Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

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1 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aulas passadas Espaço Amostral Álgebra de Eventos Axiomas de Probabilidade Análise Aula de hoje Probabilidade Condicional Independência de Eventos Teorema da Probabilidade Total Lei de Bayes Combinatória

2 Probabilidade Condicional Relacionamento entre a ocorrência de um evento e outros eventos S Evento A Evento B Qual a probabilidade do evento A dado que o evento B ocorreu? Dado que o resultado do experimento aleatório é elemento de B, qual a probabilidade deste ser também elemento de A? Espaço amostral passa a ser o evento B

3 Probabilidade Condicional Definição: Probabilidade de A dado B P [ A B ]= P [ A B] P[ B]

4 Eventos Independentes Sejam A e B dois eventos sobre o mesmo espaço amostral S A e B são independentes se P [ A B ]=P [ A]P [B ] Note que se A e B são independentes, então P [ A B ]= P [ A B ] P[ B] = P [ A]P [B ] P [B ] =P [ A] 2 eventos são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro

5 Regra do produto (1 Teorema : Considere um conjunto finito de eventos tais que os eventos condicionais A i / A 1 A 2... A i 1 Temos que: A 1, A 2,..., A n tenham probabilidades positivas.

6 Regra do produto (2 Para demonstrar basta escrever: E reescrever o lado direito da equação usando a definição de probabilidade condicional:

7 Exemplo: Dado e moeda Evento A: resultado do dado é ímpar Evento B: resultado da moeda é cara Eventos A e B são independentes? S={(1,Ca,(1,Co,(2,Ca,(2,Co,(3,Ca,(3,Co, (4,Ca,(4,Co,(5,Ca,(5,Co,(6,Ca,(6,Co} A B P [ A B ] = {(1,Ca, (3,Ca, (5,Ca } = 3/12 = 1/4 P[A] = 1/2, P[B] = 1/2 6 resultados em 12 P [ A B]=P [ A] P[ B]=1/4 P [ A/ B]=P[ A B]/P [ B]=1/2 3 resultados em 6 A e B são independentes!

8 Exemplo: Dois dados Evento A : os dois dados são pares Evento B : soma dos dados é menor que 7 A e B são independentes? A = { (2, 2, (2, 4, (2, 6, (4, 2, (4, 4, (4, 6,(6,2, (6,4, (6,6} B = { (1, 1, (1, 2, (1, 3, (1, 4, (1, 5, (2, 1, (2, 2, (2, 3, (2, 4, (3, 1, (3, 2, (3, 3, (4, 1, (4, 2, (5, 1} P [ A B ] A B = 3/36 = 1/12 = {(2,2, (2,4, (4,2 } P[A] = 9/36=1/4, P[B]=15/36=5/12 P [ A B ] P [ A]P [B ] A e B não são independentes!

9 Eventos: Mutuamente Exclusivos x Independentes Experimento Aletório: Jogar um dado e uma moeda S={(1,Ca,(1,Co,(2,Ca,(2,Co,(3,Ca,(3,Co, (4,Ca,(4,Co,(5,Ca,(5,Co,(6,Ca,(6,Co} Evento A: resultado da moeda é cara P(A = 1/2 Evento B: resultado da moeda é coroa P(B = 1/2 Eventos A e B são independentes ou mutuamente exclusivos? A B= A e B são mutuamente exclusivos!

10 Eventos: Mutuamente Exclusivos x Independentes Evento A: resultado do dado é maior do que 2 Evento B: resultado da moeda é cara S={(1,Ca,(1,Co,(2,Ca,(2,Co,(3,Ca,(3,Co, (4,Ca,(4,Co,(5,Ca,(5,Co,(6,Ca,(6,Co} A B = { (3,Ca, (4,Ca, (5,Ca, (6,Ca} 8 resultados em 12 P [ A B] = 4/12 = 1/3 P[A] = 8/12 = 2/3, P[B] = 1/2 P [ A B]=1/3=P [ A]P [ B]=2 /6 P [ A/ B]=P[ A B]/P [ B]=2 /3 A e B são independentes! 2 resultados em 3

11 Condicionamento Relacionar eventos para calcular probabilidade Sejam A e B dois eventos, temos que P [ A]=P [ A B A B ] = P [ A B] P [ A B] definição de conjuntos mutuamente exclusivos = P [ A B ]P [ B] P[ A B] P [B ] Definição de probabilidade condicional

12 Teorema da Probabilidade Total Generalização do conceito Seja B i (i=1,...,n uma partição do espaço amostral mutuamente exclusivos, união é igual ao espaço amostral B 1 B 2 BA 3... B n-1 B n Considere o evento A probabilidade de A ocorrer (em função de B i? i= n P [ A]= i =1 P [ A B i ] P [ B i ] Teorema da Probabilidade Total

13 Lei de Bayes Permite o cálculo da probabilidade de um evento B condicionado a um evento A, dado que se conhece o inverso Uso do teorema da probabilidade total P [ B i A] P [ B i / A]= ( P [ A/ B i] P [ B i ] i =n ( i =1 P [ A B i ] P [ B i ] P [ A]

