Probabilidade em espaços discretos. Prof.: Joni Fusinato

Transcrição

1 Probabilidade em espaços discretos Prof.: Joni Fusinato

2 Probabilidade em espaços discretos Definições de Probabilidade Experimento Espaço Amostral Evento Probabilidade Operações entre eventos

3 Probabilidade Estudo da aleatoriedade e incerteza. Quantificação do conhecimento que temos sobre um determinado evento. Utiliza métodos para quantificação das chances associadas aos diversos resultados.

4 Exemplo: probabilidade de chover é de 90% O que isso significa? Isso traduz a quantidade de informação que uma pessoa tem sobre esse evento. 90%

5 Tipos de Fenômenos Determinísticos O resultado é sempre o mesmo. Probabilísticos Resultado incerto e variável

6 Experimento Aleatório Fenômenos aleatórios podem conduzir a diferentes resultados. Mesmo em condições iniciais iguais o resultado é imprevisível. Exemplos: Lançamentos de moedas honestas Lançamento de dados Retirada de cartas de baralhos Vida útil de componentes eletrônicos e mecânicos.

7 Experimento Aleatório Características: Os possíveis resultados são conhecidos (probabilidades). O resultado final é imprevisível. Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições. Quando o experimento for repetido um grande número de vezes e houver regularidade na explicação desse fenômeno, é possível estruturar um modelo matemático probabilístico.

8 Espaço Amostral (S ou ) Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. O espaço amostral é equiprovável quando todos os têm a mesma chance de ocorrer. Exemplos: 1. Lançamento de um dado. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. Tipo sanguíneo (Rh+) S = {A, B, AB, O} 3. Hábito da leitura. S = {leitor, não leitor} 4. Lançamento de uma moeda S = {cara, coroa} elementos

9 Eventos: subconjuntos do espaço amostral Notação: evento A, B, C,... Evento impossível: Φ (Conjunto vazio) Evento certo: S ou Ω Exemplo: Lançamento de um dado. Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A: sair face par A = {2, 4, 6} B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} C: sair face 1 C = {1} A, B e C são subconjuntos de S

10 Curiosidade: Viagem tripulada a Lua com sucesso + 8 meses de trabalho

11 Como podemos calcular essa probabilidade sem nunca ter realizado esse experimento antes?

12 Eventos Elementares Trabalhar com informações de ocorrências de eventos elementares.

13 União Complementar Operações entre Eventos Intersecção Mutuamente exclusivos

14 União A B S

15 Intersecção A B S

16 Complementar

17 Mutuamente Excludente

18 Evento União: ocorre ao menos um de dois eventos possíveis. Ex: Seja A = {2, 4} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado ser par e menor ou igual a 4, e seja B = {4, 6} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um segundo dado ser par maior ou igual a 4. Então C = {2, 4, 6}. O evento contém todos os elementos de A e B. Evento intersecção: contém apenas os elementos comuns a A e B. Ex: seja A = {2, 4} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, par e menor ou igual a 4, e seja B = {4, 6}, o evento de ocorrência da face superior, par e maior ou igual a 4. Então C = {4} representa o evento de ocorrência da face 4 ao mesmo tempo no conjunto A e B. Evento Complementar: seja A = {1, 3, 5} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número ímpar, o seu evento complementar é B = {2, 4, 6} ou seja, são todos os elementos do espaço amostral que não estão contidos em A. Eventos mutuamente exclusivos: ocorrem quando dois ou mais eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo. Ex: jogar uma moeda e obter cara e coroa ao mesmo tempo.

19 Quizz 1) No lançamento de um dado, o espaço amostral é E = {1,2,3,4,5,6}. Considere os eventos: O resultado é um número ímpar: A = {1,3,5}; O resultado é um número primo: B = {2,3,5}; O resultado é maior que 4: C = {5,6}. Qual é o evento complementar de C? a) {1,2,3,4} b) {5,6} c) {1,2,3,4,5,6} A

20 O que é Probabilidade? a) Medida da ocorrência de um evento. b) Medida baseada em registros de experiências passadas sobre a ocorrência de um evento. c) Medida da informação sobre a ocorrência de um evento. d) Nenhuma das anteriores

21 Definições de Probabilidade Clássica: p = probabilidade m = resultados favoráveis n = resultados possíveis Para eventos igualmente prováveis o número de resultados possíveis segue o Princípio Fundamental da Contagem que define - se como sendo o produto de duas ou mais etapas independentes

22 Exemplo 2: Lança-se um dado honesto. Qual a probabilidade de sair um número maior do que 4? Casos favoráveis: 2 (5 ou 6) Casos possíveis: 6 (1, 2, 3, 4, 5 e 6)

23 Atividade 1 Uma campanha de marketing feita por uma concessionária promete dar o veículo da promoção de presente se a chave escolhida ao acaso pelo cliente na hora do test drive ligar o mesmo. Calcule a probabilidade de você ser o sortudo supondo que a chave premiada esteja nesta loja. Na hora da escolha você deve optar por uma única chave dentre as 300 chaves que estão na caixa.

