DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA. Estatística Aplicada à Engenharia

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1 ROTEIRO DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS 1. Distribuições conjuntas 2. Independência 3. Confiabilidade 4. Combinações lineares de variáveis aleatórias 5. Referências Estatística Aplicada à Engenharia 2 DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA Em muitos experimentos, mais de uma variável aleatória é observada; DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS Exemplos: O diâmetro (X) e a espessura (Y) de um disco moldado por injeção; A espessura de um substrato (X), de uma camada ativa (Y) e de uma camada de revestimento (Z) de um produto químico; Estatística Aplicada à Engenharia 4 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 1

2 DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA Suponha que estejamos interessados em analisar probabilidades conjuntas relacionadas às variáveis aleatórias X e Y. Por exemplo, a probabilidade de X pertencer ao intervalo [a,b] e Y pertencer ao intervalo [c,d]: P(a X b,c Y d) Assim como no caso univariado, esse tipo de probabilidade será calculada de acordo com o tipo de variável aleatória; Caso contínuo: P(a X b,c Y d) = f (x, y)dx dy, em que f (x, y) corresponde à função densidade de probabilidade conjunta de X e Y; Caso discreto: b d P(a X b,c Y d) = f (x, y), em que f (x, y) = P(X = x,y = y). b a d c x=a y=c Estatística Aplicada à Engenharia 5 Estatística Aplicada à Engenharia 6 DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA No caso do exemplo anterior, poderíamos imaginar que a distribuição conjunta entre Diâmetro e Espessura seria como na figura ao lado. f(x,y) Espessura Diâmetro DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Estatística Aplicada à Engenharia 7 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 2

3 É possível simplificar os cálculos relacionados a probabilidades conjuntas, dependendo das suposições do modelo de probabilidade; Uma suposição bem frequente em várias situações corresponde ao caso de independência de variáveis aleatórias; De uma forma mais geral, podemos considerar não apenas duas variáveis (por exemplo, X e Y), mas X 1, X 2,, X n. Definição: As variáveis aleatórias X 1, X 2,..., X n são independentes se, para quaisquer conjuntos E 1, E 2,..., E n, tivermos P(X 1 E 1, X 2 E 2, X n E n ) = P(X1 E1)P(X 2 E 2 ) P(X n E n ). Estatística Aplicada à Engenharia 9 Estatística Aplicada à Engenharia 10 Exemplo 1: O diâmetro de um eixo de drives ópticos de armazenagem é normalmente distribuído com média de 0,2508 polegada e desvio padrão de 0,0005 polegada. As especificações do eixo são 0,2500 ± 0,0015. Qual a probabilidade de um eixo selecionado ao acaso obedecer às especificações? Estatística Aplicada à Engenharia 11 Denotemos por X o diâmetro do eixo. Portanto, temos que X ~ N(0, 2508;0, ). Logo, P(0, 2485 < X < 0, 2515) = P = P( 4, 6 < Z <1, 4) = P(Z <1, 4) P(Z < 4, 6) = 0, , 0000 = 0, , , 2508 < Z < 0, , , , 0005 Estatística Aplicada à Engenharia 12 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 3

4 Exemplo 1 (continuação): O diâmetro de um eixo de drives ópticos de armazenagem é normalmente distribuído com média de 0,2508 polegada e desvio padrão de 0,0005 polegada. As especificações do eixo são 0,2500 ± 0,0015. Qual a probabilidade de que todos os diâmetros dos 10 eixos obedeçam às especificações? Suponha que os diâmetros sejam independentes. Denotemos por X i o diâmetro do i-ésimo eixo, i =1, 2,,10. Portanto, temos que X i ~ N(0, 2508;0, ). Sob a suposição de que os diâmetros são independentes, a probabilidade de todos os eixos obedecerem às especificações será P(0, 2485 < X 1 < 0, 2515, 0, 2485 < X 2 < 0, 2515,, 0, 2485 < X 10 < 0, 2515) = P(0, 2485 < X 1 < 0, 2515)P(0, 2485 < X 2 < 0, 2515) P(0, 2485 < X 10 < 0, 2515) = 0, , , 9192 = 0, ,4306 Estatística Aplicada à Engenharia 13 Estatística Aplicada à Engenharia 14 Exemplo 2: Suponha que X 1, X 2 e X 3 representem a espessura em micrômetros de um substrato, de uma camada ativa e de uma camada de revestimento de um produto químico, respectivamente. Supondo independência e que X i ~ N(µ i ;σ 2 i ),i =1, 2,3, em que µ 1 =10.000,µ 2 =1.000,µ 3 = 80,σ 1 = 250,σ 2 = 20,σ 3 = 4. As especificações para a espessura do substrato, a camada ativa e a camada de revestimento são, respectivamente, ±800, 1.000±50 e 80±5. Qual a proporção de produtos químicos que atende a todas as especificações? Qual tem a menor probabilidade de atender às especificações? Usando a notação da definição de independência, temos que E 1 = (9200;10800), E 2 = (950;1050) e E 3 = (75;85). Como as variáveis aleatórias são independentes, P(9200 < X 1 <10800, 950 < X 2 <1050, 75 < X 3 < 85) = P(X 1 E 1, X 2 E 2, X 3 E 3 ) = P(X 1 E 1 )P(X 2 E 2 )P(X 3 E 3 ) = P(9200 < X 1 <10800)P(950 < X 2 <1050)P(75 < X 3 < 85). Após a padronização, temos que Estatística Aplicada à Engenharia 15 Estatística Aplicada à Engenharia 16 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 4