14 Exemplo 1 Técnica (imperfeita para acusar defeitos em processadores 95% verdadeiro positivo 5% falso positivo 1% dos processadores possuem defeitos Qual a probabilidade de um processador ser defeituoso dado que o teste foi positivo? Eventos D : processador defeituoso T : resultado do teste é positivo teste acusa defeito quando processador está defeituoso teste acusa defeito quando processador está ok

15 Exemplo 1 D : processador defeituoso T : resultado do teste é positivo Pergunta: P[D T]? P [D ]=0.01 P [T D]=0.95 P [T D]=0.05 P [D T ]= P[ D T ] P [T ] = P[T D] P[ D] P [T ] P [T ]=P [T D] P [D] P [T D] P [D]

16 Exemplo 2 Em um teste de múltipla escolha, ou um estudante sabe a resposta ou arrisca uma das alternativas. Seja p a probabilidade do estudante saber a resposta e1 p a probabilidade do estudante arriscar adivinhá la. Assuma que um estudante que arrisca a resposta, acerta a resposta correta com probabilidade 1/m, onde m é o número de alternativas de múltipla escolha. Qual é a probabilidade condicional de que um estudante soubesse a resposta da questão, dado que ele respondeu corretamente? => Primeiro passo: definição dos eventos => Segundo passo: definição da equação a ser usada

17 Exemplo 2 Evento C: o estudante responde corretamente Evento K: o estudante sabe a resposta Se m=5 e p=1/2, então a probabilidade de um estudante saber a resposta de uma questão que ele respondeu corretamente é 5/6.

18 Exemplo 3 Vamos supor que vamos selecionar 3 cartas em um baralho comum (com 52 cartas ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de retirarmos 3 reis? Evento Ai={i ésima carta retirada é rei}, onde i=1,2,3 Queremos calcular P( A 1 A 2 A 3 Pela regra do produto, temos:

19 Exemplo 4 Um canal de comunicação transporta dois tipos de sinais, denotados por 0 e 1. Devido ao ruido, um 0 transmitido pode ser recebido como 1 e 1 como 0. Para um dado canal, assuma a probabilidade de 0.94 que um 0 transmitido seja corretamente recebido como 0 e a probabilidade de 0.91 que um 1 seja recebido como 1. Assuma também a probabilidade 0.45 de transmitir um 0. Determine: Probabilidade que um 1 seja recebido Probabilidade que um 0 seja recebido Probabilidade que um 1 foi transmitido dado que um 1 foi recebido Probabilidade que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi recebido Probabilidade de um erro

20 Definição de eventos: T 0 R 0 0 é transmitido 0 é recebido 1 é transmitido T 1 =T 0 R 1 =R 0 1 é recebido Exemplo 4

21 Exemplo 4 Perguntas: Probabilidade que um 1 seja recebido Probabilidade que um 0 seja recebido Probabilidade que um 1 foi transmitido dado que um 1 foi recebido Probabilidade que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi recebido Probabilidade de um erro P(R 1 P(R 0 P(T 1 / R 1 P(T 0 /R 0 P(R 1 /T 0 P(T 0 +P(R 0 /T 1 P(T 1

22 Exemplo 4 Sabe se que: P(R 0 /T 0 =0.94 P(R 1 /T 0 =1 P(R 0 /T 0 =0.06 P(R 1 /T 1 =0.91 P(R 0 /T 1 =1 P(R 1 /T 1 =0.09 P(T 0 =0.45 P(T 1 =1 P(T 0 =0.55 Cálculo de P(R 1 e P(R 0 P(R 1 =P(R 1 /T 1 P(T 1 +P(R 1 /T 0 P(T = P(R 0 =1 P(R 1 =0.4455

23 Exemplo 4 Sabe se que: P(R 0 /T 0 =0.94 P(R 1 /T 0 =1 P(R 0 /T 0 =0.06 P(R 1 /T 1 =0.91 P(R 0 /T 1 =1 P(R 1 /T 1 =0.09 P(T 0 =0.45 P(T 1 =1 P(T 0 =0.55 Cálculo de P(T 1 /R 1 P(T 1 / R 1 = P(T 1 R 1 P(R 1 = P(R 1/T 1 P(T 1 = P(R =0.9026

24 Exemplo 4 Sabe se que: P(R 0 /T 0 =0.94 P(R 1 /T 0 =1 P(R 0 /T 0 =0.06 P(R 1 /T 1 =0.91 P(R 0 /T 1 =1 P(R 1 /T 1 =0.09 P(T 0 =0.45 P(T 1 =1 P(T 0 =0.55 Cálculo de P(T 0 /R 0 P(T 0 / R 0 = P(T 0 R 0 P(R 0 = P(R 0/T 0 P(T 0 P(R 0 = =0.9494

25 Exemplo 4 Sabe se que: P(R 0 /T 0 =0.94 P(R 1 /T 0 =1 P(R 0 /T 0 =0.06 P(R 1 /T 1 =0.91 P(R 0 /T 1 =1 P(R 1 /T 1 =0.09 P(T 0 =0.45 P(T 1 =1 P(T 0 =0.55 Cálculo de P( Erro P(Erro=P(R 1 /T 0 P(T 0 +P(R 0 /T 1 P(T =0.0765