24 Atividade 2 Uma caixa tem 500 leds e todos estão apagados. Desses 20 são defeituosos. Qual a probabilidade de você escolher um led ao acaso com defeito? E sem defeito?

25 Desafio Considere a sequência de 3 algarismos distintos formada pela permutação dos números 7, 8 e 9: S = 789, 798, 879, 897, 978, 987 Escolhendo aleatoriamente um número do espaço amostral (S), qual a probabilidade dele ser: a) Ímpar? b) Par? c) Múltiplo de 4? d) Maior que 780? 66% 33% 0% 100%

26 S = 789, 798, 879, 897, 978, 987 n(s) = 6 a) Evento A: ser ímpar A = 789, 879, 897, 987 casos favoráveis = P 0,66 66% 6 3 b) Evento B: ser par B = 798, 978 casos favoráveis = P 0,33 33% 6 3 c) Evento C: ser múltiplo de 4 C = casos favoráveis = 0 0 P 0 0% 6 d) Evento D: ser maior que 780 D = S casos favoráveis = 6 6 P(D) 1 100% 6

27 Definição Clássica Pouco usada na Engenharia Casos não equiprováveis

28 Definições de Probabilidade Frequencialista: Probabilidade = limite da frequência relativa. p = probabilidade m = número de vezes que o evento ocorreu n = número de experimentos Número de experimentos for razoavelmente grande

29 Definições de Probabilidade Axiomática P(E) 0 P(S) = 1 P(E U F) = P(E) + P(F) E e F são eventos mutuamente excludentes Embora a definição axiomática não diga como calcular uma probabilidade ela nos permite desenvolver toda uma teoria a respeito da probabilidade assim como desenvolver uma série de propriedades que permitem o cálculo da probabilidade de eventos complexos a partir de eventos elementares

30 Definições de Probabilidade Subjetiva: depende da avaliação pessoal Adotada quando não tenho outra forma de atribuir a probabilidade

31 Exemplo: Sucesso do Governador Depende da avaliação do comentarista Estimativas, conceitos prévios e informações de cada um.

32 Probabilidade de um avião cair Definição clássica: P = 50% S = {avião cair, avião não cair}

33 Frequencialista Probabilidade de um avião cair Aplicável quando o número de experimentos tendem ao infinito.

34 Axiomática Probabilidade de um avião cair Combinação de eventos elementares

35 Subjetiva Probabilidade de um avião cair

36 Definições de Probabilidade Clássica: se os casos possíveis são equiprováveis. Frequencialista: se tiver um histórico. Subjetiva: de acordo com o meu nível de informações.

37

38 P = 0,5 = 50%

39 Experimento E se a moeda estiver viciada e ainda assim eu quero saber a probabilidade de sair coroa, como fazer? Posso utilizar a definição frequencialista. Realizar grande número de experimentos. Nesse caso a definição axiomática não ajuda.

40 Experimento Lancei a moeda. Saiu o resultado mas eu tampo a moeda antes de ver o resultado, ou seja o evento já ocorreu... Eu tenho o resultado mas ainda não vi. Qual a probabilidade de ter saído coroa? P = 0 ou 1 Mas para mim é como se eu não tivesse jogado a moeda. P = 0,5. Resultado desconhecido

41 Experimento Imagine agora o mesmo experimento com duas pessoas: lanço a moeda e uma pessoa é capaz de verificar o resultado e a outra não. E faço a mesma pergunta: qual a probabilidade de sair coroa? A pessoa que tem acesso a informação vai dizer P = 0 ou 1

42 Experimento Imagine agora o mesmo experimento com duas pessoas: lanço a moeda e uma pessoa é capaz de verificar o resultado e a outra não. E faço a mesma pergunta: qual a probabilidade de sair coroa? A pessoa que não tem acesso a informação vai dizer P = 0,5

43 O que é Probabilidade? a) Medida da ocorrência de um evento. b) Medida baseada em registros de experiências passadas sobre a ocorrência de um evento. c) Medida da informação ou crença sobre a ocorrência de um evento. d) Nenhuma das anteriores É a medida de informação ou crença sobre a ocorrência do evento.

