Tiago Viana Flor de Santana

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1 ESTATÍSTICA BÁSICA DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE (MODELO NORMAL) Tiago Viana Flor de Santana sala 07 Curso: MATEMÁTICA Universidade Estadual de Londrina UEL Departamento de Estatística DSTA

2 DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE (MODELO NORMAL) 1 Introdução 2 Função densidade de probabilidade 3 Esperança e variância 4 Normal padrão 5 Tabela Z 6 Para o Lar Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 2 / 23

3 Introdução A distribuição Normal conhecida também como distribuição Gaussiana, devido a Johann Carl Friedrich Gauss ( ) em seus trabalhos sobre erros de observações, é o modelo probabiĺıstico mais importante em estatística; Um dos principais motivos da importância desse modelo se deve ao Teorema Central do Limite que afirma que: ainda que os dados não sejam provenientes de uma Normal a média dos dados converge para a Normal conforme o número de dados aumenta. Além disso diversos estudos práticos tem como resultado uma distribuição Normal. E pode-se obter resultados aproximados de distribuições discretas como os modelos Binomial e Poisson, por meio da distribuição Normal. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 3 / 23

4 Função densidade de probabilidade Definição Uma v.a. X tem distribuição Normal com parâmetros µ e σ 2 se sua fdp é f (x) = [ 1 exp 1 2πσ 2 2 ( ) ] x µ 2 σ, < x < em que µ R e σ 2 > 0. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 4 / 23

5 Função densidade de probabilidade O gráfico da fdp da Normal é Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 5 / 23

6 Função densidade de probabilidade Propriedades 1 f (x) 0 para x real; 2 f (x)dx = 1 (Prove); 3 f (x) 0 quando x ± ; 4 Os pontos µ σ e µ + σ são pontos de inflexão de f ; 5 f (µ) = 0 Ponto de máximo de f ; 6 f (µ) = 1/ 2πσ 2 Valor máximo de f ; 7 f (µ + x) = f (µ x) f é simétrica em relação a x = µ. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 6 / 23

7 Esperança e variância A esperança matemática da Normal é o próprio parâmetro µ E(X ) = xf (x)dx = µ (Prove). A esperança de X 2, conhecido como segundo momento é E(X 2 ) = x 2 f (x)dx = σ 2 + µ 2 (Prove). A partir de E(X ) e E(X 2 ) obtém-se a variância de uma v.a. normalmente distribuida. Var(X ) = E(X 2 ) E 2 (X ) = σ 2 Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 7 / 23

8 Esperança e variância Exemplo Seja a v.a. X seguindo distribuição Normal com média 5 e variância 36. Calcule a média e o desvio padrão de X. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 8 / 23

9 Esperança e variância Exemplo Seja a v.a. X seguindo distribuição Normal com média 5 e variância 36. Calcule a média e o desvio padrão de X. A média é O desvio padrão é E(X ) = 5. DP(X ) = Var(X ) = 36 = 6. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 8 / 23

10 Normal padrão Fixando µ = 0 e σ 2 = 1, obtém-se a Normal padrão, cuja densidade é indicada por φ(z) = 1 exp ( 12 ) z2 2π, < z <. A notação usada para indicar que uma v.a. X tem distribuição Normal será X Normal(µ, σ 2 ). No caso da Normal padrão será Z Normal(0, 1). Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 9 / 23

11 Gráfico da Normal padrão Normal padrão f(x) x Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 10 / 23

12 Normal padrão Teorema Se X Normal(µ, σ 2 ), então a v.a. definida por Prova Z = X µ σ Normal(0, 1) ( ) X µ F Z (t) = P(Z t) = P t = P(X σt + µ) = σ σt+µ [ 1 = exp 1 ( ) ] x µ 2 dx = 2πσ 2 2 σ = t 1 exp ( 12 ) z2 dz ; z = (x µ)/σ. 2π Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 11 / 23

13 Normal padrão Portanto, se então X Normal(µ, σ 2 ) e Z = X µ σ E(Z) = 0 ; Var(Z) = 1 e Z Normal(0, 1) Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 12 / 23

