PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS

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1 PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS

2 1. Experimentos Experimento determinístico: são aqueles em que o resultados são os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrência dos mesmos. Exemplo: Um determinado sólido a uma certa temperatura passará para o estado líquido.

3 Experimento aleatório: qualquer experimento cujo resultado depende exclusivamente do acaso. Exemplos: Lançar uma moeda e observar as sequências de caras e coroas. Lançar um dado e observar o número da face de cima. Lançar duas moedas e observar a sequência de caras e coroas obtidas. De um lote de 80 peças boas e 20 defeituosas, selecionar 10 peças e observar o número de peças defeituosas.

4 2. Espaço amostral de um experimento aleatório É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Exemplos: a) Lançar uma moeda e observar a face de cima. E = {k, c}, c = cara e k = coroa b) Lançar um dado e observar a face de cima. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

5 c) De uma urna contendo 3 bolas vermelhas (V), 2 brancas (B) e 5 bolas azuis (A), extrair uma bola e observar a sua cor. E = { V, B, A} d) Lançar uma moeda duas vezes e observar a sequência de caras e coroas. E = { (k, k), (k,c), (c, k), (c, c) } e) Lançar uma moeda duas vezes e observar o número de caras. E = { 0, 1, 2}

6 TREINAMENTO DE SALA 1) Dê o espaço amostral para cada experimento abaixo. a) Uma letra escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE. E = {P, R, O, B, A, I, L, D, E} b) Uma urna contém 5 bolas vermelhas (V) e 2 brancas (B). Duas bolas são extraídas, sem reposição, e observadas suas cores, na sequência em que foram extraídas. E = {(V, V), (V, B), (B, V), (B, B)} c) Entre 5 pessoas A, B, C, D, E, duas pessoas são escolhidas para formarem uma comissão. Observam-se os elementos dessa comissão. E = {(A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (B, C), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E)}

7 3. Evento de um espaço amostral É qualquer subconjunto de um espaço amostral. a) Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A: ocorrência de um número ímpar. A = {1, 3, 5 }

8 B: Ocorrência de um número primo. B = {2, 3, 5 } C: Ocorrência de um número menor que 4. C = {1, 2, 3 } D: Ocorrência de um número menor que 7. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } E: Ocorrência de um número maior ou igual a 7. E =

9 F: Ocorrência de um número par e primo. F = { 2 } Atenção! O evento D é o próprio espaço amostral (D = E), dizemos que é EVENTO CERTO. O evento E (E = IMPOSSÍVEL. ) é chamado de EVENTO O evento F ( F = { 2 } ) é um conjunto unitário, dizemos que é um EVENTO SIMPLES ou ELEMENTAR.

10 TREINAMENTO DE SALA 1) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Seja E = {1, 2, 3,..., 30}. Descreva os eventos: a) o número obtido é primo. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} b) o número não é múltiplo de 6. {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29} c) O número é múltiplo de 2 e de 5. {10, 20, 30} d) O número é múltiplo de 3 ou de 8. {3, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30}

11 2) Uma moeda e um dado são lançados. Seja: E = {(k,1); (k,2); (k,3); (k,4); (k,5); (k,6); (c,1); (c,2); (c,3); (c,4); (c,5); (c,6)} Descreva os eventos: a) B: ocorre número par. { (k, 2); (k, 4); (k, 6); (c, 2); (c, 4); (c, 6) } b) C: ocorrência do número 3. { (k, 3), (c, 3) } B C

12 4. Espaço amostral equiprovável Exemplo: Uma moeda é lançada várias vezes. As tabelas seguintes mostram as frequências de cada face nos lançamentos. Em vinte lançamentos: FACE FREQUÊNCIA C 12 K 8 Em cinquenta lançamentos: FACE FREQUÊNCIA C 23 K 27

13 Em cem lançamentos: FACE FREQUÊNCIA C 49 K 51 Se aumentarmos indefinidamente o número de lançamentos, as frequências tenderão a um mesmo número. Por isso dizemos que o espaço amostral E = { c, k } é equiprovável. Generalizando, temos que: Um espaço amostral E = {a 1, a 2, a 3,..., a n } de um experimento aleatório é equiprovável se, e somente se, as frequências dos elementos tendem a um mesmo valor quando o número de vezes que o experimento é realizado tende ao infinito.