44 Eventos Complementares Um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe a relação: p + q = 1 Exemplo: Se a probabilidade de um evento ocorrer é p = 1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é de 4/5 p + q = 1 1/5 + q = 1 q = 1-1/5 q = 4/5

45 Em um lote de 30 peças, 6 são defeituosas. Sendo retirada uma peça desse lote: a) Qual a probabilidade da peça ser defeituosa? b) Qual a probabilidade da peça não ser defeituosa? a) p = 6/30 = 1/5 = 20% b) p = 1 1/5 = 4/5 = 80%

46 Probabilidade da União de Eventos Para determinar a possibilidade de ocorrer um evento A ou um evento B, calculamos a probabilidade da união desses dois eventos. Para que ocorra a união de dois eventos teremos o mesmo espaço amostral, logo duas situações serão possíveis da união de A com B (A U B): Eventos mutuamente excludentes Eventos não excludentes A B = Ø A B Ø p(a U B) = p(a) + p(b) p(a U B) = p(a) + p(b) p(a B)

47 Exemplo 1: Probabilidade da União de Eventos No lançamento de um dado, qual a probabilidade do número obtido ser múltiplo de 2 ou de 3? Múltiplos de 2: A = {2, 4, 6} Múltiplos de 3: B = {3, 6} A B Ø p(a U B) = p(a) + p(b) p(a B) p(a U B) = 3/6 + 2/6 1/6 p(a U B) = 4/6 = 2/3 = 66,67%

48 Exemplo 2: Probabilidade da União de Eventos No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter o número 3 ou 4? Evento A = {3} Evento B = {4} A B = Ø p(a U B) = p(a) + p(b) ou p(a U B) = 1/6 + 1/6 p(a U B) = 2/6 = 1/3 = 33,33%

49 Probabilidade da Intersecção de Eventos Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades da realização dos dois eventos. P (A B) = p(a) x p(b) Exemplo: No lançamento de dois dados qual a probabilidade de tirar 2 no 1º dado e 5 no 2 o dado? p = p 1 x p 2 p = 1/6. 1/6 P = 1/36 = 2,78%

50 Quizz 1) Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. Considere os eventos: A = {cair a face com o número 6 no 1º dado} e B = {cair a face com 1, 2 ou 3 no 2º dado}. Calcule a probabilidade da intersecção entre os eventos A e B. a) 1/3 b) 1/6 c) 1/12 C

51 Quizz 1) Uma urna possui 5 bolas azuis e 3 bolas verdes. Ao retirar 2 bolas com reposição, calcule a probabilidade de ambas serem azuis. a) 25/64 ou 39% b) 9/64 ou 14% c) 4/5 ou 80% A

52 Quizz De dois baralhos com 52 cartas cada um retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade da carta do 1º baralho ser um rei e a do 2º ser o 5 de copas? 1º Baralho P 1 = 4/52 = 1/13 2º Baralho P 2 = 1/52 P = p 1 x p 2 P = 1/13. 1/52 = 1/676 P = 0,15%

53 Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas e 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde? 1º urna (A) P 1 = 3/9 = 1/3 2º urna (B) P = p 1 x p 2 x p 3 P = 1/3. 1/4. 4/9 = 1/27 P = 3,70% P 2 = 2/8 = 1/4 3º urna (C) P 3 = 4/9

54 Quizz De um baralho com 52 cartas qual a probabilidade de tirar um Ás ou um rei de ouro? P 1 = 4/52 = 1/13 P 2 = 1/52 P = p 1 + p 2 P = 1/13 + 1/52 = 5/52 P = 9,62 %

55 Probabilidade de Eventos Complementares A e B são eventos do mesmo espaço amostral S. Se: A B = e A U B = S A e B são complementares. P(A) + P(B) = 1 ou seja: P(B) = 1 P(A) Exemplo 1: No lançamento de dois dados qual a probabilidade de não sair a soma 4? n(s) = 6.6 = 36 Evento A: sair Soma 4 (1,3); (3,1); (2,2) P(A) + P(B) = 1 P(B) = 1 P(A) P(B) = 1 3/36 = 33/36 = 11/12 P(B) = 91,67%

56 Probabilidade de Eventos Complementares Exemplo 2: Lanço uma moeda 3 vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de sair ao menos uma cara? n(s) = = 8 Evento A: não sair cara (K, K, K) Evento B: sair ao menos uma cara P(A) + P(B) = 1 P(B) = 1 P(A) P(B) = 1 1/8 = 7/8 P(B) = 87,50%