Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

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1 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aulas passadas Espaço Amostral Álgebra de Eventos Axiomas de Probabilidade Análise Combinatória Aula de hoje Probabilidade Condicional Independência de Eventos Teorema da Probabilidade Total Lei de Bayes Variáveis Aleatórias PMF, CDF

2 Probabilidade Condicional Relacionamento entre a ocorrência de um evento e outros eventos S Evento A Evento B Qual a probabilidade do evento A dado que o evento B ocorreu? Dado que o resultado do experimento aleatório é elemento de B, qual a probabilidade deste ser também elemento de A? Espaço amostral passa a ser o evento B

3 Probabilidade Condicional Definição: Probabilidade de A dado B P [ A B ]= P [ A B] P[ B]

4 Eventos Independentes Sejam A e B dois eventos sobre o mesmo espaço amostral S A e B são independentes se P [ A B ]=P [ A]P [B ] Note que se A e B são independentes, então P [ A B ]= P [ A B ] P[ B] = P [ A]P [B ] P [B ] =P [ A] 2 eventos são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro

5 Regra do produto (1) Teorema : Considere um conjunto finito de eventos tais que os eventos condicionais A i / A 1 A 2... A i 1 Temos que: A 1, A 2,..., A n tenham probabilidades positivas.

6 Regra do produto (2) Para demonstrar basta escrever: E reescrever o lado direito da equação usando a definição de probabilidade condicional:

7 Exemplo: Dado e moeda Evento A: resultado do dado é ímpar Evento B: resultado da moeda é cara Eventos A e B são independentes? S={(1,Ca),(1,Co),(2,Ca),(2,Co),(3,Ca),(3,Co), (4,Ca),(4,Co),(5,Ca),(5,Co),(6,Ca),(6,Co)} A B P [ A B ] = {(1,Ca), (3,Ca), (5,Ca) } = 3/12 = 1/4 P[A] = 1/2, P[B] = 1/2 6 resultados em 12 P [ A B]=P [ A] P[ B]=1/4 P [ A/ B]=P[ A B]/P [ B]=1/2 3 resultados em 6 A e B são independentes!

8 Exemplo: Dois dados Evento A : os dois dados são pares Evento B : soma dos dados é menor que 7 A e B são independentes? A = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6),(6,2), (6,4), (6,6)} B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)} P [ A B ] A B = 3/36 = 1/12 = {(2,2), (2,4), (4,2) } P[A] = 9/36=1/4, P[B]=15/36=5/12 P [ A B ] P [ A]P [B ] A e B não são independentes!

9 Eventos: Mutuamente Exclusivos x Independentes Experimento Aleatório: Jogar um dado e uma moeda S={(1,Ca),(1,Co),(2,Ca),(2,Co),(3,Ca),(3,Co), (4,Ca),(4,Co),(5,Ca),(5,Co),(6,Ca),(6,Co)} Evento A: resultado da moeda é cara P(A) = 1/2 Evento B: resultado da moeda é coroa P(B) = 1/2 Eventos A e B são independentes ou mutuamente exclusivos? A B= A e B são mutuamente exclusivos!

10 Eventos: Mutuamente Exclusivos x Independentes Evento A: resultado do dado é maior do que 2 Evento B: resultado da moeda é cara S={(1,Ca),(1,Co),(2,Ca),(2,Co),(3,Ca),(3,Co), (4,Ca),(4,Co),(5,Ca),(5,Co),(6,Ca),(6,Co)} A B = { (3,Ca), (4,Ca), (5,Ca), (6,Ca)} 8 resultados em 12 P [ A B] = 4/12 = 1/3 P[A] = 8/12 = 2/3, P[B] = 1/2 P [ A B]=1/3=P [ A]P [ B]=2 /6 P [ A/ B]=P[ A B]/P [ B]=2 /3 A e B são independentes! 2 resultados em 3

11 Condicionamento Relacionar eventos para calcular probabilidade Sejam A e B dois eventos, temos que P [ A]=P [ A B A B ] = P [ A B] P [ A B] definição de conjuntos mutuamente exclusivos = P [ A B ]P [ B] P[ A B] P [B ] Definição de probabilidade condicional

