Introdução aos Processos Estocásticos - Independência
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- Alfredo Chagas Salgado
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1 Introdução aos Processos Estocásticos - Independência Eduardo M. A. M. Mendes DELT - UFMG Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes 1 / 43
2 Independência Independência Definição: dois eventos A e B são independentes se P(A B) = P(A) P(B) Obs.: Independência não é um não ter influência no outro. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes 2 / 43
3 Exemplos Exemplo 1: Suponha que num experimento, tenhamos e P(A) = = 0, 5 P(B) = 87 = 0, P(C) = 83 = 0, P(A B) = 45 = 0, 4327 P(A) P(B) = 0, P(A C) = 39 = 0, 375 P(A) P(C) = 0, P(B C) = 70 = 0, 6731 P(B) P(C) = 0, Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes 3 / 43
4 Exemplos (cont.) B e C parecem mais próximos de serem independentes. Exemplo 2: Experimento - Lançamento de um dado 2 vezes. Evento - 4 no primeiro lançamento e 5 no segundo lançamento. Ω = 6 2 = 36. A = {4 5} A = 1 Mas podemos fazer também Ω 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A 1 = {4}, A 2 = {5} P(A) = A Ω = 1 36 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes 4 / 43
5 Exemplos (cont.) P(A 1 ) = A 1 Ω 1 = 1 6 e P(A 2) = A 2 Ω 1 = 1 6 P(A) = = 1 36 Independentes Exemplo 3: Experimento - Escolher duas canetas sem reposição de {R 1, R 2, G, B} Espaço amostral = Ω = {R 1 R 2, R 1 G, R 1 B, R 2 G, R 2 B, GB} A - evento em que escolhemos exatamente 1 caneta vermelha A = {R 1 G, R 1 B, R 2 G, R 2 B} B - evento em que escolhemos exatamente 1 caneta verde B = {R 1 G, R 2 G, GB} Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes 5 / 43
6 Exemplos (cont.) P(A) = 4 6 = 2 3 P(B) = 3 6 = 1 2 A B = {R 1 G, R 2 G} P(A B) = 2 6 = 1 3 P(A) P(B) = = 1 3 = P(A B) Independentes. Exemplo 4: Experimento - Suponha, agora, que há mais uma caneta (roxa). {R 1, R 2, G, B, P} Espaço Amostral: Ω = {R 1 R 2, R 1 G, R 1 B, R 1 P, R 2 G, R 2 B, R 2 P, GB, GP, BP} Ω = 10. A = {R 1 G, R 1 B, R 1 P, R 2 G, R 2 B, R 2 P} e P(A) = A Ω = 6 10 = 3 5 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes 6 / 43
7 Exemplos (cont.) B = {R 1 G, R 2 G, GB, GP} e P(A) = B Ω = 4 10 = 2 5 A B = {R 1 G, R 2 G} P(A B) = 2 10 = 1 5 P(A) P(B) = = Não são independentes!!!! Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes 7 / 43
8 Independência Mútua Independência Mútua Se 3 eventos são independentes 2 a 2, será que P(A B C) = P(A) P(B) P(C)? Resposta: Não. Proposição 1.11: Seja A 1, A 2,..., A n mutualmente independentes. Então P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 ) P(A 2 )... P(A n ) Exemplo: Três eventos para os quais P(A B C) = P(A) P(B) P(C), mas para par a par não é independente. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes 8 / 43
9 Independência Mútua (cont.) Seja Ω = {1, 2, 3, 4} e P({1}) = P({2}) = P({3}) = p e P({4}) = q. Consequentemente 3p + q = 1 com 0 p, q 1. Vamos considerar A = {1, 4}, B = {2, 4} e C = {3, 4}. Repare que a interseção de qualquer par é {4} que é a interseção dos três também e que P({4}) = q Como P(A) = P(B) = P(C) = p + q, devemos ter (p + q) 3 = q e (p + q) 2 q Resolver (p + q) 3 = q e 3p + q = 1 é mesma coisa do que resolver 8q q 2 21q + 1 = 0 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes 9 / 43
10 Independência Mútua (cont.) Fatorando, temos (q 1)(8q q 1) onde q = 1 não nos interessa. A raiz que nos interessa é Logo p = e q = O que completa o nosso exemplo. (p + q) = (p + q) 3 = q 3 (p + q) 2 = 1 2 q Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 10 emmendes / 43
11 Independência Mútua Proposição 1.12 Se A e B são independentes, então A e B c são independentes. Prova: Sabemos que P(A B) = P(A) P(B) P(B c ) = 1 P(B) (Proposição 1.3) A B e A B c são disjuntos e não tem elementos em comum e a sua união é A. Usando o Axioma 3, temos Logo: P(A) = P(A B) + P(A B c ) P(A B c ) = P(A) P(A B) = P(A) P(A) P(B) = P(A) (1 P(B)) = P(A) P(B c ) Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 11 emmendes / 43
