Princípios de Bioestatística

Transcrição

1 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Princípios de Bioestatística Aula 5 Introdução à Probabilidade

2 Nosso dia-a-dia está cheio de incertezas Vai chover amanhã? Quanto tempo levarei de casa até a universidade? Em quanto tempo serei atendido se eu pegar a fila única? E se eu pegar as filas separadas?

3 Na área científico-investigativa, não é diferente. Se fizermos uma intervenção X, quantos casos da doença eliminaremos na área 1? Quantos bebês dos próximos 10 recém-nascidos precisarão de cuidados na UTI neo-natal? Qual será o tamanho da ninhada de uma fêmea felina da raça siamesa? Se nascerem 6 gatinhos, quantos vão sobreviver?

4 Lidando com a incerteza Uma das maneiras de lidar com a incerteza acerca de um evento é expressá-la em números. Ou seja, quantificando a incerteza.

5 Probabilidades: quantificando a incerteza Probabilidade é uma medida da incerteza acerca de um evento. Esta medida é um número que vai de 0 a 1. Quanto maior a probabilidade de evento, menor a incerteza acerca dele.

6 Segundo o centro de meteorologia, a probabilidade de chover amanhã é de A probabilidade de gastar mais de 20 minutos de casa até o trabalho é de A probabilidade de esperar menos de 2 minutos na fila única é de Na fila separada, esta probabilidade é de 0.40.

7 Conceitos Básicos Experimento aleatório é aquele no qual os resultados possíveis são conhecidos antes da realização do experimento, mas só saberemos qual deles irá ocorrer quando ele for realizado. EXEMPLOS: Experimento aleatório 1: retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e verificar sua cor. Resultados possíveis: {vermelha, preta} Experimento aleatório 2: jogar um dado e observar a face de cima. Resultados possíveis: {1,2,3,4,5,6} Experimento aleatório 3: sortear uma mulher na cidade e verificar quantos filhos ela tem. Resultados possíveis: {0,1,2,3,4...}

8 Espaço Amostral (E) é o conjunto de resultados possíveis para o experimento aleatório. EXEMPLOS: Para o experimento aleatório 1: retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e verificar sua cor. Espaço amostral E 1 = {vermelha, preta} Para o experimento aleatório 2: jogar um dado e observar a face de cima. Espaço amostral E 2 ={1,2,3,4,5,6} Para o experimento aleatório 3: sortear uma mulher na cidade e verificar quantos filhos ela tem. Espaço amostral E 3 ={0,1,2,3,4...}

9 Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Exemplos: do espaço amostral E 1, A = {preta}; do espaço amostral E 2, B = {2,4,6}. A é um Evento Simples (somente um elemento do espaço amostral). A Evento Complementar ( ): o complementar de um evento A é formado pelos elementos do espaço amostral que não fazem parte do evento A. Exemplo: se o espaço amostral é E = {1,2,3,4,5,6} e o evento B = {2,4,6}, então = {1,3,5}. B

10 Evento vazio ( ) é evento que não contém nenhum elemento do espaço amostral. Exemplo: no experimento aleatório 1, o evento B: carta verde é um evento vazio, B =. AUB AIB Evento União ( ): Evento Interseção ( ): o evento A união B é o evento A interseção B formado pelos elementos é formado pelos elementos que estão em A ou em B. que estão em A e em B.

11 Exemplo: No E = {1,2,3,4,5,6}, sejam os eventos A sair um número par na jogada de um dado, A = { 2, 4, 6} e B sair um número menor do que 4 na jogada de um dado, B = {1, 2, 3}. O evento união é formado por (AU B) O evento interseção é formado por (AI B) = {1, 2, 3, 4, 6}. = { 2 }.

12 Eventos Mutuamente Exclusivos ou Disjuntos: dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando AI B= B A E Exemplo : Seja o experimento aleatório retirar uma carta de um baralho de 52 cartas. A : sair uma carta vermelha, A = {vermelha} e B : sair uma carta de espadas, B = {espadas}. O evento interseção (AI B)=

13 Definição Clássica para Probabilidade Quando TODOS os elementos do espaço amostral têm a mesma probabilidade de ocorrer, a definição clássica da probabilidade de um evento A ocorrer é dada por P( A ) = número de elementos do evento A total de elementos do espaço amostral Exemplo: Jogar um dado e observar a face de cima. Se o dado for honesto, todas as seis faces têm a mesma probabilidade de saírem para cima. Assim, a probabilidade do evento F o número é par, F = {2,4,6}, é dada por P(F)=3/6=0.5.

