Módulo X. Querido aluno(a)!!!

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1 1 Módulo X Querido aluno(a)!!! É o que deseja a equipe

2 2 Exercícios 1) Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição: Um elemento é escolhido as acaso. Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de ser homem? b) Qual a probabilidade de ser adulto? c) Qual a probabilidade de menor e mulher? d) Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto, qual a probabilidade de ser homem? e) Dado que a escolhida é mulher, qual a probabilidade de ser menor? 2) Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem boas. 3) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de: a) a soma ser menor que 4 b) a soma ser 9 c) o primeiro resultado ser maior do que o segundo 4) Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3,..., 50. Qual a probabilidade de:

3 3 a) o número ser divisível por 5 b) terminar em 3 c) ser primo d) ser divisível por 6 ou por 8 5) Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Extraindo-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de que seu número seja: a) par b) ímpar c) par e maior que 10 d) primo e maior que 3 e) múltiplo de 3 e 5 6) Uma caixa tem 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. Extraindo-se duas bolas, calcule a probabilidade de serem: a) uma de cada cor b) ambas da mesma cor 7) Resolver o exercício anterior admitindo que as duas bolas são extraídas uma a uma com reposição. 8) Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre 15 lâmpadas, das quais 5 são defeituosas. Encontre a probabilidade de que: a) nenhuma seja defeituosa; b) exatamente uma defeituosa c) pelo menos uma seja defeituosa.

4 4 9) Três parafusos e três porcas são colocados numa caixa. Se duas peças são retiradas aleatoriamente, encontre a probabilidade de uma ser parafuso e a outra ser porca. 10) Num lote de 12 peças, 4 são peças defeituosas. Três peças são retiradas ao acaso, uma após a outra. Encontre a probabilidade de todas as três peças serem não-defeituosas. 11) Uma classe tem 12 meninos e 4 meninas. Se três estudantes são selecionados aleatoriamente, qual é a probabilidade de serem todos meninos? 12) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é escolhida aleatoriamente. Calcule a probabilidade de que: a) ela não tenha defeitos graves b) ela não tenha defeitos c) ela ou seja boa ou tenha defeitos graves. 13) São dadas três caixas, como segue: A caixa I tem 10 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas A caixa II tem 6 lâmpadas, das quais 1 é defeituosa A caixa III tem 8 lâmpadas, das quais 3 são defeituosas. Selecionamos uma caixa aleatoriamente e então retiramos uma lâmpada, também aleatoriamente. Qual a probabilidade dela ser defeituosa? 14) Três máquinas A, B e C, produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de produção

5 5 defeituosas destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se uma peça é selecionada ao acaso, ache a probabilidade dela ser defeituosa. 15) Três departamentos A, B e C de uma escola têm, respectivamente, a seguinte composição: 2 doutores, 3 mestres e 4 especialistas; 3 doutores, 2 mestres e 2 especialistas; 4 doutores, 1 mestre e 1 especialista. Escolhe-se um departamento ao acaso e sorteiam-se dois professores. Se os professores são um especialista e um doutor, qual a probabilidade que tenham vindo o departamento A? 16) Uma urna contem 12 bolas; 5 brancas, 4 vermelhas e 3 pretas. Outra contém 18 bolas; 5 brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de que as duas bolas sejam de mesma cor? 17) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas e 2 brancas. Foram extraídas 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma vermelha? 18) Uma caixa A contém 8 peças, das quais 3 são defeituosas e uma caixa B contém 5 peças, das quais 2 são defeituosas. Uma peça é retirada aleatoriamente de cada caixa: I) Qual a probabilidade p de que ambas as peças não sejam defeituosas? II) Qual a probabilidade p de que uma peça seja defeituosa e a outra não? III) Se uma peça é defeituosa e a outra não, qual é a probabilidade p de que a peça defeituosa venha da caixa A?

6 6 19) Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais do que 1,80m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja mulher? 20) Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B?