14 5. Probabilidade Seja e um espaço amostral finito e nãovazio; e seja A um evento desse espaço amostral. Chama-se probabilidade de A, e indica-se por P(A), o número, onde n(a) e n(e) indicam os números de elementos dea e E, respectivamente. Isto é: na ( ) ne ( ) PA ( ) na ( ) ne ( )

15 TREINAMENTO DE SALA 1) No lançamento de um dado qual é a probabilidade de se obter, na face voltada para cima um número de pontos menor que 3? ⅓ ou 33,333...% 2) No lançamento de duas moedas, qual é a probabilidade de se obter nas faces voltadas para cima, pelo menos uma cara? ¾ ou 75% 3) Sorteando-se um anagrama da palavra TESOURA, qual é a probabilidade de se obter um anagrama que comece e termine por vogal? 2/7 ou 28,57%

16 4) De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de cada um dos eventos abaixo? a) Ocorre dama de copas. 1/52 ou 1,92% b) Ocorre dama. 1/13 ou 7,69% c) Ocorre carta de naipe paus. ¼ ou 25% d) Ocorre dama ou rei ou valete. 3/13 ou 23,07%

17 6. Eventos complementares Seja E o espaço amostral de um experimento aleatório e seja A um evento de E. Chama-se evento complementar de A, que se indica por, o evento que satisfaz as seguintes condições: A AA E A A

18 Complementar de A através de diagrama:

19 Exemplos: a) No lançamento de um dado, considere o evento A formado pelos resultados menores do que 3. O complementar de A é formado por todos os resultados maiores ou iguais a 3. A = {1, 2} A 3, 4,5,6

20 b) No lançamento de duas moedas, considere o evento A = {(c, c), (k, k)}. O complementar de A é o evento A c, k, k, c.

21 7. Propriedades das probabilidades Sendo E um espaço amostral finito e não-vazio e sendo A um evento de E, tem-se que: I) P( ) = 0 II) P(E) = 1 III) IV) 0 PA ( ) 1 P( A) 1 P A e ( P( A) 1 P( A))

22 TREINAMENTO DE SALA 1) Uma urna contém exatamente dez etiquetas, numeradas de 1 a 10. Retira-se uma etiqueta da urna. Qual é a probabilidade de se obter: a) A: um número maior que 10? P(A) = 0 ou P(A) = 0% b) B: um número menor que 11? P(B) = 1 ou P(B) = 100% 2) Uma urna contém apenas bolas vermelhas, azuis, brancas e pretas. Retira-se ao acaso uma bola da urna. A probabilidade de sair uma bola vermelha é 5/17. Qual a probabilidade de sair uma bola que não seja vermelha? 12/17 ou 70,58%

23 8. Probabilidade da união de dois eventos (adição de probabilidades) Seja E um espaço amostral finito e não-vazio. Para quaisquer eventos A e B de E, tem-se que: P(A U B) = P(A) U P(B) P(A B) Atenção! Se A B =, os eventos A e B são chamados de mutuamente exclusivos. Exemplos: a) Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a10. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de seu número ser par ou maior que 4?

