Revisão de distribuições de probabilidades contínuas (Capítulo 6 Levine)

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1 Revisão de distribuições de probabilidades contínuas (Capítulo 6 Levine) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-1

2 Objetivos: Neste capítulo, você aprenderá: Calcular probabilidades a partir da distribuição normal Utilizar o gráfico da probabilidade normal para determinar se um conjunto de dados está distribuído aproximadamente nos moldes da distribuição normal Calcular probabilidades a partir da distribuição uniforme Calcular probabilidades a partir da ditribuição exponencial Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-2

3 Distribuições de Probabilidades Contínuas Uma variável aleatória contínua é uma variável que pode assumir qualquer valor em um continuum (pode assumir um no. incontável de valores) Espessura de um item Tempo necessário para concluir uma tarefa Temperatura de uma solução Peso As variáveis acima pode assumir qualquer valor, dependendo apenas do nível de precisão com que serão medidas. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-3

4 Variável Aleatória Contínua Para v.a. contínua não faz sentido estabeler um par entre xi e p(xi) A probabilidade de ocorrer um xi específico é zero A distribuição de probabilidades é denominada função densidade de probabilidade que é uma função não negativa A probabilidade de ocorrer valores entre a e b é definida pela área sob a curva entre os valores a e b. f(x) P(a X b) (Note que a probabilidade de qualquer valor individual é zero) a b

5 Distribuição Normal Propriedades tem o formato de sino Simétrica Média, Mediana e Moda são iguais a posição é caracterizada pela média, μ a dispersão é caracterizada pelo desviopadrão, σ a variável aleatória possui amplitude infinita: - a + caso limite para diversas outras distribuições fundamental para a inferência estatística definida por dois parâmetros (μ, σ) f(x) μ σ Média = Mediana = Moda Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-5

6 Distribuição Normal Função Densidade A fórmula para a função densidade de probabilidade da distribuição Normal é f(x) 1 e 2π 1 (Xμ) 2 Onde e = constante matemática aproximada para 2,71828 π = constante matemática aproximada para 3,14159 μ = média da população σ = desvio padrão da população X = qualquer valor da variável contínua, em que - < X < + Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-6 2

7 Distribuição Normal Forma f(x) B A C X Variando os parâmetros μ e σ, obtemos diferentes distribuições normais Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-7

8 Distribuição Normal Forma f(x) Mudando μ a distribuição move-se para a direita ou esquerda. σ Mudando σ a dispersão é aumentada ou diminuída. μ X Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-8

9 Distribuição Normal Padrão Qualquer distribuição normal (com qualquer combinação de média e desvio padrão) pode ser transformada em uma distribuição normal padrão (Z). Necessário transformar X unidades em Z unidades. A distribuição normal padrão tem média 0 e desvio padrão igual a 1. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-9

10 Distribuição Normal Padrão Para converter qualquer variável aleatória normal, X, em uma variável aleatória normal padronizada, Z, subtrai-se a média de X e divide-se pelo desvio padrão: Z X σ μ Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-10

11 Distribuição Normal Padrão: Função Densidade de Probabilidade A fórmula da função densidade de probabilidade normal padrão é: f(z) 1 2π e Z 2 2 Onde: e = constante matemática aproximada para 2,71828 π = constante matemática aproximada para 3,14159 Z = qualquer valor da distribuição normal padrão Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-11

12 Distribuição Normal Padrão Forma Também conhecida como distribuição Z Media é 0 Desvio Padrão é 1 f(z) 1 0 Z Valores acima da média têm valores-z positivos, valores abaixo da média têm valores-z negativos Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-12

13 Distribuição Normal Padrão Exemplo Se X é uma variável aleatória normalmente distribuída com média 100 e desvio padrão igual a 50, o valor-z para um valor X = 200 é Z X μ σ Isto quer dizer que X = 200 está dois desvios-padrão (2 incrementos de 50 unidades) acima da média 100. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-13

