Distribuição Normal. Prof a Dr a Alcione Miranda dos Santos. Abril, 2011

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1 Distribuição Normal Prof a Dr a Alcione Miranda dos Santos Universidade Federal do Maranhão Programa de Pós-Graduação em Saúde Coletiva alcione.miranda@gmail.com Abril, / 18

2 Sumário Introdução Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão Cálculos de probabilidades 2 / 18

3 Introdução Muitas variáveis estudadas na área biomédica apresentam distribuição simétrica (os valores centrais são mais freqüentes e os valores extremos mais raros). Na prática, se o coeficiente de assimetria de Pearson está situado no intervalo (-0,5;0,5), considera-se a distribuição aproximadamente simétrica. Uma distribuição simétrica típica é a distribuição normal. 3 / 18

4 Introdução Por que é importante que as variáveis possam ser descritas por uma distribuição normal? Motivo é simples: Se as variáveis respeitam uma distribuição normal, pode-se aplicar a grande maioria dos testes e métodos estatísticos conhecidos. tem-se maior facilidade! Variáveis que não têm distribuição normal podem ser submetidas a transformações (raiz quadrada, logaritmo). 4 / 18

5 Distribuição Normal Exemplo: Observamos medidas do tórax (em polegadas) de soldados escoceses. 5 / 18

6 Propriedades de Distribuição Normal A distribuição é simétrica: Média = mediana = moda. Os parâmetros µ (média) e σ 2 (variância) definem completamente uma curva normal. Notação: X N(µ, σ 2 ) Na distribuição normal com média µ e desvio padrão σ: 68% das observações estão a menos de ±σ da média µ. 95% das observações estão a menos de ±2σ de µ. 99,5% das observações estão a menos de ±3σ de µ. 6 / 18

7 Propriedades de Distribuição Normal Exemplo: Considere que o nível de glicose em pessoas sadias tenha distribuição normal, com média igual a 90 mg e desviopadrão 5 mg. Então, pode-se concluir que: Aproximadamente 2/3 ( 68%) da população de indivíduos sadios possuem nível de glicose entre (µ σ) = 90-5 = 85 mg e (µ + σ) = 90+5 = 95 mg. Grande parte das pessoas sadias ( 95%) nível de glicose entre (µ 2σ) = 90-2(5) = 80 e (µ + 2σ) = 90+2(5) = 100 mg. Praticamente todos ( 99, 7%) os indivíduos da população tem valores entre (µ 3σ) = 75 e (µ + 3σ) = 105 mg. 7 / 18

8 Propriedades de Distribuição Normal A distribuição Normal depende dos parâmetros µ e σ 2. Figura: Curvas Normais com mesma variância, mas médias diferentes (µ 2 > µ 1 ). 8 / 18

9 Propriedades de Distribuição Normal Influência de σ na curva Normal. Figura: Curvas Normais com mesma média, mas variâncias diferentes (σ 2 2 > σ2 1 ). 9 / 18

10 Distribuição Normal Padrão Caso especial da distribuição Normal: média=0 e variância=1 Notação: Z N(0, 1). Para transformar uma variável X N(µ, σ 2 ) para uma variável normal padrão (padronização ou normalização), basta fazer o cálculo: Z = X µ σ Propriedade dessa distribuição: Podemos calcular probabilidades usando a tabela da distribuição normal padronizada. 10 / 18

11 Padronização: exemplo Seja X N(5, 100). Vamos padronizar o valor 6,2. Z = X µ σ = 6, = 0, / 18

12 Cálculos de probabilidades Para variáveis aleatórias com distribuição normal, as probabilidades são representadas pelas áreas sob a curva normal. 12 / 18

13 Cálculos de probabilidades Área total sob a curva é igual a 1. A área em vermelho é igual a probabilidade da variável X ser maior do que 1. A área em azul é igual a Prob( 1 < X < 0). Áreas são obtidas em tabelas ou calculadas em computador. 13 / 18

14 Cálculos de probabilidades Cálculo da área entre dois números: Seja X N(5, 100), vamos calcular P(2, 9 X 7, 1). Primeiramente, temos que padronizar 2, 9 e 7, 1. Assim, Z = 2, 9 5 = 0, 21 e Z = 7, 1 5 = 0, / 18

15 Como usar a tabela da normal padrão? As propriedades que seguem podem ser deduzidas da simetria da densidade em relação à média 0, e são úteis na obtenção de outras áreas não tabuladas. (i) P(Z > z) = 1 P(Z < z) (ii) P(Z < z) = P(Z > z) (iii) P(Z > z) = P(Z < z) 15 / 18

16 Como usar a tabela da normal padrão? Vamos determinar a P(Z < 1, 25). Temos que: P(Z < 1, 25) = P(Z > 1, 25) Para determinar a probabilidade de z ser superior a um valor dado, subtraia de 0,5 a área que você encontrar na tabela. 16 / 18

17 Como usar a tabela da normal padrão? Portanto, P(Z < 1, 25) = P(Z > 1, 25) = 0, 5 P(0 < Z < 1, 25) Percorra a coluna z, à esquerda, até z = 1, 2, depois siga na transversal até a coluna sob o número 0,05. O valor da célula, 0,3944, corresponde à área entre 0 e 1,25. Assim, P(Z < 1, 25) = P(Z > 1, 25) = 0, 5 P(0 < Z < 1, 25) = 0, 5 0, 3944 = 0, / 18

18 Exemplo Suponha QI N(100, 225) Qual a probabilidade que uma pessoa escolhida aleatoriamente tenha o QI superior a 135? Z = = 2, 33 Logo, P(Z > 2.33) = 0, 01 (tabela normal padrão) Qual a probabilidade que uma pessoa escolhida aleatoriamente tenha o QI inferior a 90? Z = = 0, 67 Assim, P(Z < 0, 67) = P(Z > 0, 67) = 0, Lembre-se da simetria Probabilidades que uma pessoa escolhida aleatoriamente tenha o QI entre dois valores também podem ser determinadas. 18 / 18