12 Independência Mútua Colorário 1.13 Se A e B são independentes, A c e B c também são. prova: Aplicar Proposição 1.12 duas vezes. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 12 emmendes / 43
13 Independência Mútua proposição 1.14 Sejam os eventos A, B e C mutuamente independentes, então A e B C são independentes e A e B C são independentes. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 13 emmendes / 43
14 Exemplo Podemos assumir que lançamentos sucessivos de uma moeda são independentes, mesmo se a moeda não for equilibrada. Suponha que a probabilidade de ser cara é 0, 6 (moeda viciada) e a mesma seja lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de se conseguir 3 caras, 2 coroas, 1 cara ou só coroa? Solução: a) Três caras P({c}) = 0, 6 b) Duas caras - {HHT, HTH, THH} P({3 caras}) = (0, 6) 3 0, 216 P({HHT }) = 0, 6 0, 6 0, 4 = 0, 144 P({2 caras}) = 3 0, 144 = 0, 432 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 14 emmendes / 43
15 Exemplo (cont.) c) Uma cara - {TTH, THT, HTT } P({1 cara}) = 3 (0, 4) 2 0, 6 = 0, 288 d) Só coroa Note que: P({só coroa}) = (0, 4) 3 = 0, 064 0, , , , , 064 = 1 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 15 emmendes / 43
16 Probabilidade Condicional Definição P(A B) = P(A B), para P(B) 0. P(B) Na prática - Probabilidade de A dado que B ocorreu. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 16 emmendes / 43
17 Exemplo 1 Suponha que um homem e uma mulher sairam para jantar. Quem pagará a conta será decidido no lançamento de uma moeda ({H, T }), três vezes, da seguinte maneira: mais caras do que coroas a mulher paga a conta, caso contrário, o homem paga a conta. Suponha que no primeiro lançamento da moeda saiu cara (H). Qual é a probabilidade de que a mulher pague a conta? Solução: 1) Sem a condição de que cara saiu no primeiro lançamento. Espaço Amostral: Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT } Ω = 2 3 = 8 Evento A - mais caras - A = {HHH, HHT, HTH, THH} Evento B - Mais coroas - B = {HTT, THT, TTH, TT } Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 17 emmendes / 43
18 Exemplo 1 (cont.) Claramente a probilidade é 1 2 T (A) = A Ω = 4 8 = 1 2 T (B) = B Ω = 4 8 = 1 2 2) Com a condição, ou seja, sabendo que o resultado do primeiro lançamento é cara. Evento E = {HHH, HHT, HTH, HTT } - Este é o nosso novo espaço amostral. A 1 - mulher paga - A E = {HHH, HHT, HTH} B 1 - homem paga - B E = {HTT } Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 18 emmendes / 43
19 Exemplo 1 (cont.) Então: P(A 1 ) = A 1 E P(B 1 ) = B 1 E = 3 4 = 1 4 Usando a definição de probabilidade condicional P(A E) = P(A E) P(E) A E = {HHH, HHT, HTH} P(A E) = A E Ω = 3 8 P(E) = E Ω = 4 8 = 1 2 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 19 emmendes / 43
20 Exemplo 1 (cont.) P(A E) = 3/8 1/2 = 3 4 Usando o mesmo raciocínio, temos Note que: P(B E) = P(B E) P(E) = 1/8 1/2 = 1 4 P(A E) + P(B E) = 1 pois A B = Ω. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 20 emmendes / 43
21 Exemplo 2 Um carro qualquer é escolhido aleatoreamente ao trafegar pela Av. Antônio Carlos. A probabilidade de que o carro seja amarelo é A probabilidade da cor do cabelo do motorista ser louro é 1 5. A probabilidade que o carro seja amarelo e a cor do cabelo do motorista seja louro é Encontre a probabilidade condicional que a cor do cabelo do motorista seja louro dado que a cor do carro é amarelo. Solução Y - evento {carro amarelo} B - evento {cabelo louro} Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 21 emmendes / 43
22 Exemplo 2 (cont.) Sabemos: P(Y ) = 0, 03 P(B) = 0, 2 P(Y B) = 0, 02 Logo: P(B Y ) = P(B Y ) P(Y ) = 0,02 0,03 0, 667 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 22 emmendes / 43