12 Teorema da Probabilidade Total Generalização do conceito Seja B i (i=1,...,n) uma partição do espaço amostral com B i eventos mutuamente exclusivos, cuja união é igual ao espaço amostral B 1 B 2 BA 3... B n-1 B n Considere o evento A probabilidade de A ocorrer (em função de B i )? i= n P [ A]= i =1 P [ A B i ] P [ B i ] Teorema da Probabilidade Total

13 Lei de Bayes Permite o cálculo da probabilidade de um evento B condicionado a um evento A, dado que se conhece o inverso Uso do teorema da probabilidade total P [ B i A] P [ B i / A]= ( P [ A/ B i] P [ B i ]) i =n ( i =1 P [ A B i ] P [ B i ]) P [ A]

14 Exemplo 1 Técnica (imperfeita) para acusar defeitos em processadores 95% verdadeiro positivo 5% falso positivo 1% dos processadores possuem defeitos Qual a probabilidade de um processador ser defeituoso dado que o teste foi positivo? Eventos D : processador defeituoso T : resultado do teste é positivo teste acusa defeito quando processador está defeituoso teste acusa defeito quando processador está ok

15 Exemplo 1 D : processador defeituoso T : resultado do teste é positivo Pergunta: P[D T]? P [D]=0.01 P [T D]=0.95 P [T D]=0.05 P [D T ]= P[ D T ] P [T ] = P[T D] P[ D] P [T ] P [T ]=P [T D] P [D] P [T D] P [D]

16 Exemplo 2 Em um teste de múltipla escolha, ou um estudante sabe a resposta ou arrisca uma das alternativas. Seja p a probabilidade do estudante saber a resposta e1 p a probabilidade do estudante arriscar adivinhá la. Assuma que um estudante que arrisca a resposta, acerta a resposta correta com probabilidade 1/m, onde m é o número de alternativas de múltipla escolha. Qual é a probabilidade condicional de que um estudante soubesse a resposta da questão, dado que ele respondeu corretamente? => Primeiro passo: definição dos eventos => Segundo passo: definição da equação a ser usada

17 Exemplo 2 Evento C: o estudante responde corretamente Evento K: o estudante sabe a resposta Se m=5 e p=1/2, então a probabilidade de um estudante saber a resposta de uma questão que ele respondeu corretamente é 5/6.

18 Exemplo 3 Vamos supor que vamos selecionar 3 cartas em um baralho comum (com 52 cartas) ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de retirarmos 3 reis? Evento Ai={i ésima carta retirada é rei}, onde i=1,2,3 Queremos calcular P( A 1 A 2 A 3 ) Pela regra do produto, temos:

19 Exemplo 4 Um canal de comunicação transporta dois tipos de sinais, denotados por 0 e 1. Devido ao ruido, um 0 transmitido pode ser recebido como 1 e 1 como 0. Para um dado canal, assuma a probabilidade de 0.94 que um 0 transmitido seja corretamente recebido como 0 e a probabilidade de 0.91 que um 1 seja recebido como 1. Assuma também a probabilidade 0.45 de transmitir um 0. Determine: Probabilidade que um 1 seja recebido Probabilidade que um 0 seja recebido Probabilidade que um 1 foi transmitido dado que um 1 foi recebido Probabilidade que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi recebido Probabilidade de um erro

20 Definição de eventos: T 0 R 0 0 é transmitido 0 é recebido 1 é transmitido T 1 =T 0 R 1 =R 0 1 é recebido Exemplo 4

21 Exemplo 4 Perguntas: Probabilidade que um 1 seja recebido Probabilidade que um 0 seja recebido Probabilidade que um 1 foi transmitido dado que um 1 foi recebido Probabilidade que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi recebido Probabilidade de um erro P(R 1 ) P(R 0 ) P(T 1 / R 1 ) P(T 0 /R 0 ) P(R 1 /T 0 )P(T 0 )+P(R 0 /T 1 )P(T 1 )

22 Exemplo 4 Sabe se que: P(R 0 /T 0 )=0.94 P(R 1 /T 0 )=1 P(R 0 /T 0 )=0.06 P(R 1 /T 1 )=0.91 P(R 0 /T 1 )=1 P(R 1 /T 1 )=0.09 P(T 0 )=0.45 P(T 1 )=1 P(T 0 )=0.55 Cálculo de P(R 1 ) e P(R 0 ) P(R 1 )=P(R 1 /T 1 )P(T 1 )+P(R 1 /T 0 )P(T 0 ) = P(R 0 )=1 P(R 1 )=0.4455

