Probabilidades. O cálculo de probabilidades teve a sua origem no estudo dos jogos de azar, principalmente nos jogos de dados.

Transcrição

1 Probabilidades O cálculo de probabilidades teve a sua origem no estudo dos jogos de azar, principalmente nos jogos de dados. Quando lançamos um dado, os resultados possíveis são sempre um dos elementos do conjunto E={1,2,3,4,5,6} A possibilidade de ocorrer número par, nesse lançamento, é equivalente à chance de se obter, na face voltada para cima, um dos números do conjunto b={2,4,6} Dizemos, então, que a possibilidade de se obter número par no lançamento de um dado é de 3 em 6, isto é, 3/6. A partir desse exemplo, vamos introduzir alguns conceitos importantes ao cálculo de probabilidades.

2 Experimento aleatório, espaço amostral e probabilidade

3 A partir de um experimento aleatório, determina-se o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento, que é o espaço amostral. Qualquer subconjunto desse espaço é um evento e a sua probabilidade de ocorrência é um número definido pelo quociente. A probabilidade de ocorrer o evento B de um espaço amostral E é indicada por P (B) e é definida pelo quociente: Observações: - O número de elementos de B é igual ao número de perspectivas favoráveis ao evento B. - O número de elementos de E é igual ao número de resultados possíveis do experimento aleatório.

4 Os exemplos a seguir esclarecerão os conceitos de experimento aleatório, espaço amostral e probabilidade.

5

6 Espaço amostral equiprovável O conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento aleatório é o seu espaço amostral E. Se todos esses resultados têm a mesma possibilidade de ocorrer, isto é, se a probabilidade de ocorrer cada um desses eventos for de 1 em 6, ou seja, 1/6, então o espaço amostral E={1,2,3,4,5 e 6} é chamado espaço amostral equiprovável. Espaço amostral equiprovável é aquele no qual todos os seus eventos têm a mesma probabilidade. Exemplo: Uma pesquisa realizada com 40 alunos de uma classe constatou o seguinte: 10 praticam natação, futebol e vôlei; 13 praticam natação e futebol; 12 praticam natação e vôlei; 15 praticam futebol e vôlei; 20 praticam natação, 24 futebol e 21 vôlei.

7 Determinar a probabilidade de, ao selecionar, ao acaso, um desses alunos, sair um que: A- pratique natação; B- pratique futebol; C- pratique ao menos um desses esportes; D- não pratique nenhum desses esportes. Solução: Você pode resolver o problema, utilizando o diagrama dos conjuntos: N= conjunto dos alunos que praticam natação; F= conjunto dos alunos que praticam futebol; V= conjunto dos alunos que praticam vôlei; A= conjunto dos alunos da classe. Escreva o número de elementos correspondentes a cada Uma das regiões do diagrama, começando pelo número De elementos da interseção dos três conjuntos (10), depois Pelo número de elementos das interseções dos conjuntos dois a dois e, finalmente, pelo número de elementos dos conjuntos N, F e V.

8 O espaço amostral E é constituído por 40 alunos. Então, n(e)=40. A- Observe, por meio do diagrama, que existem 20 alunos que particam natação. Então, n(a)=20 Logo, P(A)= n(a) = 20 = 1 = 50% n(e) 40 2 B- Observe, por meio do diagrama, que existem 24 alunos que praticam futebol. Então, n(b)=24. Logo, P(B)= n(b) = 24 n(e) 40 C- Observe, também, por meio do diagrama, que 35 alunos praticam pelo menos um desses esportes e apenas 5 não praticam nenhum dos esportes. Entoa, n(c)=35 Logo, P(C) =n(c) = 35 = 7 n(c) 40 8

9 D- Existem 40 alunos dos quais 35 praticam pelo menos um dos esportes e 5 não praticam nenhum dos esportes. Então, n(d)=5. Logo, n(d) = 5 = 1 n(e) 40 8 Princípio multiplicativo da contagem Vimos anteriormente, que podemos calcular a probabilidade P(A) de ocorrer o evento A de um espaço amostral E, por meio da obtenção dos conjuntos E e A e, a partir da listagem e da contagem de seus elementos, obtivemos n(e) e n(a) e calculamos P (A) = n(a) / n(e). Esse procedimento só se viabilizou porque foi possível listar e contar os elementos do espaço amostral E e do evento A para obter os números n(e) e n(a). Entretanto, se esses números forem grandes, essa contagem poderá ser muito trabalhosa e, às vezes, impossível.