Teoria das probabilidades

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1 Teoria das probabilidades Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha de abril de 2018 Londrina 1 / 22

2 Conceitos probabiĺısticos são necessários para se estudar fenômenos aleatórios, isto é, situações em que os resultados possíveis são conhecidos, mas não se pode saber a priori qual deles ocorrerá. Em particular, a distribuição de frequências é um instrumento importante para avaliar a variabilidade das observações de um fenômeno aleatório. Assim, podemos criar um modelo teórico que reproduza de maneira razoável a distribuição de frequências. Tais modelos são chamados modelos probabiĺısticos. 2 / 22

3 Definição É um processo de coleta de dados relativo a um fenômeno que acusa variabilidade em seus resultados, mesmo que as condições iniciais sejam sempre as mesmas. Exemplo 1 a) o lançamento de uma moeda; b) lançar três moedas justas e observar as faces voltadas pra cima; c) lançar um dado e observar a face voltada para cima; d) resultado de um exame de gravidez; e) resultado de uma eleição. 3 / 22

4 Quando se tem um experimento aleatório, não se pode prever com certeza o resultado. Pode-se, no entanto, descrever todos os possíveis resultados deste experimento. Definição O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral. Vamos representá-lo por Ω. 4 / 22

5 Exemplo 2 Encontre o espaço amostral dos exemplos a seguir: a) o lançamento de uma moeda; b) lançar três moedas justas e observar as faces voltadas pra cima; c) lançar um dado e observar a face voltada para cima; d) resultado de um exame de gravidez; e) resultado da eleição de certo candidato. 5 / 22

6 Definição É qualquer subconjunto do espaço amostral. Os eventos são geralmente representados por letras maiúsculas, como A, B, C,.... Dentre os eventos a considerar, deve-se incluir o próprio espaço amostral, Ω, que denominamos evento certo e o conjunto vazio,, que denominamos evento impossível. 6 / 22

7 Exemplo 3 a) No lançamento de um dado, considere os seguintes eventos: A: ser sorteado o número 2; B: ser sorteado um número par; C: ser sorteado número primo. b) Suponha que em um lote de 12 peças, 4 sejam defeituosas. Duas peças são retiradas aleatoriamente sem reposição. Assim, o espaço amostral é Ω = {DD, D D, DD, D D}, em que D é peça defeituosa e D é peça não defeituosa. Considere os seguintes eventos: A: ambas sejam defeituosas; B: pelo menos uma seja defeituosa; C: ambas sejam perfeitas. 7 / 22

8 Operações com s Em muitos problemas de probabilidade interessam-nos eventos que podem ser expressos em termos de dois ou mais eventos, formando uniões, interseções e complementos. Os espaços amostrais e os eventos, especialmente as relações entre os eventos, costumam ser ilustrados por diagramas de Venn. 8 / 22

9 União de eventos O evento união de A e B equivale à ocorrência de A, ou de B, ou ambos. Contém os elementos do espaço amostral que estão em pelo menos um dos dois conjuntos. Diz-se ocorre A ou B. Figura 1: Diagrama de Venn Notação: A B 9 / 22

10 Intersecção de eventos A intersecção de dois eventos A e B é o evento que consiste de todos os elementos contidos simultaneamente em A e em B. Contém todos os pontos comuns a A e B. Figura 2: Diagrama de Venn Notação: A B 10 / 22

11 Sub-Conjuntos Diz-se: B é sub-conjunto de A ou B implica em A. Figura 3: Diagrama de Venn Notação: B A { B A = A, B A = B. 11 / 22

12 s Disjuntos Dois eventos A e B, dizem-se disjuntos ou mutuamente exclusivos, quando a ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro. Os dois eventos não têm elementos em comum. Figura 4: Diagrama de Venn Notação: A B = 12 / 22

13 Complemento É o evento que consiste de todos os elementos do espaço amostral que não estão contidos em A, ou seja, é a negação de A. Figura 5: Diagrama de Venn Notação: A c { A c A = Ω, A c A =. 13 / 22

14 Exemplo 4 Em um lançamento de um dado, considere os seguintes eventos: A: sair uma face par; B: sair uma face maior que 3; C: sair a face 1. Calcule: a) sair uma face par e maior que 3. b) sair uma face par e face 1. c) sair uma face par ou maior que 3. d) sair uma face par ou face 1. e) não sair face par; 14 / 22

15 Definição clássica Definição clássica Definição frequentista Definição clássica O conceito clássico ou a priori surgiu no século XVII a partir dos jogos de azar e define a probabilidade de o evento A ocorrer como sendo: P(A) = número de resultados favoráveis a A número de resultados possíveis = n(a) n(ω) Esse conceito aplica-se somente quando todos os resultados possíveis são igualmente prováveis. 15 / 22

16 Definição clássica Definição frequentista Exemplo 5 No lançamento de um dado honesto, qual é a probabilidade de o resultado ser um número: a) ímpar? b) Menor que 3? c) primo? d) Maior que 6? e) entre 1 e 6? 16 / 22

17 Definição clássica Definição frequentista Mas como podemos calcular as probabilidades a priori nas seguintes situações: Uma pessoa que fuma um pacote de cigarros por dia desenvolver câncer; Ocorrer uma geada no próximo inverno; Sair cara em uma moeda desonesta; As vendas decrescerem se aumentarmos os preços; Um novo método de montagem aumentar a produtividade. É importante notar que a definição clássica exige que os resultados tenham todos a mesma chance. Se os resultados não têm a mesma chance, deve-se apelar para a estimativa pela frequência relativa. 17 / 22

18 Definição clássica Definição frequentista Definição frequentista Suponhamos que realizamos um experimento n vezes ( n grande) e destas o evento A ocorre exatamente n A < n vezes, então a frequência relativa de vezes que ocorreu o evento A, n A /n, é a estimação da probabilidade que ocorra o evento A, ou seja, P(A) = f A = n A n Essa estimação da probabilidade por frequência relativa de um evento A, é próxima da verdadeira probabilidade do evento A, quando n tende ao infinito. 18 / 22

19 Definição clássica Definição frequentista Exemplo 6 a) Considere o lançamento de uma moeda desonesta. Calcular a probabilidade de A = {resultado obtido é cara}. b) Considere o lançamento de uma moeda honesta. Calcular a probabilidade de A = {resultado obtido é coroa}. 19 / 22

20 Exercício 1 Um casal pretende ter filhos. Admitindo probabilidades iguais para ambos os sexos, qual a probabilidade de que venha a ter três filhos do mesmo sexo? Pelo menos duas mulheres? Exercício 2 Suponha que em um lote de 12 peças, 4 sejam defeituosas. Duas peças são retiradas aleatoriamente sem reposição. Calcule a probabilidade de: a) ambas sejam defeituosas; b) ambas sejam perfeitas; c) pelo menos uma seja defeituosa. 20 / 22

21 Exercício 3 Os registros indicam que 34 de de 956 pessoas que recentemente visitaram África Central contraíram malária. Qual a probabilidade de que uma pessoa que recentemente visitou a África Central não tenha contraído malária? 21 / 22

22 Exercício 3 Os registros indicam que 34 de de 956 pessoas que recentemente visitaram África Central contraíram malária. Qual a probabilidade de que uma pessoa que recentemente visitou a África Central não tenha contraído malária? 22 / 22