AULA 4 -Probabilidade Condicional e Regra de Bayes

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1 AULA 4 - e Regra de Bayes Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ

2 : exemplos A soma dos resultados de dois lançamentos de um dado é 9. Qual a probabilidade do primeiro resultado ter sido 6? Num jogo de advinhação de palavras, a primeira letra da palavra é a. Qual a probabilidade da segunda ser b? Em um lote temos 80 peças sem defeito e 20 com defeito. Definimos os eventos: A = {a primeira peça defeituosa} e B = {a segunda peça defeituosa}, com reposição P (A) = = = 1 5 Se escolhemos sem reposição é verdade que P (A) = 1 5, mas qual é o valor de? Neste caso devemos saber se o evento A ocorreu ou não. Sejam A e B dois eventos associados a uma experimento ɛ. Denotaremos P (B A) a probabilidade condicioal do evento B, dado que A tenha ocorrido. No exemplo anterior P (B A) = 19 99

3 Dado um experimento, S e uma lei de probabilidade, suponha que o resultado do experimento pertence a um evento A. Deseja-se quantificar a probabilidade de que o resultado também pertença a um outro evento A. O objetivo é construir uma nova lei de probabilidade que leve em conta o conhecimento disponível. A nova lei é a probabilidade condicional de A dado B, denotada por P (A B). Definição P (A B) = P (A B) P (A B)+P (A c B) = P (A B) sendo > 0

4 Dado um evento B, 1. P (A B) 0 para todo evento A. 2. Se A 1 e A 2 são eventos disjuntos, P (A 1 A 2 B) = P ((A 1 A 2 ) B) P (A 1 A 2 B) = P ((A 1 B) (A 2 B)) P (A 1 A 2 B) = P (A 1 B) + P (A 2 B) P (A 1 A 2 B) = P (A 1 B) + P (A 2 B) 3. P (S B) = P (S B) = = 1

5 Como P (A B) é uma lei de probabilidade, todas as demais propriedades são válidas. Exemplo: P (A C B) P (A B) + P (C B) Como P (B B) = 1, a lei P (A B) está concentrada em B. Os resultados fora de B podem ser descartados. A probabilidade condicional pode ser vista como uma lei de probabilidade definida no universo B. Se S possui um número finito de resultados igualmente prováveis, P (A B) = numero elementos dea B numero elementos deb

6 Example Suponha que na fábrica tenha 100 máquinas. Algumas são elétricas (E) e outras manuais (M). Também algumas são novas (N) e outras usadas (U). Uma pessoa entra na fábrica, escolhe aleatoriamente uma máquina e descobre que ela é nova. Qual é a probabilidade de ser elétrica? Na nossa notação queremos calcular P (E N) Somente considerando o espaço amostral reduzido de N (70 novas) teremos que: P (E N) = = 4 7. Usando a definição de probabilidade condicional teremos que: P (E N) = P (E N) P (N) = 40/100 70/100 = 4 7

7 Regra da multiplicação A consequênciamais importante da definição de probabilidade condicional se obtem escrevendo da seguinte maneira: que é equivalente a P (A B) = P (B A)P (A) P (A B) = P (A B) Example (peças) Sabemos que P (B A) = e P (A) = 1 5 portanto P (A B) = P (B A)P (A) = De forma geral temos: P [A 1 A 2... A n ] = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1, A 2 )...P (A n A 1,...A n 1 )

8 Anteriormente usamos o conceito de probabilidade condicional com o objetivo de avaliar a probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos. Para calcular a probabilidade de um único evento A, podemos aplicar este conceito de outra maneira.

9 Definition Dizemos que os eventos B 1, B 2,..., B k representam uma partição do espaço amostral S se: a B i B j = para todo i j b k i=1 B i = S c P (B i ) > 0 para todo i Exemplo: lançamento de um dado B 1 = {1, 2}, B 2 = {3, 4, 5} e B 3 = {6} representam uma partição do espaço amostral. Pelo Diagrama de Venn temos k=8, podemos escrever: A = A B 1 A B 2... A B k alguns conjuntos podem ser vazios A B j e não invalidam a decomposição de A.

10 Considerando que todas as interseções são pares mutuamente excludentes, podemos aplicar a propriedade aditiva para este evento. P (A) = P (A B 1 ) + P (A B 2 ) P (A B k ) Cada termo P (A B j ) pode ser expresso como P (A B j )P (B j ) e assim, obtemos o chamado Teorema da Probabilidade Total P (A) = P (A B 1 )P (B 1 )+P (A B 2 )P (B 2 )+...+P (A B k )P (B k ) Example (peças) A = {a primeira peça defeituosa} e B = {a segunda peça defeituosa}, agora podemos calcular a P(B) = P (B A)P (A) + P (B A c )P (A c )fazer como exercício... O TPT é util para calcular a probabilidade de eventos B para os quais as probabilidades P (B A i ) são conhecidas. As escolhas da partição do A 1,..., A n é crucial.

11 Sejam A 1,..., A n eventos disjuntos que formam uma partição do espaço amostral. Assuma que P (A i ) > 0 para todo i. Regra de Bayes Para todo evento B tal que > 0 P (A i B) = P (A i)p (B A i ) = P (A i )P (B A i ) P (A 1 )P (B A 1 ) P (A n )P (B A n ) A regra de Bayes relaciona probabilidades condicionais P (A B) com probabilidades na forma reversa, P (B A).

12 Inferência A regra de Bayes é usada frequentemente para se fazer uma inferência. Assuma que existam várias causas que podem resultar num certo efeito. Exemplo: surge um ponto na tela do radar (efeito). O ponto é causado por uma aeronave ou por outra coisa. Observa-se o efeito, evento B. Deseja-se determinar a causa, um dos eventos A 1,..., A n. P (B A i ) é a probabilidade de se observar o efeito B quando a causa A j está presente.

13 Example (Detecção por radar) Considere os eventos A = {uma aeronave está presente} e B = {o radar registra a presenca}. As probabilidades são P (A) = 0.05, P (B A) = 0.99, e, P (B A c ) = 0.1 Defina A 1 = A, A 2 = A c. A probabilidade da aeronave estar presente dado que o radar fez um registro é P (A B) = P (A)P (B A) = P (A)P (B A) P (A)P (B A) + P (A c )P (B A c ) P (A B) = = 0.34