (y j ) E considerando variáveis aleatórias contínuas, p xy (x, y) = p x (x)p y (y) Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

21 Variáveis Aleatórias Conjuntas e Contínuas Probabilidade de x 1 x x 2 e y 1 y y 2 é dada por P(x 1 x x 2, y 1 y y 2 ) = x2 y2 x 1 y 1 Funções de densidade de probabilidade marginal p x (x) = p y (y) = p xy (xy)d y p xy (xy)d x p xy (x, y)d x d y Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

22 Probabilidade Condicional 1 A função de densidade de probabilidade condicionada p x/y (x, y) é dada por p x/y (x/y) = p x,y (x, y) p y (y), p y (y) = p x,y (x, y)d x 2 Mas, para variáveis x e y independentes, temos que 3 Então: p x,y (x, y) = p x (x)p y (y) p x/y (x/y) = p x (x) Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

23 Aplicação 2 1 Determine as probabilidades P y (0) e P y (1) P X (0) = q X 1 P e P e Y 0 P Y (0) =? 1 P X (1) = 1-q 1 P e P e 1 P Y (1) =? Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

24 Teorema Central do Limite Sejam as variáveis aleatórias x 1, x 2, x 3,..., x n, a nova variável aleatória y dada por y = i=1 x i, é modelada por uma função densidade de probabilidade p y (y) gaussiana; Gráfico de p y (y) para uma soma de n variáveis aleatórias. 2 Variaveis p y (y) y Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

25 Teorema Central do Limite Sejam as variáveis aleatórias x 1, x 2, x 3,..., x n, a nova variável aleatória y dada por y = i=1 x i, é modelada por uma função densidade de probabilidade p y (y) gaussiana; Gráfico de p y (y) para uma soma de n variáveis aleatórias. 4 Variaveis p y (y) y Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

26 Teorema Central do Limite Sejam as variáveis aleatórias x 1, x 2, x 3,..., x n, a nova variável aleatória y dada por y = i=1 x i, é modelada por uma função densidade de probabilidade p y (y) gaussiana; Gráfico de p y (y) para uma soma de n variáveis aleatórias. 8 Variaveis p y (y) y Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

27 Teorema Central do Limite Sejam as variáveis aleatórias x 1, x 2, x 3,..., x n, a nova variável aleatória y dada por y = i=1 x i, é modelada por uma função densidade de probabilidade p y (y) gaussiana; Gráfico de p y (y) para uma soma de n variáveis aleatórias. 10 Variaveis p y (y) y Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

28 Teorema Central do Limite Sejam as variáveis aleatórias x 1, x 2, x 3,..., x n, a nova variável aleatória y dada por y = i=1 x i, é modelada por uma função densidade de probabilidade p y (y) gaussiana; Gráfico de p y (y) para uma soma de n variáveis aleatórias. 12 Variaveis p y (y) y Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

29 Processo Estocástico Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

30 Espaço Amostral de um Processo Estocástico O espaço amostral é constituído por funções no domínio do tempo, ou seja, as realizações do evento dependem do tempo. x 3(t) x 2(t) t x 1(t) t t x 4(t) t Espaço Amostral Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

31 Espaço Amostral de um Processo Estocástico Cada membro x n (t) do processo x(t) é uma amostra, uma possível realização; E o valor de uma amostra no instante t a, ou seja, x n (t a ), é uma variável aleatória. Espaço Amostral do Processo x(t) x 1 (t) t a t x 2 (t) t Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

32 Processo Estocástico - Definições 1 É uma extensão do conceito de variável aleatória, compreendendo o espaço amostral, o conjunto de formas de onda e as funções densidade de probabilidade associadas. 2 É um experimento aleatório cujos resultados é uma forma de onda em função do tempo. Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

33 Contínuo e Discreto Contínuo Variável aleatória assume qualquer valor dentro do intervalo [a,b]. Por exemplo, o ruído branco. Discreto Variável aleatória assume valores isolados (pontuais) dentro do intervalo [a,b]. Por exemplo, o sinal quantizado e o número de ligações em um sistema telefônico. x(t) y(t) t t t t ta tb tc td te Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

34 Estacionário Definição Processo aleatório cuja estatística não muda com o tempo, ou seja, p x (x; t) = p x (x) Os valores médio e outros momentos não dependem do tempo. Importante Na prática, não existe processo estacionário. Por isso, é adotada a Estacionaridade no Sentido Amplo. Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

35 Estacionário no Sentido Amplo Definição A média de x(t) independe do tempo e a autocorrelação entre x(t 1 ) e x(t 2 ) depende apenas da diferença t 2 t 1. Essa condição implica, com relação ao tempo, em: Valor médio (E[x(t)]) é constante; Valor médio quadrático (E[x(t) 2 ]) constante; Variância constante; Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

36 Não estacionário Definição O valor médio e/ou algum momento de ordem n > 1 dependem do tempo; A função densidade de probabilidade depende do tempo. p x (x; t) Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

37 Ergodicidade Considere um problema de estimação da média: Para um instante t o, x(t o ) é uma variável aleatória. A média pode ser calculada por ˆη(t o ) = 1 x(t o, ξ i ), N em que ξ i representa a i-ésima função amostral dentre N funções amostrais e ˆη(t o ), a estimativa da média no instante t o. Problema Para fazer essa estimativa, eu preciso de um número grande de funções amostrais. Na prática, tenho somente uma. Como isso pode ser resolvido? i Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34

38 Ergodicidade Ocorre quando as suas médias estatísticas podem ser aproximadas pelas suas médias temporais. Todo processo Ergódico é estacionário. E[x n (t)] = x(t) n x(t) n 1 T p x (x)dx = lim x n (t)dt T 2T T Na prática, o conceito de ergodicidade é importante porque é possível, por exemplo, estimar a sua média a partir de uma função amostral. Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG de novembro de / 34