5 Resolução (continuação): P(9200 < X 1 <10800, 950 < X 2 <1050, 75 < X 3 < 85) = P( 3, 2 < Z < 3, 2)P( 2, 5 < Z < 2, 5)P( 1, 25 < Z <1, 25) = 0, , , 7888 = 0, Lembrando que Z ~ N(0,1). Além disso, a espessura da camada de revestimento apresenta a menor probabilidade de atender às especificações, sendo esta 0,7888. Exemplo 3: Considere um sistema com dois componentes em série. Esse sistema opera somente se ambos os componentes estiverem funcionando. A probabilidades do primeiro e do segundo componentes funcionarem são, respectivamente, 0,9 e 0,95. Supondo que os operem de forma independente, qual a probabilidade do sistema não apresentar problema? Estatística Aplicada à Engenharia 17 Estatística Aplicada à Engenharia 18 Denotemos por C i o evento em que o componente i esteja funcionando, i=1,2. Para o sistema operar, ambos os componentes devem estar funcionando. Assim, como os componentes funcionam de forma independente, a probabilidade do sistema funcionar será P(C 1 ) = P(C 1 ) = P(C 1 )P( ) = 0, 9 0, 95 = 0,855. Exemplo 4: E se os componentes estivessem em paralelo? Em outras palavras, o sistema estaria operacional se pelo menos um dos componentes estiverem funcionando. A probabilidades do primeiro e do segundo componentes funcionarem são, respectivamente, 0,9 e 0,95. Supondo que os operem de forma independente, qual a probabilidade do sistema não apresentar problema? Estatística Aplicada à Engenharia 19 Estatística Aplicada à Engenharia 20 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 5

6 Denotemos por C i o evento em que o componente i esteja funcionando, i=1,2. Para o sistema operar, pelo menos um dos componentes deve estar funcionando. Assim, como os componentes funcionam de forma independente, a probabilidade do sistema funcionar será P(C 1 ) = P(C 1 )+ P( ) P(C 1 ) = P(C 1 )+ P( ) P(C 1 )P( ) = 0, 9 + 0, 95 0, 9 0, 95 = 0, 995. Resolução 2: Denotarmos agora C i o evento em que o componente i falha, i=1,2. Nesse caso, também podemos calcular a probabilidade do sistema funcionar fazendo P(C 1 ) =1 P(C 1 ' ' ) =1 P(C 1 ' )P( ' ) =1 0,1 0, 05 = 0, 995. Observe que, nesse exemplo, o sistema falha apenas se todos os componentes falharem. Estatística Aplicada à Engenharia 21 Estatística Aplicada à Engenharia 22 Definição: Confiabilidade é o nome que se dá a probabilidade de um componente não falhar ao longo do tempo de sua missão; Suponha que r i denote a confiabilidade de um componente i em um sistema que consiste em k componentes, e que r denote a probabilidade do sistema não falhar ao longo do tempo da missão; r pode ser chamado de confiabilidade do sistema; Estatística Aplicada à Engenharia 24 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 6

7 A confiabilidade de um sistema em série corresponde a r = r 1 r 2!r k ; A confiabilidade de um sistema em paralelo corresponde a Exemplo 5: O sistema mostrado na figura a seguir opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da esquerda para a direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada na figura. Suponha que cada componente funcione independentemente dos demais. Qual a probabilidade do sistema operar? r =1 (1 r 1 ) (1 r 2 )! (1 r k ). Estatística Aplicada à Engenharia 25 Estatística Aplicada à Engenharia 26 Exemplo 5: C 1 0,92 C 3 0,95 C 4 0,99 Denotemos por B o evento em que o subsistema de componentes em paralelo e C 3 esteja funcional. Assim, para o sistema operar, é necessário que C 1, B e C 4 estejam funcionando em série. C 1 0,92 C 4 0,99 Estatística Aplicada à Engenharia 27 C 3 0,95 Bloco B Estatística Aplicada à Engenharia 28 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 7