14 A fda da Normal padrão é Normal padrão Φ(z) = z φ(t)dt = 1 2π z e t2 /2 dt Φ(z) 1/2 0 z Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 13 / 23

15 Tabela Z Suponha, que X Normal(µ, σ 2 ) e deseja-se calcular essa probabilidade é ilustrada abaixo b P(a < X < b) = f (x)dx a f(x) a b x Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 14 / 23

16 Tabela Z Entretanto, 1 A integral b a f (x)dx não pode ser calculada analiticamente; 2 E só pode ser obtida aproximadamente, por meio de integração numérica; 3 No entanto, para cada par (µ, σ), e (a, b) seria necessário um novo procedimento de integração numérica para o cálculo de P(a X b); 4 Usando a transformação Z = (X µ)/σ o trabalho se resume a escolha do par (a, b); 5 Em particular, admitindo o par ( b, b) ( b µ P( b X b) = P Z b µ ) Simetria = 2 P(0 Z z t ). σ σ Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 15 / 23

17 Tabela Z A probabilidade P(0 Z z t ) pode ser obtida em tabela para vários valores de z t. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 16 / 23

18 Tabela Z Exemplo Seja X Normal(3, 16). Calcule P(3 X 9, 92). Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 17 / 23

19 Tabela Z Exemplo Seja X Normal(3, 16). Calcule P(3 X 9, 92). P(3 X 9, 92) = P ( ) 3 3 9, 92 3 Z = P(0 Z 1, 73), ou seja, P(3 X 9, 92) = P(0 Z 1, 73). Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 17 / 23

20 Tabela Z Exemplo Seja X Normal(3, 16). Calcule P(3 X 9, 92). P(3 X 9, 92) = P ( ) 3 3 9, 92 3 Z = P(0 Z 1, 73), ou seja, P(3 X 9, 92) = P(0 Z 1, 73). Usando a tabela anterior obtém-se P(0 Z 1, 73) = 0, Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 17 / 23

21 Tabela Z Exemplo Seja X Normal(3, 16). Calcule P(3 X 9, 92). P(3 X 9, 92) = P ( ) 3 3 9, 92 3 Z = P(0 Z 1, 73), ou seja, P(3 X 9, 92) = P(0 Z 1, 73). Usando a tabela anterior obtém-se P(0 Z 1, 73) = 0, Portanto, P(3 X 9, 92) = 0, Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 17 / 23

22 Tabela Z Note que apesar da tabela apresentar probabilidade somente para P(0 Z z t ), Pode-se obter probabilidades mais gerais por meio das propriedades de P e da simetria da Normal. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 18 / 23

23 Tabela Z Exemplo P( 1, 73 Z 0) Simetria = P(0 Z 1, 73) P(Z 1, 73) = 1 P(Z 1, 73) = 1 [P(Z 0) + P(0 Z 1, 73)] = 1 0, 5 P(0 Z 1, 73) = 0, 5 P(0 Z 1, 73) P(Z 1, 73) Simetria = P(Z 1, 73) P(0, 47 Z 1, 73) = P(0 Z 1, 73) P(0 Z 0, 47) Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 19 / 23

24 Tabela Z Exemplo Os depósitos efetuados no Banco da Ribeira durante o mês de Janeiro são distribuídos normalmente, com média de $10 000, 00 e desvio padrão de $1 500, 00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. Qual a probabilidade de que o depósito seja: a) $10 000, 00 ou menos; (0,5) b) pelo menos $10 000, 00; (0,5) c) um valor entre $12 000, 00 e $15 000, 00; (0,09133) d) maior do que $20 000, 00. ( = 0) Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 20 / 23

25 Tabela Z Exemplo Seja X Normal(100, 100), calcule: a) P( X ); b) o valor a, tal que P(100 a X a) = 0, 95. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 21 / 23

26 Tabela Z Exemplo As alturas de alunos de colégio têm distribuição aproximadamente Normal, com média 170 cm e desvio padrão 5 cm. a) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165 cm? b) Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 22 / 23

27 Para o Lar Para o lar Exercícios Páginas 15,16,18,19, Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 23 / 23