14 Distribuição Normal Padrão Exemplo X (μ = 100, σ = 50) 2.0 Z (μ = 0, σ = 1) Observe que a distribuição é a mesma, somente a escala é diferente. Nós podemos expressar o problema na unidade original (X) ou em unidades padronizadas (Z) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-14

15 Probabilidades na Distribuição Normal A probabilidade, como em qualquer distribuição contínua, é medida pela área sob a curva f(x) P(a X b) (Observe que a probabilidade de ocorrência de qualquer valor individual é zero) a b Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-15

16 Normal Probabilities A área total sob a curva é 1,0, e a curva é simétrica, então, metade está acima da média e metade está abaixo da média. f(x) P( X μ) 0.5 P(μ X ) P( X ) 1.0 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-16

17 Tabelas da Distribuição Normal As tabelas da Normal Padronizada costumam dar a probabilidade de valores menores do que Z (ou seja, do negativo infinito até Z) Exemplo: P(Z < 2.00) = Z Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-17

18 Tabelas da Distribuição Normal A coluna dá o valor de Z na segunda casa decimal Z A linha mostra o valor de Z para a primeira casa decimal O valor da tabela dá a probabilidade de que Z esteja entre Z = e Z igual ao valor desejado. P(Z < 2.00) = Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-18

19 Encontrando Probabilidades Normais Procedimento Para encontrar a P(a < X < b) quando X é distribuído normalmente: Especifique a distribuição normal do seu problema em termos da variável X. Transforme os valores-x em valores-z. Use as tabelas da distribuição Normal padrão. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-19

20 Encontrando Probabilidades Normais Exemplo Seja X uma variável aleatória que represente o tempo (em segundos) para fazer o download de um arquivo na internet. Suponha que X tenha distribuição normal com média 8,0 e desvio-padrão 5,0 Encontre P(X < 8,6) X Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-20

21 Encontrando Probabilidades Normais Exemplo Supondo que X seja normal com média 8,0 e desviopadrão 5,0. Encontre a P(X < 8,6). Z X μ σ μ = 8 σ = 10 μ = 0 σ = X Z P(X < 8.6) P(Z < 0.12) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-21

22 Encontrando Probabilidades Normais Exemplo Tabela da Distribuição Normal Padronizada (Extrato) Z P(X < 8.6) = P(Z < 0.12).5478 μ = 0 σ = Z Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-22

23 Encontrando Probabilidades Normais Exemplo Encontrando P(X > 8.6) P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = P(Z 0.12) = = = Z Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-23

24 Encontrando Probabilidades Normais Entre dois valores Suponha X uma v.a. com distribuição normal com média 8,0 e desvio padrão 5,0. Encontre P(8 < X < 8,6) Calcule os valores Z: Z X μ σ X Z X μ σ P(8 < X < 8.6) Z = P(0 < Z < 0.12) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-24

25 Encontrando Probabilidades Normais Entre dois valores Tabela da Distribuição Normal Padronizada (Extrato) Z P(8 < X < 8.6) = P(0 < Z < 0.12) = P(Z < 0.12) P(Z 0) = = Z Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-25

26 Dada a Probabilidade Normal, Encontrar o valor X Seja X uma v.a. que represente o tempo (em segundos) para fazer o download de um arquivo na Internet. Suponha que X siga uma distribuição Normal com média 8,0 e desvio padrão 5,0 Encontre X tal que 20% dos tempos para download sejam inferiores a X..2000? 8.0? 0 X Z Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-26

27 Dada a Probabilidade Normal, Encontrar o valor X Primeiro, encontre o valor-z correspondente à probabilidade conhecida usando a tabela. Z ? X Z Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-27

28 Dada a Probabilidade Normal, Encontrar o valor X A seguir, converta o valor-z em valor-x usando a fórmula. X - Z X - Z X μ 8,0 ( 0,84)5,0 3,80 Então 20% dos tempos para fazer o download são menores do que 3,80 segundos. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-28 Zσ