24 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} n(e) = 10 A : número par A = {2, 4, 6, 8, 10} n(a) = 5 B: número maior que 4 B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} n(b) = 6 A B: número par e maior que 4 A B = {6, 8, 10} n(a B) = 3 P(A U B) = P(A) U P(B) P(A B) P(A U B) = P(A U B) = % 10 5

25 Considerando a mesma situação anterior, vejamos qual a probabilidade de a bola retirada ser um número primo ou maior que 8. n(e) = 10 A: número primo A = {2, 3, 5, 7} n(a) = 4 B: número maior que 8 B = {9, 10} n(b) = 2 A B = n(a B) = 0 P(A U B) = P(A) + P(B) P(A U B) = P(A U B) = % 10 5

26 TREINAMENTO DE SALA 1) Numa caixa estão 8 peças com pequenos defeitos, 12 com grandes defeitos e 15 perfeitas. Uma peça é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de que esta seja perfeita ou tenha pequenos defeitos? n(e) = = 35 A: peças perfeitas n(a) = 15 B: peças com pequenos defeitos n(b) = 8 A B = P(A U B) = P(A) + P(B) P(A U B) = P(A U B) = 65,71%

27 2) Qual a probabilidade de, no lançamento simultâneo de dois dados, a soma ser 6 ou sair a mesma face nos dois dados? n(e) = 6. 6 = 36 A = {(1, 5); (2, 4); (3, 3); (4, 2); (5, 1)} n(a) = 5 B = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5); (6, 6)} n(b) = 6 A B = {(3, 3)} n(a B) = 1 P(A U B) = P(A) U P(B) P(A B) P(A U B) = P(A U B) = 27,77%

28 9. Probabilidade condicional Chama-se probabilidade condicional de um evento B a probabilidade de esse evento ocorrer considerando-se que já ocorreu um evento A. Atenção! P(B/A) = n A B na ( ) P(B/A): lê-se probabilidade de B, dado A. Se A e B forem mutuamente exclusivos, então P(B/A) = 0.

29 Exemplo: Numa urna temos 100 bolas numeradas de 1 a 100. Sabe-se que a bola sorteada é par. Vamos calcular a probabilidade de ser um múltiplo de 10. Número é par : n(a) = 50 Número é múltiplo de 10: n(b) = 10 Número é par e múltiplo de 10: n(a B) = 10 P(B/A) = % 100

30 10. Multiplicação de Probabilidades Eventos Independentes Chamamos de eventos independentes os eventos cuja probabilidade de ocorrer um deles não depende de ter ou não ocorrido o outro. P(B/A) = P(B) ou P(A/B) = P(A)

31 Exemplo: Uma moeda é lançada duas vezes. Vamos calcular a probabilidade de: a) obtermos cara no segundo lançamento. E = {(c, c); (c, k); (k, c), (k, k)} n(e) = 4 A = {(c, c); (k, c)} n(a) = 2 P(A) = na ( ) ne ( ) %

32 b) Obtermos cara no segundo lançamento, sabendo que obtivemos cara no primeiro lançamento. Cara no primeiro lançamento(b) Cara no segundo lançamento(a) B = {(c, c); (c, k)} A = {(c, c); (k, c)} A B = {(c, c)} n(a B) = 1 Como sabemos que ocorreu o evento B, temos que o evento A só pode ter ocorrido na intersecção dea e B: P( A / B) n( A B) 1 nb ( ) 2 Observando as respostas dos itens a e b, temos que P(A/B) = P(A) = ½ Por isso, dizemos que os eventos A e B são eventos independentes.

33 Produto de probabilidades Vimos que: P( B / A) n( A B) na ( ) Dividindo o numerador e o denominador da fração por n(e), temos que: n( A B) ne ( ) P( A B) P( B / A) P( B / A) na ( ) PA ( ) ne ( ) Portanto: P( A B) P( A) P( B / A)

34 Atenção! Se A e B forem eventos independentes, então: Exemplo: P( A B) P( A) P( B) Uma urna contém precisamente sete bolas: 4 azuis e 3 vermelhas. Retira-se ao acaso, um bola da urna, registra-se sua cor e repõe-se a bola na urna. A seguir, retira-se novamente uma bola da urna e registra-se sua cor. Calcular a probabilidade de: a) Sair uma bola azul e depois outra vermelha.

35 A e V é P b) saírem 2 bolas de cores diferentes. Temos duas sequências possíveis, com as respectivas possibilidades: A e V, P ou V e A, P P1 P P