14 Experimento aleatório: retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e verificar sua cor, naipe ou número E= { A J Q K A J Q K A J Q K A J Q K } espadas paus copas ouros A = carta preta P(A) = 26/52 = 1/2 B= carta com letra P(B) = 16/52 = 4/13 C = carta de copas P(C) = 13/52 = 1/4 D = carta de ouros preta P(D) = 0/52 = 0

15 Propriedades da Probabilidade Probabilidade da União de Dois Eventos P(AU B) = P(A) + P (B) - P (A I B)

16 Probabilidade Condicional Probabilidade Condional de A dado B: é a probabilidade do evento A ocorrer, sabendo-se que o evento B ocorreu: P( A B) = P( A B) P( B) Exemplo: no experimento aleatório jogar um dado e observar a face de cima. E = {1,2,3,4,5,6}. Sejam os eventos: A={2,3}, B = {2,4,5,6} e A B = {2} P(A) = 2/6 = 1/3 P(A B) = 2/6 = 1/4 P(A B) = (1/6)/(4/6) = 1/4

17 Probabilidade Condicional Quando os elementos do espaço amostral são equiprováveis, podemos enxergar a probabilidade condicional como uma redução do espaço amostral inicial. Exemplo: o experimento aleatório jogar um dado e observar a face de cima. Espaço amostral inicial E = {1,2,3,4,5,6} Se F = {2,4,6} ocorre, então o espaço amostral inicial E={1,2,3,4,5,6} é reduzido para {2,4,6} P( B F) = 1 3

18 Independência de Eventos Se a ocorrência de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, os eventos A e B são independentes. Ou seja, se P( A B) = P( A) os eventos A e B são independentes.

19 Independência de Eventos Se A e B são independentes, isto significa que P( A B) = P( B) P( A) P( A B) = P( A B ) P( B) ind = P ( A ) P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) ind

20 Experimento aleatório: retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e verificar sua cor, naipe ou número E= {A J Q K A J Q K A J Q K A A J J Q Q K } A = carta preta P(A) = 26/52 = 1/2 B= carta com letra P(B) = 16/52 = 4/13 A e B são eventos independentes? P(B A) = 8/26 = 4/13 = P(B). SIM Interseção A e B : P(A B) = 8/52 = 2/13

21 Experimento aleatório: jogar um dado e olhar a face de cima E= { } A = número 4 P(A) = 1/6 B= número ímpar P(B) = 3/6 = 1/2 A B = número ímpar igual a 4 P(A B) = 0/6 = 0 A e B são eventos independentes? P(B A) = P(A B)/P(A) = 0/(1/6) = 0 P(B). NÃO

22 Definição Frequentista da Probabilidade A probabilidade de um evento deve ser estimada atráves da frequência da ocorrência do evento na repetição do experimento um grande número de vezes.

23 Definição Frequentista da Probabilidade Exemplo: Qual é a probabilidade de que uma pessoa seja portadora da bactéria H. pylori? Experimento aleatório : selecionar uma pessoa do grupo de interesse e verificar um dos resultados possíveis: E = {portadora, não-portadora}. P( portadora) P( não portadora) A probabilidade de ser portadora deve ser estimada com a utilização de uma grande amostra de pessoas do grupo de interesse.

24 Definição Frequentista da Probabilidade Exemplo: Qual é a probabilidade de que uma pessoa seja portadora da bactéria H. pylori? # de pessoas portadoras na amostra Pˆ( portadora ) = tamanho da amostra O valor de P ˆ( portadora ) é uma estimativa de P( portadora)

25 Cálculo de Probabilidades em tabelas de classificação cruzada Grupo Sangüíneo Tromboembolismo Doente Sadia Total A B AB O Total P( doente ) = = P( sadia) = 1 P( doente) 200 = = P( A ) = = P( A doente) = =

26 Cálculo de Probabilidades em tabelas de classificação cruzada Grupo Sangüíneo Tromboembolismo Doente Sadia Total A B AB O Total P( A doente) = = P( doente A ) = = Os eventos ser doente e pertencer ao grupo sanguíneo A podem ser considerados independentes? NÃO P( doente ) = P( doente A) P( doente)