Apontamentos de Introdução às Probabilidades e à Estatística

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1 i Índice 1. Introdução Enquadramento e objectivos Organização Noções base da Estatística Distinção entre população e amostra Amostragem Unidade estatística e dados estatísticos Classificação dos dados segundo o tipo de escala Metodologia para a resolução de um problema estatístico Exercícios propostos Estatística Descritiva Formas de representação tabular e gráfica Tabela de frequências para dados univariados Dados qualitativos ou quantitativos discretos Dados quantitativos contínuos Representação gráfica de dados univariados Gráfico circular Gráfico de barras Gráfico de frequências acumuladas Histograma Polígono de frequências Polígono de frequências acumuladas Caixa de bigodes Tabela de contingência para dados bivariados Representação gráfica de dados bivariados Exemplos Dados qualitativos na escala nominal Dados qualitativos na escala ordinal Dados quantitativos discretos Dados quantitativos contínuos 34

2 ii Dados bivariados Medidas descritivas Medidas de localização Tendência central Média aritmética Moda Mediana Comparação entre a média, mediana e moda Tendência não central Quantis Medidas de dispersão Medidas absolutas Amplitude total Amplitude inter-quartil Desvio médio absoluto Variância Desvio-padrão Medidas relativas Coeficiente de dispersão Coeficiente de variação Momentos Momento de ordem r em relação a um valor fixo V Relação entre os momentos Medidas de assimetria Coeficiente de assimetria de Fisher Grau de assimetria de Pearson Grau de assimetria de Bowley Outros coeficientes de assimetria Medidas de achatamento Coeficiente de kurtosis Coeficiente percentil de kurtosis Outros coeficientes de kurtosis Covariância e correlação Covariância Coeficiente de correlação de Pearson Coeficiente de correlação de Spearman Medidas de concentração Curva de Lorenz 59

3 iii Índice de concentração de Gini Exercícios resolvidos Dados qualitativos na escala nominal Dados qualitativos na escala ordinal Dados quantitativos discretos Dados quantitativos contínuos Dados bivariados Exercícios propostos Introdução às probabilidades Conceitos da teoria das probabilidades Álgebra dos acontecimentos Definições Terminologia Exemplos Propriedades das operações Definição de Probabilidade Definição clássica. A priori. W finito Definição frequencista. A posteriori Definição subjectiva Axiomas da teoria das probabilidades Algumas propriedades matemáticas das probabilidades Probabilidade condicionada e independência Probabilidade condicionada Independência Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes Definição de partição Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Exercícios Resolvidos Análise Combinatória 105

4 iv Arranjos e permutações Combinações Exemplos Exercícios propostos Variáveis aleatórias Noção de variável aleatória (v. a.) V. a. unidimensionais V. a. discretas Função de probabilidade Função de distribuição Exemplo V. a. contínuas Função de densidade de probabilidade Função de distribuição Exemplo V. a. bidimensionais discretas Função de probabilidade conjunta Função de distribuição conjunta Função de probabilidade marginal Função de probabilidade condicionada Independência de variáveis aleatórias Exemplo Parâmetros de variáveis aleatórias Média ou Valor esperado Variância e Desvio padrão Covariância Coeficiente de correlação linear Momentos Exemplos V. a. discreta 131

5 v V. a. bidimensional discreta Exercícios propostos Principais distribuições de probabilidade Distribuições discretas Distribuição Uniforme Distribuição de Bernoulli e Binomial Prova de Bernoulli Distribuição de Bernoulli Distribuição Binomial Distribuição Multinomial Distribuição Hipergeométrica Distribuição Poisson Aproximação da distribuição Binomial à Poisson Exemplos Distribuição Uniforme discreta Distribuição Binomial Distribuição Multinomial Distribuição Hipergeométrica Distribuição Poisson Distribuições contínuas Distribuição Uniforme Distribuição Normal Correcção de continuidade Aproximação da distribuição Binomial pela Normal Aproximação da distribuição Poisson pela Normal Distribuição Exponencial Distribuição Qui-quadrado Distribuição t-student Distribuição F de Snedcor Exercícios resolvidos Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação da Binomial pela Normal Aproximação da Poisson pela Normal 171

6 vi Exponencial Exercícios propostos Distribuições amostrais Teorema do limite central Distribuição da média amostral Quando a variância é conhecida Quando a variância é desconhecida Distribuição da diferença de médias amostrais Quando as variâncias são conhecidas Quando as variâncias são desconhecidas mas iguais Quando as variâncias são desconhecidas mas diferentes Distribuição da proporção amostral Distribuição da diferença de proporções amostrais Distribuição da variância amostral Distribuição do quociente de variâncias amostrais Quadro resumo Exercícios resolvidos Distribuição da média amostral Quando a variância é conhecida Quando a variância é desconhecida Distribuição da diferença de médias amostrais Quando as variâncias são conhecidas Quando as variâncias são desconhecidas Distribuição da proporção amostral Distribuição da diferença de proporções amostrais Distribuição da variância amostral Distribuição do quociente de variâncias amostrais Exercícios propostos 200

7 vii Soluções 205 Bibliografia 215 Anexos 217 Distribuição Normal Padrão 217 Distribuição T-Student 218 Distribuição Qui-Quadrado 219 Distribuição F-Snedcor Fm, n 221