23 Exemplo 4 Sabe se que: P(R 0 /T 0 )=0.94 P(R 1 /T 0 )=1 P(R 0 /T 0 )=0.06 P(R 1 /T 1 )=0.91 P(R 0 /T 1 )=1 P(R 1 /T 1 )=0.09 P(T 0 )=0.45 P(T 1 )=1 P(T 0 )=0.55 Cálculo de P(T 1 /R 1 ) P(T 1 / R 1 )= P(T 1 R 1 ) P(R 1 ) = P(R 1/T 1 )P(T 1 ) = P(R 1 ) =0.9026

24 Exemplo 4 Sabe se que: P(R 0 /T 0 )=0.94 P(R 1 /T 0 )=1 P(R 0 /T 0 )=0.06 P(R 1 /T 1 )=0.91 P(R 0 /T 1 )=1 P(R 1 /T 1 )=0.09 P(T 0 )=0.45 P(T 1 )=1 P(T 0 )=0.55 Cálculo de P(T 0 /R 0 ) P(T 0 / R 0 )= P(T 0 R 0 ) P(R 0 ) = P(R 0/T 0 ) P(T 0 ) P(R 0 ) = =0.9494

25 Exemplo 4 Sabe se que: P(R 0 /T 0 )=0.94 P(R 1 /T 0 )=1 P(R 0 /T 0 )=0.06 P(R 1 /T 1 )=0.91 P(R 0 /T 1 )=1 P(R 1 /T 1 )=0.09 P(T 0 )=0.45 P(T 1 )=1 P(T 0 )=0.55 Cálculo de P( Erro ) P(Erro)=P(R 1 /T 0 )P(T 0 )+P(R 0 /T 1 ) P(T 1 ) =0.0765

26 Variáveis Aleatórias Necessidade de expressar eventos de forma precisa Interesse não no resultado aleatório, mas numa função do resultado Idéia: Mapear eventos em números reais! A B C D E reais

27 Exemplo: 1 dado Considere um dado Ganha 10 se o resultado é 6, zero se o resultado é 4 ou 5, e perde 5 se o resultado é 1, 2 ou

28 Definição de V.A. Uma variável aleatória X é uma função sobre um espaço amostral S que associa um número real a cada elemento de S v.a. é uma função X : S R imagem de X é o espaço amostral (discreto ou contínuo) função não precisa ser bijetora (um para um)

29 Exemplo: 2 dados Considere dois dados (vermelho e preto) Espaço amostral: S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),... } Seja X uma v.a. que representa a soma dos dois dados X i, j =i j Inversa de X eventos que levam a um certo valor de X X = 4 : {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

30 Função probabilidade de massa (pmf) Associar probabilidade a valores de uma v.a. Seja X uma v.a. (discreta) Qual a probabilidade de X = x? {s X s =x } Conjunto de eventos elementares que são mapeados no valor x p X x =P [ X =x]=p [{s X s =x }]= X s =x P [s] notação de pmf (probability mass function)

31 Propriedades da função probabilidade de massa onde xi são todos os valores que a variável aleatória pode assumir

32 Exemplo: 2 dados Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados Defina a pmf de X p X x =P [ X =x] Qual é o domínio de X (valores que X pode assumir)? p 2 =P [ X =2] X p 3 =P [ X =3] X p 4 =P [ X =4] x... = 1/36 = 2/36 = 3/36 X=2 : {(1,1)} X=3 : {(1,2), (2,1)} X=4 : {(1,3), (2,2), (3,1)}

33 pmf, graficamente Exemplo: 2 dados P [X = x] x (valor que X pode assumir)

34 Função distribuição cumulativa (cdf) Probabilidade cumulativa (ao invés de pontual) Dada v.a. X, temos F X x =P[ X x]=p [{s X s x }]= X s x notação da cdf (cumulative distribution function) P [s] F X (x) é não decrescente Limite quando x tende a infinito é 1

35 Propriedades da função distribuição cumulativa