7 7 Probabilidades Solução de Exercícios 1. a) P ( A ) = 10 /15 = 0,67 ou 67%. A probabilidade de ser homem é de 67% b) P ( A ) = 7 /15 = 0, 47 ou 47%. A probabilidade de ser adulto é de 47% c) P ( m e M )= 3/15 = 0, 20 ou 20%. A probabilidade de ser menor e mulher é de 20%. d) P ( H A) 5 P( H A) 15 5 / = = = = 0,71 ou 71%. A probabilidade de ser P( A) homem, sabendo que é adulto é de 71%. e) P ( m M ) 3 P( m M ) 15 3 / = = = = 0,60 ou 60%. A probabilidade de ser P ( M ) menor, dado que é mulher é de 60%. 2.

8 8 3. a) P = 3/ 36 = 0,08 ou 8%. b) P = 4 / 36 = 0,11 ou 11%. c) P = 15 / 36 = 0,42 ou 42%. A probabilidade da soma ser menor do que 4 é de 8%. Da soma ser 9 é de 11% e do primeiro resultado ser maior do que o segundo é de 42%. 4. a) A = { 5,10,15, 20, 25,30,35, 40, 45,50} p = 10 / 50 = 1/ 5 = 0,20 ou 20%. A probabilidade do número ser divisível por 5 é de 20%. b) B = { 3,13, 23,33, 43} p = 5/ 50 = 1/10 = 0,10 ou 10%. A probabilidade de terminar em 3 é de 10%. c) C = { 2,3,5, 7,11,13,17,19, 23, 29,31,37, 41, 43, 47} p = 15/ 50 = 0,30 ou 30%. A probabilidade do número ser primo é de 30%.

9 9 d) D = { 6,8,12,16,18, 24,30,32,36, 40, 42, 48} p = 12 / 50 = 0,24 ou 24%. A probabilidade do número ser divisível por 6 ou por 8 é de 24%. 5. a) A = { 2, 4, 6,8,10,12,14,16,18, 20, 22, 24} p = 12 / 25 = 0,48 ou 48%. A probabilidade do número ser par é de 48%. b) B = { 1,3,5, 7,9,11,13,15,17,19, 21, 23, 25} p = 13/ 25 = 0,52 ou 52%. A probabilidade do número ser ímpar é de 52%. c) C = { 12,14,16,18, 20, 22, 24} p = 7 / 25 = 0, 28 ou 28%. A probabilidade do número ser par e maior do que 10 é 28%. d) D = { 5, 7,11,13,17,19, 23} p = 7 / 25 / 0,28 ou 28%. A probabilidade do número ser primo e maior do que 3 é 28%. e) E = { 15}

10 10 p = 1/ 25 = 0,04 ou 4%. A probabilidade do número ser múltiplo de 3 e 5 é 4%. 6. a) BP ou PB = 2 = = 0,60 ou 60% = + = + = = 0, 40 ou 40% b) BB ou PP P ( BB) P( PP) A probabilidade de ser uma de cada cor é de 60%. A probabilidade de serem ambas da mesma cor é de 40%. 7. a) p = 2 = = 0, 48 ou 48% b) p = + = = = 0,52 ou 52% A probabilidade de ser uma de cada cor é de 48%. A probabilidade de serem ambas da mesma cor é de 52%. 8.

11 11 a) p (nenhuma defeituosa) = p ( ppp) = = = = 0, 26 ou 26% b) p (uma defeituosa) = P ( dpp) + P ( pdp) + P ( ppd ) p = 3 = = 0, 49 ou 49% c) P (pelo menos uma defeituosa) = P (1 defeituosa) + P (2 defeituosas) + P (3 defeituosas) = 1 P (nenhuma defeituosa) = 1 P (ppp) = 1 = = 0, 736 ou 74% A probabilidade de que nenhuma seja defeituosa é de 26%. A probabilidade de exatamente uma ser defeituosa é de 49%. A probabilidade de que pelo menos uma seja defeituosa é de 74%. 9. P (1 parafuso e 1 porca) = P ( Pa Po ) = P (1 parafuso e 2ª porca) + P (1ª porca 2 parafuso) = 2 P (1 parafuso 2 ª porca) = = = = 0,60 ou 60%. A probabilidade de uma ser parafuso e a outra porca é de 60%. 10.