23 Probabilidade Condicional Proposição 2.1 Sejam A e B eventos e P(B) 0, então A e B são independentes se e somente se P(A B) = P(A). Prova 1 a Parte - Suponha que A e B são independentes P(A B) = P(A) P(B) P(A B) = P(A B) P(B) = P(A)P(B) P(B) = P(A) 2 a Parte - Suponha que P(A B) = P(A) ou seja P(A B) P(B) = P(A) P(A B) = P(A) P(B) logo A e B são independentes. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 23 emmendes / 43
24 Exemplo 1 Sabemos que o gene do filho é metade de um dos dois genes do pai e metade de um dos genes da mãe. Cada um com probabilidade igual a 1 2. B - gene olhos castanhos b - gene olhos azuis Suponha que João tenha olhos castalhos e seus pais também. A irmã de João tem olhos azuis. Qual é a probabilidade de que os genes de João sejam BB? Solução Os genes da irmã de João são bb que são um de cada pai, logo (caso Pai = Bb ou bb ou BB geral): Mãe = Bb ou bb ou BB Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 24 emmendes / 43
25 Exemplo 1 (cont.) No caso de João, podemos ter BB, Bb, bb, bb Todos têm a probabilidade = 1 4 X - evento em que João tem genes B. Y - evento em que João tem olhos castanhos. ou P(X Y ) = P(X Y ) P(Y ) X = {BB} Y = {BB, bb, Bb} = 1/4 3/4 = 1 3 P(X ) = X Y = 1 3 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 25 emmendes / 43
26 Probabilidade Condicional Teorema da Probabilidade Total Situação: Não sabemos a probabilidade de um evento mas sabemos a sua probabilidade quando um outro evento ocorreu. Os eventos A 1, A 2, A 3,..., A n formam uma partição do espaço amostral se a) Se os eventos são disjuntos dois a dois, ou seja A i A j =, i j b) A 1 A 2... A n = Ω Teorema 2.2: Sejam A 1, A 2,..., A n uma partição do espaço amostral, com (P(A i ) 0 para todo i, e seja B um evento. Então: P(B) = n P(B A i ) P(A i ) i=1 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 26 emmendes / 43
27 Probabilidade Condicional Prova: Sabemos que: P(B A i ) = P(B A i) P(A i ) P(B A i ) = P(B A i ) P(A i ) Considere também que B A 1, B A 2,..., B A n, onde B A i e B A j são disjuntos. Note, na figura, que: Figura 1: (A 1 B) (A 2 B) = Exemplo dos conjuntos Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 27 emmendes / 43
28 Probabilidade Condicional (cont.) (A 1 B) (A 2 B) = B Então, no nosso caso, a relação acima é (A 1 B) (A 2 B)... (A n B) = B Pelo Axioma 3 n P(B A i ) = P(B) i=1 n P(B A i ) P(A i ) = P(B) i=1 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 28 emmendes / 43
29 Exemplo Um vendedor de abacaxi tem que decidir se aumenta o estoque ou não para o feriado que se aproxima. Ele estima que, se o tempo for ensolarado, ele tem 90% de chance de vender todo seu estoque; se estiver nublado, sua chance é de 60% e se chover, sua chance é de 20%. De acordo com a previsão do tempo, a probabilidade de um dia ser ensolarado é de 30%, de um dia nublado é de 45% e de um dia chuvoso é de 25%. Qual é a probabilidade de que o vendedor venda todo o seu estoque? Solução A 1 - dia ensolarado - P(A 1 ) = 0, 3 A 2 - dia nublado - P(A 2 ) = 0, 45 A 3 - dia chuvoso - P(A 3 ) = 0, 25 Repare que são disjuntos e formam uma partição! B - evento em que o vendedor vende todo o seu estoque Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 29 emmendes / 43
30 Exemplo (cont.) Sabemos, ainda, que: P(B A 1 ) = 0, 9 P(B A 2 ) = 0, 6 P(B A 3 ) = 0, 2 Usando o teorema da Probabilidade Total, temos: P(B) = 0, 9 0, 3 + 0, 6 0, , 2 0, 25 = 0, 59 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 30 emmendes / 43
31 Probabilidade Condicional Corolário 2.3 Sejam A e B eventos e suponha que P(A) 0 ou 1, então P(B) = P(B A) P(A) + P(B A c ) P(A c ) Prova: segue diretamente do teorema 2.2 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 31 emmendes / 43
32 Teorema de Bayes Pré-suposto: P(A B) P(B A) Teorema 2.4: Sejam A e B eventos com probabilidade não nulas, então P(A B) = P(B A) P(A) P(B) Prova: Usando a definição de probabilidade condicional P(A B) = P(B A) = Dividindo equações 1 e 2, temos: P(A B) P(B) P(B A) P(A) (1) (2) P(A B) P(A B) = P(A) P(B A) P(B) P(B A) Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 32 emmendes / 43