8 A probabilidade do subsistema B estar operacional é P(B) = P( C 3 ) =1 (1 P( )) (1 P(C 3 )) =1 0,1 0, 05 = 0, 995. Portanto, como cada componente funciona de forma independente dos demais, a probabilidade do sistema funcionar será P(C 1 B C 4 ) = P(C 1 ) P(B) P(C 4 ) = 0, 92 0, 995 0, 99 = 0, Exemplo 6: O sistema mostrado na figura a seguir opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da esquerda para a direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada na figura. Suponha que cada componente funcione independentemente dos demais. Qual a probabilidade do sistema operar? Estatística Aplicada à Engenharia 29 Estatística Aplicada à Engenharia 30 Exemplo 6: C 5 Denotemos por B i o evento em que o subsistema de componentes em paralelo do Bloco i esteja funcional. Assim, para o sistema operar, é necessário que C 1, B 1, B 2, C 7 e C 8 estejam funcionando em série. C 1 0,92 C 3 0,80 C 4 C 6 0,95 C 7 0,99 C 8 0,98 C 1 0,92 C 3 0,80 C 4 C 5 C 6 0,95 C 7 0,99 C 8 0,98 Estatística Aplicada à Engenharia 31 Bloco 1 Bloco 2 Estatística Aplicada à Engenharia 32 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 8

9 Pode ocorrer de se querer saber a respeito do tempo de vida de um sistema; Considere um sistema com k componentes, e que o tempo de vida do componente i seja denotado pela variável aleatórias (independentes) X i, i=1,2,...,k. Suponha independência entre as variáveis; O tempo de vida T de um sistema dependerá da forma como seus componentes estão dispostos; Estatística Aplicada à Engenharia 33 No caso em que o sistema for em série, a distribuição do tempo de vida do sistema será o mínimo dos tempos dos componentes: P(T t) =1 P(T > t) =1 P(X 1 > t,!, X k > t) =1 P(X 1 > t)! P(X k > t); No caso em que o sistema for em paralelo, a distribuição do tempo de vida do sistema será o máximo dos tempos dos componentes P(T t) = P(X 1 t,!, X k t) = P(X 1 t)! P(X k t); Estatística Aplicada à Engenharia 34 Exemplo 7: Considere um sistema com três componentes operando em série. Suponha que o tempo de vida (em dias) de cada componente seja exponencialmente distribuído com a mesma taxa de falha λ= 0,01. Assuma também q u e o s c o m p o n e n t e s f u n c i o n e m o u f a l h e m independentemente. a) Qual o tempo médio de vida de cada componente? b) Qual o tempo médio de vida do sistema? c) Qual a probabilidade do tempo de vida do sistema ser superior a 400 dias? d) Responda os itens acima supondo que o sistema funcione em paralelo. COMBINAÇÕES LINEARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Estatística Aplicada à Engenharia 35 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 9

10 COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A. S COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A. S O estudo relacionado ao tempo de vida de sistemas (em série e/ou paralelo) é apenas um exemplo de transformações de variáveis aleatórias (independentes); Um outro tipo de transformação de variáveis aleatórias muito comum, e que será abordado com frequência, corresponde à combinação linear de variáveis aleatórias; A suposição de independência também será comum aqui; Definição: Sejam X 1, X 2,..., X n variáveis aleatórias com média E(X i ) = µ i e variância V(X i ) = σ 2 i, i =1,, n. Dizemos que, para c 1, c 2,..., c n constantes, Y = c 1 X 1 + c 2 X 2 +!+ c n X n corresponde a uma combinação linear de variáveis aleatórias. Estatística Aplicada à Engenharia 37 Estatística Aplicada à Engenharia 38 COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A. S COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A. S A média de Y será E(Y ) = c 1 µ 1 + c 2 µ 2 +!+ c n µ n ; Se X 1, X 2,..., X n forem independentes, a variância de Y será V(Y ) = c 12 σ 2 + c 2 1 2σ 2 +!+ c 2 2 nσ 2 ; n Se X 1, X 2,..., X n forem normais e independentes, então Y também terá distribuição normal; Estatística Aplicada à Engenharia 39 Exemplo 8: Considere o estudo de uma peça fabricada em que as variáveis aleatórias X 1 e X 2 representem, respectivamente, o comprimento e a largura da p e ç a. S u p o n h a q u e a s v a r i á v e i s s e j a m independentes e normalmente distribuídas com E(X 1 )=2cm e V(X 1 ) =0,01cm 2, E(X 2 )=5cm e V(X 2 )=0,03cm 2. Denote por Y o perímetro da peça. a) Qual a distribuição do perímetro? b) Qual a probabilidade do perímetro ser superior a 15 cm? Estatística Aplicada à Engenharia 40 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 10

11 COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A. S Exemplo 9: Uma montagem em cadeia consiste em quatro componentes em sequência. Sabe-se que os comprimentos (em polegadas) X i dos componentes são X 1 ~ N(2,0; 0,0004), X 2 ~ N(4,5; 0,0009), X 3 ~ N(3,0; 0,0004) e X 4 ~ N(2,5; 0,0001). Suponha que os c o m p r i m e n t o s d o s c o m p o n e n t e s s e j a m independentes. As especificações do planejamento sobre o comprimento do sistema montado são 12,00 ± 0,10. Determine a fração de montagens conformes (montagens que se enquadram nesses limites de especificação). REFERÊNCIAS Estatística Aplicada à Engenharia 41 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA Montgomery, D. C. (LTC) Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros Pinheiro, J. I. D et al. (Campus) Probabilidade e Estatística: Quantificando a Incerteza Estatística Aplicada à Engenharia 43 Prof. Lupércio F. Bessegato - UFJF 11