12 12 P (3 não defeituosas) = P (3 perfeitas) = ( ) P ppp = = 14 = 0, ou 25%. A probabilidade de todas as três peças serem defeituosas é de 25%. 11. P ( Mo Mo Mo ) = = = 0,39 = 39% A probabilidade de serem todos meninos é de 39%. 12. a) P (não ter defeitos graves) = P (Ser boa ou apenas defeituosa) = P ( B D) = P( B) + P ( D) = + = = = 0,88 ou 88% b) P (não ter defeitos) = P (ser boa) = 10 = 5 = 0,62 ou 62% 16 8 c) P (ou seja boa ou tenha defeitos graves) = P ( B Dg ) = P( B) P ( Dg ) = + = = = 0,75 ou 75%

13 13 A probabilidade de que a peça não tenha defeitos graves é de 88%. A probabilidade de que a peça não tenha nenhum defeito é de 62%. A probabilidade de que ou ela seja boa ou tenha defeitos graves é de 75%. 13. P (defeituosa) = ( ) P D = + + = = + + = = 0,314 ou 31, 4 ou 31% A probabilidade de que a lâmpada seja defeituosa é de 31%. 14. P ( D ) = 0,50 0,03 + 0,30 0,04 + 0,20 0,05 = 0,037 ou 4% A probabilidade da peça ser defeituosa é de 4%.

14 P( A ED) ( / ) = ; P ( A ED) 2 P ( ED) P A ED = = = 0, ; P ( ED ) = + + = + + = P ( ED ) = 0, , , = 0, , P ( A/ ED ) = = 0, 2971 ou 30% 0, A probabilidade de que os dois professores tenham vindo do departamento A é de 30%.

15 P (duas da mesma cor) = P ( BB ou VV ou PP ) = P ( BB) + P( VV ) P( PP) = + + = = = 0,324 ou 32% A probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor é de 32%. 17. P (duas pretas e uma vermelha) = P ( PPV ou PVP ou VPP ) = = 3 P( PPV ) = 3 = = 0, 225 ou 22% A probabilidade de terem sido extraídas duas bolas pretas e uma vermelha é de 22%.

16 Ι. P (não defeituosas) = ( ) 5 3 P PP = = 0,375 ou 38%. A probabilidade de 8 5 que ambas as peças sejam não defeituosas é de 38%. ΙΙ. P (uma defeituosa e outra perfeita) = P ( DP ou PD ) = = = = 0, 475 ou 48%. A probabilidade de que uma peça seja defeituosa e a outra não é de 48%. ΙΙΙ. P (uma peça ser defeituosa e vir da caixa A sabendo que a outra é perfeita) = P ( DA / DP )

17 P( DA DP ) P ( DA DP) = = 8 5 = = = 0, 474 ou 47% P ( DP) A probabilidade de que, se uma peça é defeituosa e a outra não, a peça defeituosa tenha vindo da caixa A é de 47%. 19. P (ser mulher sabendo que tem + de 1,80m) = P ( M / + 1,80 ) = ( + 1,80 ) P ( + 1,80 ) P M 0,04 0,02 0,0008 P ( M / + 1,80 ) = = = 0, 21 ou 21%. A 0,60 0,05 + 0, 40 0,02 0,038 probabilidade de que o estudante seja mulher, com mais de 1,80m de altura, é de 21%. 20. P (Ter vindo da máquina B sabendo que é defeituosa) = P ( B / D ) = ( D) P( D) P B

18 18 ( / ) P B D 0,641 ou 64%. ( D) P( D) P B 0,05 0,05 0, = = = = = 0, 40 0,03 + 0,50 0, ,10 0,02 0, A probabilidade de que a peça, sendo defeituosa, tenha vindo da máquina B é de 64%. - os exercícios n 0 01 ao n 0 20, tem como Fonte Bibliográfica:Gonçalves, Cristina F. Fidelis. Estatística Londrina: Ed. UEL, 2002.