33 Teorema de Bayes (cont.) Mas P(B A) = P(A B), logo P(A B) = P(B A) P(A) P(B) Se P(A) 0 e 1 e P(B) 0, podemos usar o corolário 2.3 para reescrever o Teorema de Bayes como P(A B) = P(B A) P(A) P(B A) P(A) + P(B A c ) P(A c ) Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 33 emmendes / 43
34 Exemplo 1 Considerando o exemplo anterior do vendedor de abacaxi, suponha que o mesmo tenha vendido todo o estoque. Qual é a probabilidade de que o dia foi ensolarado? Solução: A 1 - evento dia ensolarado B - evento vendeu todo o seu estoque A questão é saber quanto é P(A 1 B). Temos: P(B A 1 ) = 0, 9 P(A 1 ) = 0, 3 P(B) = 0, 59 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 34 emmendes / 43
35 Exemplo 1 (cont.) Logo: P(A 1 B) = P(B A 1) P(A 1 ) P(B) = 0, 9 0, 3 0, 59 = 0, 46 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 35 emmendes / 43
36 Exemplo 2 Suponha que 1 em 1000 pessoas é portadora de uma doença específica. Suponha, também, que a probabilidade de que o portador teste negativo é 1%, enquanto que a probabilidade de que o portador teste positivo é 5%. Seja A o evento paciente é portador e B o evento resultado é positivo. Foram dados: P(A) = 0, 001 (tal que P(A c ) = 0, 999) e que P(B A) = 0, 99 P(B A c ) = 0, 05 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 36 emmendes / 43
37 Exemplo 2 (cont.) a) O paciente recebe o resultado do teste positivo. Qual é a probabilidade do paciente ser portador? P(A B) = P(B A) P(A) P(B A) P(A) + P(B A c ) P(A c ) = 0, 99 0, 001 0, 99 0, , 05 0, 999 = 0, 0194 b) O paciente recebeu o resultado do teste negativo. Qual é a probabilidade do paciente ser portador? P(A B c ) = P(B c A) P(A) P(B c A) P(A) + P(B A c ) P(A c ) = 0, 01 0, 001 0, 01 0, , 95 0, 999 = 0, Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 37 emmendes / 43
38 Exemplo 2 (cont.) Obs.: Paciente sem estória na família, escolhido aleatoreamente. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 38 emmendes / 43
39 Probabilidade Condicional Mais de dois eventos Propriedade condicional C dado que A e B tenham ocorrido é P(C A B) ou P(C A, B) onde ou P(C A, B) = P(A B C) P(A B) P(A B C) = P(C A, B) P(A B) } {{ } P(B A) P(A) Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 39 emmendes / 43
40 Probabilidade Condicional Proposição 2.5 Sejam A 1, A 2,..., A n eventos. Suponha que P(A 1... A n 1 ) 0, então P(A 1... A n ) = P(A n A 1... A n 1 )... P(A 2 A 1 ) P(A 1 ) Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 40 emmendes / 43
41 Problema do Aniversário Se existem 23 ou mais pessoas na sala de aula, então as chances são melhores do que 50% que duas delas façam aniversário no mesmo dia? Solução: Suponha que hava n pessoas: p 1, p 2,..., p n. Seja A 2 o evento p 2 faz aniversário em dia diferente de p 1 P(A 2 ) = Seja A 3 o evento p 3 faz aniversário em dia diferente de p 1 e p 2 P(A 3 A 2 ) = P(A 2 A 3 ) = P(A 2 ) P(A 3 A 2 ) = ( ) ( ) A 2 está ligada ao evento todas as três pessoas fazem aniversário em dias diferentes Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 41 emmendes / 43
42 Problema do Aniversário (cont.) Estendendo, temos P(A i A 1,..., A i 1 ) = 1 i Usando a Proposição 2.5 ( P(A 1... A i ) = 1 1 ) ( 1 2 ) (... 1 i 1 ) = q i onde q i é a probabilidade de todas as pessoas p 1,..., p n fazerem aniversário em dias separados. q i descresse à medida que mais fatores são multiplicados, pois cada fator é menor do que 1. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 42 emmendes / 43
43 Problema do Aniversário (cont.) Objetivo: q n 1 > 0, 5 e q n 0, 5. Fazendo os cálculo temos q 22 = 0, 5243 e q 23 = 0, 4927 são necessários 23 pessoas para que a probabilidade de coincidência de aniversário seja maior do que 1 2. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de Pós-GraduaçãoMACSIN em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais 43 emmendes / 43
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