29 Avaliando a Normalidade É importante saber avaliar o quão bem a distribuição dos dados pode ser aproximada por uma distribuição normal. Dados normalmente distribuídos deveriam seguir as propriedades teóricas da distribuição Normal: A distribuição Normal é em forma de sino (simétrica) sendo a média igual à mediana. As regras empíricas aplicam-se à distribuição normal. A amplitude interquartil é igual a 1,33 desviospadrão. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-29

30 Avaliando a Normalidade Construa gráficos Para conjuntos de dados de tamanho pequeno ou moderado, construa uma disposição ramo e folha e um box-plot. Eles parecem simétricos? Para conjuntos grandes de dados, construa um histograma. Ele tem a forma de sino? Calcule as estatísticas descritivas A média, mediana e moda têm valores semelhantes? A amplitude interquartil é aproximadamente igual a 1.33 σ? A amplitude é aproximadamente igual a 6 σ? Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-30

31 Avaliando a Normalidade Observe a distribuição do conjunto de dados Aproximadamente 2/3 dos valores se posicionam entre a média aritmética e ± 1 desvio-padrão? Aproximadamente 80% dos valores se posicionam entre a média aritmética e ± 1.28 desvio-padrão? Aproximadamente 95% dos valores se posicionam entre a média aritmética e ± 2 desvios-padrão? Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-31

32 Distribuição Uniforme A distribuição uniforme é uma distribuição de probabilidade que tem probabilidades iguais para todos os possíveis resultados da variável aleatória. Todos os valores do espaço amostral têm a mesma probabilidade de ocorrer. Por causa disso ela é também chamada de distribuição retangular Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-32

33 Distribuição Uniforme A função densidade de probabilidade da Distribuição Uniforme : f(x) = b 1 a se a X b 0 caso contrário Onde: f(x) = valor da função densidade para qualquer valor de X a = valor mínimo de X b = valor máximo de X Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-33

34 Distribuição Uniforme A média, ou valor esperado, de uma variável que segue a distribuição uniforme é : μ a 2 b O desvio-padrão é : σ (b - a) 12 2 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-34

35 Distribuição Uniforme Exemplo: encontre os parâmetros (média e desvio padrão) de uma v.a. que segue a distribuição uniforme e assume valores entre 2 X 6 : 1 f(x) = 6-2 =.25 for 2 X 6 f(x).25 μ a b X σ (b - a) 12 2 (6-2) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-35

36 Distribuição Exponencial Usada para modelar o tempo entre duas ocorrências de um evento Muito utilizada em Teoria das Filas para estudar o tempo entre duas chegadas Exemplos: Tempo entre a chegada de clientes a um supermercado Tempo entre chamadas telefônicas Tempo entre transações em um terminal ATM É uma distribuição assimétrica à direita que se extende de zero até o infinito positivo Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-36

37 Distribuição Exponencial Definida por um único parâmetro, sua média λ (lambda) A probabilidade de que o tempo de chegada seja menor que um tempo especificado X é P(tempoantes da próxima chegada X) 1e λx onde e = constante matemática aproximadamente igual a λ = a média aritmética do número de chegadas por unidade X = qualquer valor da variável contínua, em que 0 < X < Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-37

38 Distribuição Exponencial Exemplo: Clientes chegam a um balcão de atendimento a uma taxa de 15 por hora. Qual a probabilidade de que o tempo de chegada entre dois clientes consecutivos seja menor do que 3 minutos? A média do número de chegadas por hora é 15, então λ = 15 3 minutos é igual a 0,05 horas P(tempo entre chegadas <.05) = 1 e -λx = 1 e -(15)(0,05) = 0,5276 Então há 52,76% de probabilidade de que o tempo entre chegadas sucessivas de clientes seja menor do que 3 minutos Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-38